Фазовый спектр

Выборочный фазовый спектр 1г(/) показывает, запаздывает или опережает частотная компонента одного ряда компоненту другого ряда на той же частоте Аналогично, выборочный взаимный амплитудный спектр A 2 f) показывает, насколько велики в двух рядах амплитуды соответствующих компонент на некоторой частоте. Заметим, что Д12(/)—неотрицательная четная функция, а р12 ) —нечетная функция частоты. [c.100]

Следовательно, взаимный амплитудный и фазовый спектры можно получить, вычисляя функции %12 и) и г1)12( ) по взаимной ковариационной функции [формулы (8 3 23)], затем вычисляя коспектр и квадратурный спектр [формулы (8 3 25) и (8 3.26)] и подставляя эти спектры в (8 3 28) и (8 3 29). [c.107]

Взаимный амплитудный и фазовый спектры. Взаимный спектр жно записать также в виде [c.106]

В разд 8 2 мы обсудим вопрос об оценивании взаимной корреляционной функции Мы покажем, что если не применять к обоим рядам фильтрации, переводящей их в белый щум, то при оценивании могут возникать ложные завышенные значения взаимной корреляции В разд 8 3 вводится третье обобщение — взаимный спектр стационарного двумерного процесса Взаимный спектр содержит два различных вида информации, характеризующей зависимость между двумя процессами Информация первого типа содержится в спектре когерентности, являющемся эффективной мерой корреляции двух процессов на каждой из частот Информация второго типа дается фазовым спектром, характеризующим разность фаз двух процессов на каждой из частот В разд 8 4 оба эти типа информации иллюстрируются на простых примерах [c.77]

Следовательно, ковариацию двух рядов Х1 1) и X2 t) можно описать с помощью выборочного фазового спектра [c.100]

Приведенная формула для взаимного амплитудного спектра показывает, что ковариация двух процессов больше на низких частотах при Р2/Р1 > О и на высоких при Р2/Р1<0 Следовательно, взаимные корреляции, не меняющие знак, соответствуют низкочастотным взаимным амплитудным спектрам, а осциллирующие взаимные корреляции — высокочастотным. Соответствующие фазовые спектры показаны на рис. 8 8, в и рис 8 8, г Мы видим, что при Р2/Р1 > О процесс А 1- опережает по фазе процесс Хг , а при Р2/Р1 < О, наоборот, отстает от него [c.109]

Используя более сложные модели, можно получить множество разнообразных взаимных амплитудных и фазовых спектров Важное положение, которое необходимо сейчас подчеркнуть, заключается Б том, что изучение взаимных амплитудных спектров двух эмпирических временных рядов может привести к заключению, что требуются разные модели для различных частотных диапазонов Например, фазовый спектр, образованный двумя прямыми с разными наклонами,. мог бы навести на мысль, что один ряд запаздывает по отношению к другому, но эта задержка во времени различна для разных частотных диапазонов [c.109]

Рис, 8 8 Взаимные амплитудные и фазовые спектры некоторых простых двумерных процессов. [c.110]

Рис 8 10 Теоретический фазовый спектр двумерного процесса авторегрессии [c.118]

Практическое использование квадрата коэффициента когерентности. Спектр когерентности полезен на практике, поскольку он является безразмерной мерой корреляции двух временных рядов, зависяшей от частоты Таким образом, его следует предпочесть взаимному амплитудному спектру, зависящему от масштаба измерений Х 1) и Х2 1) Следовательно, свойства взаимной корреляции двух временных рядов можно описать с помощью квадрата спектра когерентности фазового спектра ф12(/). В разд 9 2 [c.119]

В разд 9 4 2 мы увидим, что, перед тем как проводить взаимный спектральный анализ, необходимо отфильтровать временные ряды. В настоящем разделе мы исследуем влияние такой предварительной фильтрации на спектр когерентности и на фазовый спектр. [c.119]

Таким образом, фазовый спектр изменяется на величину срг(/) — [c.120]

В разд 9 2 выводятся выражения для дисперсий и ковариаций сглаженных коспектров и квадратурных спектров, а также для сглаженных спектров когерентности и фазовых спектров Показано, что эти дисперсии и ковариации зависят как от неизвестного теоретического спектра когерентности, так и от способа сглаживания, влияние которого можно учесть [c.123]

Распределение оценки, соответствующей выборочному фазовому спектру. Из (9 13) и (9 1 4) получаем случайную оценку, соответствующую выборочному фазовому спектру [c.126]

Выбор функций для критерия. Обсуждение в разд 84 4 наводит на мысль о том, что в качестве исходных количеств для частотного критерия корреляции двух временных рядов можно было бы использовать случайные функции, соответствующие выборочному спектру когерентности К. 2Ц) и выборочному фазовому спектру 12(/). Заметим, однако, что [c.127]

Таким образом, независимо от того, каков двумерный случайный процесс, выборочный спектр когерентности тождественно равен единице Следовательно, необходим другой подход, использующий выборочную коспектральную функцию и выборочный фазовый спектр Эти функции характеризуют два различных типа взаимной корреляции процессов [c.127]

Фазовый спектр Другой функцией, которая может указывать на корреляцию двух рядов, является оценка фазового спектра 12(/). В разд 9 1.1 было показано, что если два процесса некоррелированы, то эта оценка фазового спектра будет распределена Приблизительно равномерно в интервале (—1х/2, п/2]. [c.129]

Сама ковариационная матрица сглаженных спектральных оценок непосредственно не представляет особого интереса Она нужна лишь как промежуточная ступень при выводе ковариационной матрицы сглаженных оценок взаимного амплитудного спектра, спектра когерентности и фазового спектра Эта последняя матрица выводится в следующем разделе [c.138]

Сглаженные оценки взаимного амплитудного и фазового спектров и квадрата спектра когерентности [c.138]

Полученными формулами мы воспользуемся в следующем разделе при выводе доверительных интервалов для фазового спектра и спектра когерентности. [c.140]

Как показано в разд 8 4 4 для описания корреляции двух случайных процессов, в частотной области можно воспользоваться их взаимным амплитудным и фазовым спектрами Однако удобнее взять квадрат спектра когерентности и фазовый спектр [c.138]

Аналогично с помощью (8 3 29) можно определить сглаженную оценку фазового спектра [c.138]

Дисперсия сглаженной оценки фазового спектра [c.140]

Отметим, что эти дисперсии не зависят от теоретической функции фазового спектра. [c.140]

Доверительные интервалы для квадрата спектра когерентности и для фазового спектра [c.141]

В этом разделе мы обсудим некоторые практические применения формул, выведенных в разд. 9 2 2, и используем их при построении доверительных интервалов для спектра когерентности и фазового спектра [c.141]

Доверительные интервалы для фазового спектра. Приближенное распределение для оценки фазы получить труднее, чем для оценки когерентности В [1] получено довольно точное приближение распределения этой оценки, но оно очень громоздко Однако можно воспользоваться формулой (9 2 20), чтобы получить грубые доверительные интервалы для фазового спектра [2] Более точные совместные интервалы для усиления и фазового сдвига будут даны в гл 10 [c.142]

В разд 9 1 1 было показано, что если истинный коэффициент когерентности равен нулю, то оценка, соответствующая выборочному фазовому спектру, распределена равномерно на интервале (—я/2, я/2). Далее, формула (9 2 20) показывает, что влияние сглаживания сводится к уменьшению дисперсии оценки фазы Поэтому следует ожидать, что сглаживание приведет к тому, что распределение оценки фазы будет сосредоточено в более узком интервале, чем (—я/2, я/2) Чтобы упростить задачу, желательно найти такое преобразование фазы, чтобы преобразованная величина имела приближенно нормальное распределение Мы предлагаем преобразование tg F12, так как при этом интервал изменения преобразованной величины будет простираться от —оо до -foo С помош,ью (9 2 20) и (3 2 26) получаем [c.142]

Рис 93 95%-ные доверительные интервалы для фазового спектра [c.143]

Рнс 9 7 Средние сглаженные фазовые спектры двумерного процесса авторегрессии (8 1 20) [c.150]

Теоретические спектр когерентности и фазовый спектр даются формулами (8 4 19) и (8 4 20) соответственно Квадрат теоретического спектра когерентности изображен на рис 9 6 вместе со средними сглаженными спектрами когерентности при = 4, 8 и 16 Видно, что ири = 4 и 8 имеется значительное смещение, причем пик смещен при 1 = 4 приблизительно на 0,1 гц, а при = 8 на 0,05 гц При = 16 наблюдается хорошее согласие между и а при Ь = 32 теоретический и сглаженный спектры уже почти неразличимы Следовательно, для этого процесса оценка спектра когерентности имела бы достаточно малое смещение при Ь = 16 [c.150]

Теоретический фазовый спектр и его сглаженные выборочные оценки изображены на рис 9 10 при I = 4, 8 и 16 Метод стягивания окна показывает, что при 1 8 изменения фазы незначительны, а прн Ь = 16 в выборочной оценке появляются ложные пики Поэтому можно было бы, по-видимому, взять выборочную оценку [c.152]

Рис 9 10 Сглаженные выборочные оценки фазового спектра двумерного процесса авторегрессии (8 1 20) (Л = 100) [c.153]

В этом разделе мы рассмотрим описание двумерных временных рядов в частотной области Будет показано, что обсуждав-наяся в предыдущем разделе выборочная взаимная ковариационная функция имеет преобразование Фурье, называемое выборочным взаимным спектром. Этот спектр является комплексно-значной функцией, которую можно записать в виде произведения действительной функции, называемой выборочным взаимным амплитудным спектром, и комплексно-значной функции, называемой выборочным фазовым спектром Аналогично преобразование Фурье теоретической взаимной ковариационной функции называется взаимным спектром Его можно представить в виде произведения взаимного амплитудного и фазового спектров Взаимный амплитудный спектр показывает, как велики амплитуды связанных частотных компонент в двух рядах на определенной частоте Аналогично фазовый спектр показывает, насколько запаздывает или опережает по фазе такая компонента в одном из рядов соответствующую компоненту в другом ряде для данной частоты В следующем разделе приводятся примеры взаимных амплитудных и фазовых спектров,- полученные из взаимного спектра двумерного линейного процесса (8 1.14). Затем вводится несколько более полезное понятие, чем взаимный амплитудный спектр, а именно спектр когерентности Мы покажем, что спектр когерентности и фазовый спектр дают полное описание двумерного нормального случайного процесса. [c.98]

Отсюда видно, что взаимный амплитудный спектр тождественно равен нулю и, следовательно, коспектр и квадратурный спектр тоже тождественно равны нулю Фазовый спектр неопределен. [c.107]

Следовательно, если два процесса взаимно коррелированы лько в олинаковые моменты времени, то взаимный амплитудный ектр равен константе, подобно спектру белого шума. Далее, эти а процесса находятся в фазе, поскольку ф12(/) =0 Взаимный плитудный и фазовый спектры для этого примера показаны на с 8 8,12 Таким образом, процесс (8 4 2) можно рассматривать к фундаментальную модель взаимного спектра, аналогично иу как белый шум можно считать фундаментальным при изу-чии одномерного спектра [c.108]

Ф1(/). Заметим, однако, что если /11(и) =к2 и), то фl(f) = ф2(f) и фазовый спектр не меняется в результате фильтрации Следовательно, если оба входных процесса подвергаются одинаковой фильтрации, то взаимный амплитудный спектр умножается на а спектр когерентности и фазовый спектр остаются неизменными. Остаточный спектр (гл. 10) для отфильтрованных данных изменится при фильтрации так же, как и автоспектр (/), т е остаточный спектр для отфильтрованных данных будет равен остаточному спектру для исходных данных, умноженному на [c.120]

В разд 9 I показано, что выборочный взаимный спектр обладает тем же нежелательным свойством, что и выборочный автоспектр- его дисперсия не зависит от длины записи Однако из него можно получить выборочную коспектральную функцию и выборочный фазовый спектр и построить с их помощью частотный критерий корреляции двух временных рядов [c.123]

Мы видим, что выборочная функция распределения лежит целиком внутри эгих пределов при р12(0) =0 При р12(0) =0,20 и 0,55 выборочная функция распределения также лежит вблизи теоретической прямой Таким образом, при Р12(0) =0 ни выборочная коспектральная функиия, ни выборочный фазовый спектр не обнаруживают корреляции двух рядов Когда р12(0) = 0,20 и 0,55, иоведепие выборочной коспектральной функции указывает на корреляцию рядов, но выборочный фазовый спектр ведет себя так же, как и в случае некоррелированных рядов Этою следовало ожидать, так как теоретический фазовый спектр при этом равен нулю Конечно, в общем случае коррелированные двумерные процессы будут иметь как отличный от нуля коспектр, так и ненулевой фазовый спектр В таких случаях можно ожидать, что корреляция будет обнаружена как с помощью выборочной коспектральной функции, так и с помощью выборочного фазового спектра [c.130]

Кроме того, мы видим, что во всех случаях, кроме (9 2 17), дисперсия оценки равна нулю, когда коэффициент когерентности равен единице, и возрастает, когда этот коэффициент стремится к нулю. В действительности дисперсии оценок взаимного амплитудного п фазового спектров стремятся к бесконечности, когда коэффициент когерентности обращается в нуль Этого следовало ожидать, так как малые значения когерентности соответствуют большому уровню щумов и, следовательно, неэффективной оценке. Таким образом, мы получаем важный практический вывод- выборочные свойства оценок фазового и взаимного амплитудного спектров могут зависеть в большей степени от спектра когерентности, которым мы не можем распоряжаться, чем от находящегося в нашем распоряжении фактора сглаживания //Г. [c.141]

Детали вычислений. В этом разделе приводятся численные примеры взаимною спектрального анализа искусственных двумерных временных рядов с известными спектрами Мы сравним теоретические спек1ры и сглаженные выборочные оценки спектра когерентности (9 3 12) и фазового спектра (9 3 11). Влияние ширины полосы частот окна иа дисперсию сглаженных выборочных оценок мы проследим, срав швая теоретические спектры с выборочными оценками, сосчитанными по реализациям двумерных временных рядов Во всех численных примерах э(ого раздела для сглаживания г.спользуется окно Тьюки [c.146]

Два независимых процесса авторегрессии первого порядка (а, = —0,9). Первыми процессами, которые мы рассмотрим, явля-ляются два независимых процесса авторегрессии первого порядка с 1 = —0,9, = 100 Взаимную корреляционную функцию этих процессов мы оценивали в разд 82 1 Теоретический и средний сглаженный спектры когерентности этого двумерного процесса тождественно раины нулю, а теоретический фазовый спектр не определен Поэтому мы не будем сравнивать теоретический п средние сглаженные спектры Основная цель этого примера — сравнить теоретический спектр когерентности, который тождественно равен нулю, с выборочными оценками когерентности для реализаций двух рядов по 100 членов в каждой На рис 9 4 показаны сглаженные выборочные оценки спектра когерентности при I = 4, 8, 16 и 40 [c.147]

На рис. 9 7 показаны теоретический и средние сглаженные фазовые спектры процесса (8 1 20) при = 4, 8 и 16 Превосходное согласие между ф)2 и ф12 получается при = 8, а при = 16 средний сглажечный фазовый спектр уже неотличим от теоретического Поэтому для оценки фазового спектра потребовалось бы еще меньшее значение Ь, чем для оценки спектра когерентности В табл П9 1 приведены значения выборочных авто- и взаимной корреляционных функций, сосчитанные по реализации процесса (8 1 20) из М = [c.151]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология