Сходимость численных методов

До сих пор мы не останавливались на вопросе вычисления производных 5//39, полагая, что они могут быть вычислены точно. Однако при приближенном (численном) интегрировании исходной системы дифференциальных уравнений (3.141) вычисление производных — наиболее тонкое место во всей обратной задаче. Методы вы числения производных можно разделить на две группы. Первая группа — методы универсальные, не связанные со схемой интегрирования. Сюда относится метод конечных разностей (см. разд. 3.5), точность которого не всегда достаточна для успешного проведения минимизации. В работе [108] предлагается для оценки производных использовать план первого порядка в пространстве параметров около точки 0 . Применение этого метода требует, так же как и метод конечных разностей, (р—1) вычисления функции по крайне мере. Пауэлл [118, 119] предложил численный метод оценки градиента, в котором при каждой итерации переоцениваются компоненты лишь в направлении, задаваемом уравнением.(3.171) или G GS = —G h. Здесь 0 — решение уравнения, фиксирующее стационарную точку системы (3.171) h — вектор [t —/ (0 )], i = 1,.... .., N G — вектор 5/(0 )/39 , j = i,. . R. Симплекс-метод [12, 92, 115] не обладает быстрой сходимостью [117, 124], тем не менее он с успехом используется для оценки производных. [c.224]

Посредством обращения этой матрицы или решения системы (5.28) каким-либо из численных методов линейной алгебры [235, 239] определяются поправки к расходам на хордах, затем с помощью (5.24) или непосредственной проводкой этих увязочных расходов по контурам вычисляются приращения к расходам на ветвях дерева и в целом новое приближение для вектора расходов по формуле (5.18). Далее выполняется анализ сходимости вычислительного процесса [c.68]

Способы сходимости численных методов расчета обеспечивают не только уменьшение времени счета, но и устойчивость решения, т. е. надежность алгоритма . [c.154]

И способам алгоритмического и информационного обеспечения ориентировку на реальные первичные документы и данные, с которыми непосредственно оперирует пользователь создание централизованного и автоматизированного информационного обслуживания (например, в виде банка данных) использование быстродействующих, гибких и достаточно надежных (с точки зрения сходимости) численных методов модульный принцип построения и привязку всей системы к имеющейся технической базе (включая устройства для связи с управляемым объектом) и т.д. Первые очереди такого рода систем созданы или создаются практически во всех отраслях трубопроводного транспорта. Хорошей иллюстрацией данного уровня работ может служить, например, пакет программ для управления режимами работы систем тепло- и водоснабжения, описанный в работе [81]. [c.132]

Сходимость численных методов широко освещена в литературе. Для интересующихся можно рекомендовать в порядке увеличивающейся сложности следующие работы [34, 12, 28, 10, 11]. Однако все эти материалы мало пригодны для случаев решения нелинейных уравнений. [c.264]

Численные методы для решения систем нелинейных уравнений щироко известны и подробно описаны в литературе. Традиционно задачи разделения решаются методом Ньютона или его комбинацией с методом крутого спуска, которые требуют хорошего начального приближения. Во всех тех случаях, когда имеется хороший вектор начальных приближений, что типично для простой задачи разделения, метод Ньютона позволяет найти решение с квадратичной скоростью сходимости. В случаях, когда метод Ньютона не работает, он модифицируется для снижения количества расчетов, однако модифицированный метод Ньютона не всегда работает. [c.261]

Сравнивая подходы, использованные в задачах 1 и 2, можно отметить преимущество задачи 2, состоящее в том, что в ней используется только метод безусловной минимизации. Поэтому, если добавление системы (1, 73) к системе (I, 72) ненамного ухудшает скорость сходимости численной процедуры решения системы нелинейных уравнений на первом уровне (см. рис. 21), то этот подход может оказаться более эффективным. К недостаткам подхода, используемого в задаче [c.128]

Численные методы расчета процессов ректификации и абсорбции различаются выбором независимых переменных, способом решения общей системы уравнений и способом сходимости. [c.154]

Матричные методы решения систем нелинейных уравнений можно разделить на две группы по способу линеаризации. К первым относятся методы, в которых линейность достигается за счет использования численных значений параметров, определяющих нелинейность, с предыдущих итераций. Являясь методами нулевого порядка, они в ряде случаев обладают слишком медленной сходимостью или вообще не обеспечивают решения. [c.134]

Анализ применяемых численных методов решения контактных задач показывает, что в некоторых вариантах возможны такие вычислительные трудности по сравнению с решением классических краевых задач со смешанными граничными условиями, как нарушение положительной определенности систем алгебраических уравнений, появление неустойчивости их решения из-за плохой обусловленности, применяется численная реализация некорректно поставленных задач. Здесь предлагается алгоритм решения задачи контакта деформируемых тел, свободный от указанных недостатков, дающий в ряде случаев более быструю сходимость по сравнению с применяемыми методами. В качестве иллюстрации рассмотрено решение задачи контакта шероховатых тел с нелинейной податливостью шероховатого слоя. [c.141]

При всей многообразии возникающих задач для их расчета на вычислительных машинах естественно стремиться к созданию общего подхода к использованию численных методов, применение которых на зависит от числа уравнений, входящих в математическое описание, встречающихся видов граничных условий, кинетических закономерностей процесса, знания приближенного решения. Кроме того, преследуются цели простота осуществления алгоритма на вычислительной машине, ограниченный объем перерабатываемой информации, быстрая сходимость и т.п. [c.137]

Корни уравнения д (3) = О находятся численными методами. Для определения значений г, Ск , . .. с достаточной точностью нужно брать относительно большое число членов в полиномах Рх (5), Рз ( 5), д (5). Как показывают расчеты, для достижения хорошей сходимости число членов должно быть не менее тридцати. Ряды же в уравнении (УП.104) сходятся быстрее, поэтому нет необходимости брать много членов. [c.246]

Приведенные выше нелинейные дифференциальные уравнения не могут быть решены аналитически. Для их решения Лин Шин-лин и Амундсон 3 использовали метод численного интегрирования с применением конечных разностей. Для проверки сходимости и устойчивости решения, а также оценки ошибки округления необходимы контрольные расчеты. [c.287]

Использование численных методов при приложении вариационных принципов изложено в работах [2] и [4, гл. 4]. В работе [2] численные методы рассматриваются с точки зрения их практического приложения, приведены примеры их приложения к решению технических задач. Канторович [4] более строго рассмотрел вопросы сходимости и оценки ошибок. [c.177]

Данная система уравнений решается численным методом и дает хорошую сходимость с экспериментальными данными (рис. 14.1.2.2). [c.323]

Недостатки этого метода проб и ошибок присущи любому численному методу решения граничных задач, необязательно связанных с вариационным исчислением. Во-первых, возникает проблема выбора подходящего приближенного уравнения. В приведенном выше примере использована только одна из многих возможностей. Во-вторых, нужно правильно выбрать величину шага Д. Оба эти вопроса тесно связаны между собой, так как численное решение дифференциальных уравнений всегда требует исследования сходимости и устойчивости. Третья проблема состоит в отыскании такого способа получения исходного приближения для начального значения производной, которое существенно уменьшало бы число проб. Четвертая проблема связана с многомерными задачами, когда примеры, аналогичные приведенному выше, приходится решать для многих переменных. В этом случае нередко оказывается, что при некотором выборе начальных значений производных граничные условия удовлетворяются лишь для части переменных. Чтобы удовлетворить всем граничным условиям, могут потребоваться весьма трудоемкие вычисления. Кроме того, решение, даже удовлетворяющее граничным условиям, может быть не единственным. [c.110]

Энергией ионизации называют энергию, затрачиваемую на отрыв электрона от изолированного атома элемента или молекулы простого или сложного вещества. Эта величина может быть определена рядом методов, дающих хорошую сходимость. Численная величина ее чаще всего выражается в электрон-вольтах (эв) или в ккал на г-атом или г-моль [c.24]

Расчет при известном Nq. В этом случае можно применять описанный выше способ решения системы интегральных уравнений, но обычно более простым оказывается другой способ, заключающийся в том, что в нулевом приближении задаются значениями только для функций х и О (граничные условия для которых заданы при Л = Л о), после чего находят у и у и решают численным методом систему уравнений (П1, 85) —(П1,88). Первые приближения для I и X находят по уравнениям (П1,95) и (П1,96), а для д — по уравнениям (П1,97) или (1П,99). Дальнейший расчет ведется аналогично. Для улучшения сходимости итерации следует вести по уравнению (П1, 101). [c.219]

Естественным требованием, предъявляемым к методу, является возможность оценки разности i/(4)—во всех точках дискретизации. При уменьшении шага сетки, на которой иш.ется численное решение, эта разность должна уменьшаться. Такое свойство численного метода называется сходимостью. Говорят, что метод обладает сходимостью, если при стремлении к нулю шага дискретизации к нулю стремится и разность точного и численного решений во всех точках разбиения. [c.178]

При промежуточных значениях Гоо оба предельных случая не дают правильного решения. Его можно получить лишь численным методом. Процедуру расчета можно упростить с помощью, например, методики Ньютона—Рафсона, применяемой для ускорения сходимости решения. [c.67]

При решении миграционных задач численными методами принципиальное значение имеет поведение различных КР схем в процессе вычисления, в частности их устойчивость и сходимость [7]. Так, схема (7.2) является устойчивой для любых Аде и А при а 0,5. Следует отметить, что аналитические подходы к оценке устойчивости КР схем довольно трудоемки, поэтому весьма эффективным методом оценки поведения схем является численный эксперимент. Особенно велика роль численного [c.358]

Основной недостаток численных методов состоит в том, что их проведение трудоемко, но он преодолевается при использовании быстродействующих цифровых машин. Однако иногда численные методы не обеспечивают сходимости к точному результату независимо от того, сколько сделано повторений. [c.279]

При необходимости учета изменения условий теплопередачи вдоль поверхности можно рекомендовать интервально-итерационный метод в случае использования любого из рассмотренных ранее способов расчета теплопередачи, если распространить их на интервал как часть элемента. При этом может быть достигнута одинаковая точность расчета, однако разными усилиями. Поэтому следует выбрать способ расчета теплопередачи в интервале, исходя из простоты его реализации и быстроты сходимости расчета. Эталонный способ полной линеаризации исключается из рассмотрения, так как он сложен в реализации (требуется проводить численное интегрирование) и по точности практически равноценен интервально-итерационному. [c.98]

Так, например, опыт практической реализации задач оценки переменных состояния и идентификации химико-технологических процессов с применением фильтров Калмана [9, 10, 12] позволил обнаружить ряд существенных ограничений данного подхода к решению этих задач в области химической технологии. К источникам таких ограничений можно, например, отнести форму представления математического описания системы в виде дифференциальных операторов и их конечно-разностных аппроксимаций при численных операциях. Реализация математических моделей в такой форме на ЦВМ с применением методов формальной алгебры в условиях большого уровня помех и грубых начальных оценок параметров состояния часто связана с плохой обусловленностью матриц, а отсюда и с неустойчивостью, плохой сходимостью вычислительных процедур. [c.474]

Предлагаемый метод расчёта температур выгодно отл1тчается от обычно применяемых численных методов (метод последовательного приближения, метод хорд, секущих, метод половинного деления и т. д.) простотой и быстротой сходимости (достаточно 3-4 итерации), такясе тем, что скорость сходимости не зависит от первоначально назначенной температуры. [c.37]

Наиболее общий и универсальный характер имеют численные методы, представляющие собой алгоритм вычисления приблин енных (или точных) значений искомого решения у 1) на некоторой временной сетке t. В этом случае к алгоритму вычисления предъявляются следующие, требования сходимость в асимптотике, равномерпость приближения А-устойчивость, балансность, положительность решения, экономичность, возможность постоянного контроля ошибки и т. д., которые в целом характеризуют его эффективность. [c.174]

Как указывалось выше, большинство уравнений математического описания представляют собой дифференциальные уравнения с краевыми условиями, заданными на разных границах слоя катализатора. Вообш,е говоря, решать такие уравнения можно как начальные задачи, подбирая ряд условий на одной границе, чтобы в результате расчета выполнить их на другой. Однако подбор краевых условий ( пристрелка ) связан с значительным числом решений одной задачи и поэтому не всегда целесообразен. Кроме того, описанный метод из-за возможной неустойчивости не всегда позволяет получить решение. Более эффективным методом решения стационарной краевой задачи является переход к сложной нестационарной. Оказывается, что при усложнении исходной системы уравнений нахождение решения в стационарном режиме значительно упрощается. В этом случае трудности, связанные с заданием краевых условий, отпадают, поскольку анализируется переходный процесс одновременно во всем слое катализатора из начального состояния в конечное стационарное, определяемое заданной исходной системой уравнений. При помощи рассмотренного метода удается создать общий подход к использованию численных методов, применение которых не зависит от числа уравнений, входящих в математическое описание встречающихся видов граничных условий, кинетических закономерностей процесса и знания приближенного решения. Помимо этого достигаются простота осуществления алгоритма на вычислительной машине, ограничение объема перерабатываемой информации, быстрая сходимость расчетов и т. п. Решение нестационарных задач дает также возможность рассчитывать переходные режимы и влияние различных возмущений на течение процессов. [c.486]

Седьмая глава является одной из основных глав книги. Здесь на примерах теплообменника и ректификационной колонны показана методика использования численных методов решения задач. Авторы связывают расчетные параметры с изучаемым процессом. Рассматриваются методы преобразования дифференциальных уравнений в частных производных в систему обыкновенных дифференциальных уравнений и затем в разностные уравнения. Сравнивается использование различных методов (Эйлера, Рунге—Кутта, Крэнка—Никольсона и метода авторов) с точки зрения сходимости, точности и возможности расчета с помощью цифровых вычислительных машин (ЦВМ). Приводится расчет многокомпонентной ректификационной колонны. В заключение дается обзор численных методов. Следует отметить, что опущены некоторые математические рассуждения, очень простые для математиков и необходимые для понимания химикам-технологам. [c.7]

Как показано на рис. 12.3, кривая нейтральной устойчивости вычисленная этим методом, окружена областью, соответствующей пределу точности, которую можно получить методом локального потенциала. Платтен [136] утверждает, что снижение точности вычислений при больших величинах произведения aa связано, по-видимому, с не самосопряженным характером уравнения Орра — Зоммерфельда (12.10), а не с погрешностями численного метода. Фактически Платтен отметил, что несамосопряженный вклад уравнения Орра — Зоммерфельда описывается величиной iaMeOD W, роль которой возрастает с ростом a3 e. В связи с этим следует подчеркнуть, что сходимость, изучавшаяся в разд. 10.5, для неса- [c.184]

В СЭИ оба увязочных метода были реализованы в ряде программ для БЭСМ-2м с целью сопосуавления с другими численными методами и всесторонней опытной проверки их сходимости [209,231 ]. [c.40]

Для решения полученных уравнений используются различные численные методы. При этом нестационарные начальные решения должны сходиться к решению для установившегося режима в пределах заданных требований к сходимости. В методе фиктивной нестационарности [166] к вектору в уравнении (14.5.2) добавляется переменное нестационарное слагаемое. Следовательно, для этого уравнения также может быть использовано последовательное перемещение по оси времени. При этом дополнительный нестационарный член по мере приближения к стационарному состоянию стремится к нулю, в результате чего уравнение (14.5.2) оказывается выполненным. Таким образом, указанный метод не позволяет рассчитывать реальные нестационарные режимы, обеспечивая лишь более быстрое получение численных результатов при расчете стационарного состояния. Дальнейшие подробности этого метода, а также других численных подходов, позволяющих рассчитывать трехмерные естественноконвективные течения, содержатся в работах [104, 128]. [c.297]

На рис. 5.5 изображены положения головных ударных волн, полученные в расчетах обтекания сферы для различных чисел Маха набегаюгцего потока (М = = 2,0 2, 94 8,0 50,0). Отметим, что численный метод позволяет рассчитывать течение около сферы вплоть до 110° по центральному углу. Во всех случаях для достижения среднеквадратичной точности менее 1 % требуется не более десяти глобальных итераций. Однако сходимость при малых числах Маха хуже, чем при больпгих значениях. Черными и светлыми квадратиками отмечены результаты, полученные методом установления, соответственно для чисел Маха М = 2, 94 207] и М = 8,0 [223]. Анализ полученных в расчетах распределений давления поперек ударного слоя, плотности нормальной и касательной составляюгцей скорости в различных сечениях показал, что при VI = 8 осугцествляется переход к гиперзвуковому режиму, когда характеристики течения уже не зависят от числа Маха (параметры при числах Маха М = 8 и М = 50 практически совпадают). [c.203]

С точки зрения стратегии поиска к первой группе относятся метод Гаусса — Зейделя [11 ], симплекс-метод [12 ] и др. Методы второй группы — это метод градиента, наискорейшего спуска и их модификации [11 ]. И наконец, методы третьей группы основаны на аппроксимации минимизируемой функции в окрестности рабочей точки квадратичной формой. В связи с тем что вычисление вторых производных численными методами неточно и требует больших затрат машинного времени, а получение аналитических формул очень трудоемко, в последнее время разработан ряд методов, которые используют только первые производные, но по скорости сходимости превосходят градиентные методы. Это метод Да-видона — Флетчера — Пауэлла [13 ], метод сопряженного градиента и др. [14 ]. Последние методы разработаны для случая, когда ограничения на управления отсутствуют. Однако они могут быть легко модифицированы на случай, когда имеются простые ограничения вида Нг йг [14 ]. [c.371]

В этой главе приводятся численные методы и алгоритмы ])еите- ния краевых задач, а также решаются вопросы устойчивости и сходимости разностных схем. Разработанные алгоритмы п])име-пяются при анализе статических н диналгических характеристик ректификанионных установок. Цля линейных систем уравнений получены передаточные функции по основныл каналам возмущающих п управляющих воздействий. [c.63]

Задача о вихревой форсунке при образовании в ней как ламинарного, так и турбулентного слоя, была позднее вновь рассмотрена Вебером ). Для решения этих задач Вебер, так же как и Кук, пользовался методом слоя конечной толщины. Составив уравнения количеств движения и моментов количеств движения, автор использовал двухпараметрические семейства профилей скорости многочленные для ламинарного и степенные для турбулентного пограничных слрев. В качестве формпараметров им использовались безразмерная толщина пограничного слоя и отношение касательных напряжений на поверхности конуса. Решение полученной системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений пришлось искать также численным методом. Полученное решение сравнивалось с опытными материалами, и была обнаружена хорошая сходимость. [c.217]

До появления численных методов представленные выше соотпошения использовались для расчета течений в соплах. Доказательства сходимости рядов и определения их радиуса сходимости пе пмеется. В связи с этим возможность их применения устанавливается сравнением с численными решениями и экспериментальными данными, которое показывает, что разложения в ряде по г 5 при учете 3—4 членов ряда пригодны для описания течения в трансзвуковой области при I 2S 0,5r , а также в до- и сверхзвуковых областях при небольших поперечных градиентах параметров. Сравнения с чпс-.яенным решением обратной задачи теории сопла представлены ниже. [c.126]

Уравнение (4.151) можно разрешить при помощи известных численных методов решения нелинейных уравнений с одним неизвестным. Подходящим методом является метод простой итерации. К сожалению, условие сходимости итераций в явном виде получить не удалось в связи с особенностями функции . Однако, геометриче- [c.444]

Если все рассматриваемые варианты с любы и изменениями исходных данных выполняются гю исследуемому методу, то он считается работоспособным. Таких методов, как видно из рнс.3.2, четыре ОА1, 0Н1, ДА1, ДН1 - это одноконтурт.ге (О), двухконтурные (Д) методы с использовг1нием аналитических (А) и численных (Н) частных производных при определении независимых переменных по первому и четвертому вариантам. Надежными считаются методъ сходимость к решению, по которым не зависит от первоначально приняты значений независимых переменных. Таких методов два (рис.3.2) Д,М, ДН1. Вариант ДН1 уступает варианту [c.53]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология