Собственные значения оператора импульса

Одним из основных постулатов нерелятивистской квантовой механики является утверждение (см. 8), что собственные значения операторов характеризуют результаты возможных измерений соответствующих величин в произвольном состоянии. Чтобы сохранить это утверждение в релятивистской теории надо изменить определение некоторых операторов. Покажем это на примере свободного движения частицы. Собственные значения и собственные функции оператора Hj для случая движения с определенным значением импульса вычисляются с помощью уравнения [c.252]

Пусть, например, требуется определить собственные значения оператора р), являющегося функцией оператора координаты и импульса р, удовлетворяющих перестановочному соотношению [c.228]

Квантовые числа п, I и пг1 определяют собственные значения операторов энергии Е, квадрата момента импульса Р и его проекции на ось внешнего поля (в атомных единицах Хартри) [c.25]

Значение операторов момента импульса в атомной спектроскопии определяется тем, что они коммутируют друг с другом и с оператором Гамильтона. Если какой-либо оператор коммутирует с гамильтонианом, то волновые функции, описывающие систему (собственные функции гамильтониана), могут быть выбраны так, чтобы они были собственными функциями этого оператора. Например, если оператор коммутирует с (Ш, то квантовое число Ь можно использовать для характеристики волновых функций так, чтобы каждая волновая функция соответствовала определенному значению Ь. Если же оператор не коммутирует с то волновые функции не характеризуются определенным значением Ь и могут быть измерены только средние значения орбитального момента. Даже еслп не известен точный вид волновой функции, можно [c.155]

Поскольку собственные значения оператора а равны 1, то мы приходим к парадоксальному результату, что собственные значения абсолютной величины скорости частицы со спином 1/2 всегда равны скорости света. Далее, поскольку матрицы аь 2, з не коммутируют между собой, то и компоненты оператора скорости (60,27) не коммутируют между собой. Легко, однако, видеть, что четная часть оператора (60,27) для положительных решений выражается через оператор импульса равенством, соответствующим связи между скоростью и импульсом в [c.273]

В заключение этого параграфа отметим, что понятие спиральности для собственного значения оператора Ор = ор/р, Т. е. проекции матрицы o на направление импульса, сохраняется и для частиц с массой покоя, отличной от нуля. При свободном движении таких частиц оператор сГр коммутирует с оператором Гамильтона Яд, поэтому спиральность 1г является интегралом свободного движения. Однако связь между операторами ар и ys имеет более сложный характер. [c.309]

В отличие от рассмотренных в предыдущем параграфе величин (координаты, импульсы и пр.) спин не имеет аналога в классической физике, и поэтому оператор спина нельзя построить по аналогии с соответствующими классическими выражениями. Однако нам известны собственные значения проекции спина на какое-либо направление, например на ось z. Их всего два Szi = V2 h, 5 2 = — С другой стороны, в своем собственном представлении матрица оператора диагональна и содержит расположенные по диагонали собственные значения оператора. Поэтому легко построить матрицу оператора Sj в ее собственном представлении [c.78]

Чему равны собственные значения оператора квадрата момента импульса системы частиц [c.162]

Можно получить собственные значения оператора момента импульса, не используя определений (9.2) и не решая уравнений (9.6). Если взять в качестве обш,его определения операторов момента импульса в квантовой механике перестановочные соотношения (9.3) и (9.5), то, пользуясь только этими соотношениями, можно показать, что величины кг и к даются выражениями (9.7). В этом более обш,ем случае, однако, число I может быть либо одним из целых чисел / = 0, 1, 2,. .., либо [c.153]

Согласно закону 11, можно наблюдать только значения свойств систем, которые являются собственными значениями оператора, соответствующего данному свойству. Рассмотрим, к каким ограничениям приводит этот закон в отношении таких свойств, как положение, импульс и угловой момент. Это означает просто нахождение всех хороших функций данных операторов. [c.127]

В отличие от того, что было получено для координаты и импульса, здесь правая часть зависит от квадрата среднего значения координаты 2, Т.е. от величины, присущей заданному квантовому состоянию частицы. Поэтому подобные соотношения несколько менее популярны, хотя и они подчас позволяют получить полезные выводы. В качестве достаточно тривиального вывода можно отметить, например, тот, что если функция Ц), с которой вычисляются все величины в последнем соотношении неопределенностей, собственная для оператора Ь с нулевым собственным значением, то <г> также должно равняться обязательно нулю. [c.64]

Для свободного движения энергия Ер, импульс р и собственные значення А, оператора Л являются интегралами движения и могут одновременно иметь определенные значения. [c.268]

В соответствии с формальной схемой квантовой механики каждая физическая величина (например, энергия, импульс, скорость, координата) по известным правилам сопоставляется с самосопряженным оператором Ь (символ, изображающий некоторую математическую операцию) так, что экспериментально наблюдаемыми могут быть только те значения Ь = которые являются собственными значениями уравнения [c.16]

Посмотрим на то же соотношение глазами физика. Оператор —гк(1/(1х представляет собой оператор импульса e P /h — плоская волна, описывающая состояние частицы с импульсом р. Как и положено, значение импульса оказывается собственным значением его оператора. Рассматриваемое соотношение является одним из основных соотношений квантовой физики. Совершенно немыслимо игнорировать его. Целесообразней игнорировать тот факт, что плоские волны лишены обязательного свойства быть квадратично-интегрируемыми, и рассматривать его как результат некоторой идеализации. Последняя, как и всякая идеализация, требует при исследованиях определенной осторожности. [c.161]

Вид сомножителя (0) мы здесь не конкретизируем, ввиду его сложности, заметим только, что функции называемые сферическими или шаровыми, удовлетворяют условиям конечности и однозначности при целых положительных значениях 1 т. Кроме того, сферические функции будут не только собственными функциями оператора М , но и М , причем имеет место 21 + 1)-кратно вырождение, т. е. каждому значению квадрата момента импульса (каждому 1 отвечает 21 + 1) различных собственных функций М.. [c.48]

Здесь и и — постоянные, которые можно выбрать различными для разных функций 0 . Функции (О, ф) — сферические гармоники (3.6), являющиеся, как видно из гл. 9, собственными функциями операторов орбитального момента импульса значки I и т характеризуют соответствующие собственные значения. Гамильтониан коммутирует с операторами момента импульса (спиновые слагаемые не включены в гамильтониан), поэтому интегралы от гамильтониана, вычисленные для функций с различными значениями момента импульса, обращаются в нуль. Таким образом, интегралы типа (6.71) равны нулю, если 01 и 2 имеют различные квантовые числа / и т. Отсюда следует, что вековой определитель можно разбить на блоки, стоящие на главной диагонали, такие, что каждый из них содержит функции, с одинаковыми квантовыми числами 1жт, недиагональные члены, связывающие блоки с разными I или т, равны нулю. Вековой определитель можно тогда записать в виде произведения определителей более низкого порядка, каждый из которых характеризуется числами / и т, а волновые функции, получающиеся при решении соответствующих уравнений, также характеризуются этими квантовыми числами. Таким образом, именно потому, что операторы момента импульса коммутируют с гамильтонианом, атомные орбитали можно записать в форме (4.3), где сферическая гармоника выделена в виде множителя. [c.111]

В то же время квадрат момента импульса и одна из его проекций (скажем, Мг) могут иметь одновременно определенные значения. Поэтому-то, говоря о понятии момента импульса в квантовой механике, мы рассматривали только собственные функции двух операторов М и Мг- [c.48]

Если известны значения всех независимых физических величин, имеющих определенное значение в данном состоянии, то волновая функция этого состояния долл<на быть собственной функцией всех операторов, соответствующих этим физическим величинам. Например, если мы с помощью ускорителя сообщим частице импульс р, то состояние свободного движения этой [c.50]

Каждому значению импульса Ьк соответствуют два типа элементарных возбуждений системы фермионов, характеризуемые собственными функциями новых операторов чисел заполнения [c.416]

Покажем теперь, что собственные значения оператора X оказываются неположительными. Для этого умножим уравнение (6.35) на б/п и проинтегрируем по импульсам. Тогда имee,vI [c.41]

Такие -функции наз. собственными фун1щиями оператора ь, а полученные числа — собственными значениями оператора Ь. Это соответствует тому факту, что измерение величины, имеющей определенное значение в данном состоянии микрочастицы, возможно без изменения этого состояния. Как уже было сказано, состояние, в к-ром импульс имеет определенное значенне а1 (сослагающимир (. р у, р ) описывается г1>-функцией бегущей плоской волны [c.257]

Кпаитовое чпсло, имеющее смысл собственного значения оператора обычно обозначают М, однако мы используем для него обозначение М.], чтобы подчеркнуть его связь с полным моментом импульса. [c.155]

Итак, состояния квантовых систем фиксируются определенными внешними условиями, зависяшими от макроскопических параметров (внешние поля). Например, состояние свободного движения электрона с определенным значением импульса осуществляется в вакуумной трубке путем предварительного ускорения его электрическим полем. Каждому состоянию системы сопоставляется волновая функция. Вид волновой функции зависит от величин, имеющих определенное значение в данном состоянии. Волновая функция определяет возможные результаты различных взаимодействий системы, находящейся в таком фиксированном состоянии с другими телами. Измерение какой-либо физической величины в системе является одним из таких взаимодействий. Измерение всегда вызывает скачок системы в собственное состояние оператора той динамической переменной, измерение которой производилось. Результат измерения совпадает с собственным значением этого оператора. [c.53]

СП — проекции спина частицы на направление импульса. Два собственных значения +1 и —I этого оператора (или эквивалентного оператора —называют спиральност ыо частицы. Спиральность (ЬеИс11у) принято обозначать буквой = 1). [c.307]