Анализ размерностей автомодельных решений

Термин автомодельность уже встречался в 13 для описания частных случаев кратных волн, обладающих конической автомодельностью. В более щирокой трактовке, применительно к физическому содержанию решаемых задач, автомодельными принято называть решения, которые получаются путем анализа размерностей всех участвующих величин. С точки зрения теоретико-группового подхода это равносильно использованию допускаемых уравнениями групп растяжений. Однако свойство некоторой группы преобразований быть группой растяжений зависит от выбора системы координат в пространстве основных переменных. На самом деле единственным инвариантным характеристическим свойством групп растяжений является то, что они абелевы (коммутативны). Поэтому рационально использовать термин автомодельный применительно к любым решениям, инвариантным относительно абелевых подгрупп основной группы. При этом представление рещения в той системе координат, в которой группа является группой растяжений, удобно называть автомодельным в узком смысле. [c.197]

Во многих других случаях соображений анализа размерности также оказывается вполне достаточно, чтобы обосновать автомодельность решения исходя из формулировки математической задачи и получить выражения для масштабов и автомодельных переменных. Известная книга Л. И. Седова [97] содержит много примеров, иллюстрирующих применение анализа размерностей для установления автомодельности и определения автомодельных переменных. В ней содержится также изложение применимого в таких случаях общего подхода. Дальше мы увидим, однако, что решения, для установления автомодельности которых достаточно анализа размерности, среди прочих автомодельных решений относительно редки как правило, дело обстоит сложнее. [c.15]

ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ К ПОСТРОЕНИЮ ТОЧНЫХ ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ [c.40]

Разберемся теперь, как могла появиться у решения задачи Коши асимптотика (3.10), хотя и тоже автомодельная, но отличающаяся от предсказанной анализом размерности формы (3.5). [c.59]

Дадим теперь формальную классификацию автомодельных зависимостей, и в частности автомодельных решений задач математической физики. Напомним (см. главу 1), что, согласно анализу размерностей (П-теореме), любая зависимость между п+1 размерной величиной вида [c.89]

Автомодельные решения первого рода получаются, когда предельный переход от неавтомодельной невырожденной задачи к автомодельной вырожденной задаче регулярен в том смысле, что имеет место полная автомодельность по параметрам подобия, делавшим задачу невырожденной и ее решение неавтомодельным. Выражения для всех автомодельных переменных, как зависимых, так и независимых, могут быть при этом получены применением анализа размерности. [c.93]

Рассмотренные примеры показательны. Обращаясь к решению некоторой задачи, и в частности к отысканию ее автомодельных решений, мы не знаем заранее, к какому типу принадлежат решения соответствующих ей вырожденных задач. Сопоставление рассмотренных выше обычных и модифицированных постановок задачи показывает, что ситуация может быть довольно коварной с точки зрения возможности применения анализа размерностей эти задачи внешне никак не различаются. В связи с этим, например, весьма соблазнительно начать с получения законов подобия, не обращаясь к решению уравнений. Рассуждая как обычно, мы и в модифицированных задачах могли бы предположить, что поскольку начальный отбор массы или выделение энергии происходит в малой области, размер этой области несуществен, т. е. предположить полную автомодельность по параметру подобия, отвечающему начальному размеру. Отсюда уже автоматически следуют отвечающие полной автомодельности законы подобия (5.16), (5.19). На самом же деле, как мы убедились, законы подобия здесь совсем другие, хотя тоже степенные. Таким [c.99]

Показательный пример автомодельного решения, для установления автомодельности которого соображений анализа размерности недостаточно, дает замечательная задача Соболева о малых возмущенных движениях при вращении жидкости в цилиндрическом сосуде [99]. Уравнение для возмущения давления р в этой задаче, как показано С. Л. Соболевым, имеет вид [c.123]

Рассмотренное решение показательно во многих отношениях. Оно содержит параметр а — угол раствора клина. Как видно из предыдущего анализа, при углах раствора меньше некоторого критического можно использовать традиционную аргументацию анализа размерностей, ограничиваясь заданием момента сил, действующих на клин. При этом получается автомодельное решение первого рода, которое вполне определяется непосредственным построением с помощью анализа размерностей. При углах раствора клина больше критического традиционные соображения анализа размерностей неприменимы, потому что выбрасывать го из списка определяющих параметров и оставлять там М при а>а нельзя. Тем не менее, стягивая к вершине область приложения сил на боковых сторонах клина, мы также получаем автомодельное предельное решение. Попытка построить это решение непосредственна как автомодельное решение второго рода определяет предельное решение, как и всякое автомодельное решение второго рода, только с точностью до константы. Значение этой константы может быть получено путем сращивания автомодельного решения с решением неавтомодельной задачи. Оно выражается, как показывает проведенное сращивание, через некоторый дробный момент от распределения напряжений на боковых сторонах клина, но какой именно момент (т. е. с какой степенью г) можно определить только после решения задачи. Заранее из соображений размерности эту степень определить нельзя. Наконец, при угле раствора клина, равном критическому, соображения размерности оказываются бессильными они не приводят ни к какому упрощению решения, а аргументация малостью участка приложенных сил, приводящая к вырождению задачи, является незаконной. Иными словами, автомодельность по параметру г не наступает, как бы велико ц ни было. Тем не менее, как показывает соотношение (9.22), асимптотика решения в этом случае автомодельна, поскольку выражение для Ф = Ч /М при больших Г] = г/Го записывается в виде [c.155]

Поступим здесь вполне аналогично решению задачи о нелинейном мгновенном тепловом источнике в главе 2. Решение h уравнения (12.94) при начальном условии (12.96) зависит от величин t—tu УСу V и г. Анализ размерности показывает, что решение автомодельно и представляется в виде [c.230]

X, V и г. Анализ размерности показывает, что решение автомодельно и представляется в виде [c.230]

Автомодельности, даже понятые с точки зрения анализа размерностей, оставались в представлении большинства исследователей лишь изолированными точными решениями частных задач — изящными, иногда в меру полезными, но все же весьма ограниченными по своему значению атрибутами физических теорий. Только постепенно осознавалось, что значение этих решений много шире. На самом деле они описывают не только поведение физических систем в некоторых ча.стных условиях, но и промежуточноасимптотическое поведение решений более широких классов за- [c.15]

Таким образом, поведение решения при больших временах оказалось автомодельным и при Х1 Ф х, но автомодельность здесь не такая, как при Х1 = х. Прежде всего параметр размерности длины X, нарушавший автомодельность исходной задачи, из предельного решения не исчез. Далее, анализ размерности в этом случае не позволяет найти автомодельные переменные и установить автомодельность предельного решения исходя из математической формулировки задачи. Действительно, размерность постоянной А заранее неизвестна и должна быть найдена в ходе решения. Наконец, сама константа А оказалась неопределенной. Для ее нахождения следует срастить построенное решение с реп е-нием исходной неавтомодельной задачи, например, путем численного счета. (В главе 3 будет показано, что численный счет подтверждает выход решения неавтомодельной задачи на построенную автомодельную асимптотику.) [c.18]

Подставляя в это уравнение соотношение ф = /гФ(0, а), можно легко получить, что Ф = Л os 0 + 5 sin 0. Таким образом ф оказывается равным потенциалу поступательного потока ф = Ах + Ву, который, очевидно, не удовлетворяет условиям на боковых сторонах клина получилось явное противоречие. Для разрешения противоречия обратимся по указанному выше правилу к невырожденной задаче обтекания плоским потоком идеальной жидкости клина конечных размеров (рис. 1 б). В этом случае решение заведомо сундествует, но среди определяюпдих параметров появляется епде один — размер клина L, и решение перестает быть автомодельным. В самом деле, анализ размерности дает [c.21]

Широко распространено представление о том, что получение автомодельных решений всегда связано с анализом размерностей, т. е. с подобием, так что применением анализа размерностей из постановки вырожденной задачи, точным решением которой является та или иная автомодельность, всегда может быть получена форма. решения, т. е. выражение автомодельных переменных. После получения точного решения нетрудно найти класс невырожденных задач, для которого рассматриваемое автомодельное решение является промежуточной асимптотикой. Для некоторых решений дело действительно обстоит так рассмотренные в настоящей главе примеры это продемонстрировали и показали общий подход, применимый в подобных случаях. Существенно, однако, что случаи, когда построение автомодельных решений исчерпывается анализом размерности, составляют, как говорят иногда, лишь видимую часть айсберга. Как правило, дело обстоит иначе существуют обширные классы задач, для которых хотя и имеет место автомодельная промежуточная асимптотика, но эту асимптотику нельзя получить из исходной постановки задачи путем применения соображений размерностей. Форма автомодельных переменных определяется в этих случаях из решения нелинейных задач на собственные значения и иногда даже из некоторых дополнительных соображений. Подчеркнем еще раз, что речь идет не об исключениях, а скорее, о правиле множество автомодельных решений, не получаемых из соображений подобия, гораздо богаче множества автомодельных решений, форма которых вполне определяется соображениями подобия. Последующее рассмотрение покажет, в чем здесь дело. Слегка, казалось бы, модифицировав [c.52]

Более глубокое рассмотрение показывает, однако, что эта простота иллюзорна, и, например, делая предположение о точечном выделении энергии, мы, что называется, ходили по краю пропасти. Действительно, слегка, на первый взгляд, изменив постановки задач и притом так, что, казалось бы, все те же соображения подобия должны сохранить силу, мы пришли к противоречию. Как оказалось, в модифицированных задачах нужных нам решений просто не суихествует. Более детальный анализ показал, что при попытке поиска решений модифицированных задач тем же стандартным способом исходя из формулировки вырожденной задачи оказалась неправильной сама постановка вопроса. На самом деле нам были нужны не точные решения упрощенно сформулированных вырожденных задач, соответствующих мгновенному отбору в точке конечной массы жидкости или мгновенному выделению в точке конечной порции энергии. Нас интересуют асимптотики решений невырожденных задач при больших временах. Мы применили анализ размерности к невырожденным задачам, существование и единственность решений которых либо строго доказаны, либо не вызывали сомнений невырожденные задачи, естественно, перестали быть автомодельными. [c.88]

Существенно, что хотя этот закон и имеет степенную форму, его нельзя получить с помощью анализа размерностей. Дело в тохм, что закон затухания величины щах определяется размерностью постоянной Ql . Эта размерность заранее неизвестна и определяется после построения автомодельного решения в целом, т. е. из решения нелинейной задачи на собственные значения. Однако, поскольку мы в данном случае имеем дело с неполной автомодельностью первого типа, независимая автомодельная переменная— в данном случае П1 — находится из анализа размерностей. Следовательно, в частности, для закона распространения волны разгрузки — границы областей с разными к — получается закон подобия [c.98]

Инвариантность постановки и, следовательно, решения любой физически осмысленной задачи относительно группы преобразований (7.3), (7.4) обязательна. Может оказаться, однако, что существует более богатая группа, относительно которой инвариантна постановка рассматриваемой задачи. Тогда число аргументов функции Ф в универсальном (инвариантном) соотношении, полученном после применения анализа размерностей, в свою очередь должно уменьшиться на число параметров дополнительной группы, хотя из одного аналиеа размерностей (инвариантности относительно группы преобразований подобия величин с независимыми размерностями) эта автомодельность не вытекала. Рассмотрим несколько показательных примеров. [c.118]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология