Модель линеаризация

Исходной базой для разработки модулей любых иерархических уровней точности и общности, соответствующих различным элементам ХТС, при автоматизированном проектировании химических производств являются математические модели типовых, технологических процессов. Если известна математическая модель типового процесса, то для получения соответствующих модулей нео б-ходимо эквивалентно преобразовать данные уравнения математического описания в виде некоторой матрицы преобразования Или нелинейной операторной формы, используя методы линеаризации и теории приближения функций. Однако для этой цели в настоящее время наиболее широко применяют методы планирования эксперимента на СЛОЖНОЙ математической модели элемента ХТС, а также методы аппроксимации непрерывных процессов с распределенными параметрами дискретными процессами с сосредоточенными параметрами. [c.63]

Модели, основанные на методах планирования эксперимента. Распространенным способом свертки громоздких моделей является использование методов корреляционного и регрессионного анализа. Этот способ получения приближенной модели может быть использован наравне с линеаризацией и часто более эффективно. Получаемые в результате математические модели достаточно просты и связывают значение выходного параметра у как функцию совокупности входных ху, х ,. . Хп) в виде полиномов, например [c.428]

В заключение этого раздела необходимо особо подчеркнуть, что с помощью выборочной плотности распределения параметров р (6) оказывается возможным построить также плотность распределения р (т ) прогноза динамического и статического поведения реакционной химической системы для испытываемой конкурирующей кинетической модели. По р (т]) принимается решение о соответствии испытываемой модели реальному объекту. Так как при этом р (т]) получается с заданной точностью (без предварительной линеаризации модели) в виде гистограммы или ряда по ортогональным или биортогональным многочленам, то надежность принимаемых исследователем решений о практической пригодности модели резко возрастает. Отметим также, что использование р (т]) в процедурах дискриминации гипотез также дает возможность устранить большинство недостатков, им присущих. [c.187]

Для получения упрощенных математических моделей ТО особенно широко используются методы линеаризации, теории приближений функций, методы планирования эксперимента, а также методы аппроксимации непрерывных элементов с распределенными параметрами дискретными элементами с сосредоточенными параметрами. [c.82]

На рис. 4.3 изображены выборочные плотности распределения наблюдений для нелинейной и линеаризованной моделей для условий проведения дискриминирующих экспериментов. Хотя они существенно не различаются (что есть следствие того, что анализируемая модель истинная и линеаризация проводится в окрестности истинных значений параметров), но апостериорные вероятности принятия гипотез (рис. 4.5) для них различны и монотонно сходятся к единице, для нелинейной модели. Следовательно, данный пример показывает, что практическое применение не приближенных, а точных процедур дискриминации гипотез позволяет повысить надежность исследований, устанавливать с заданной точностью прогнозирующие возможности модели и сократить длительность экспериментирования. Тем самым перед исследователями открываются новые возможности в изучении более тонких деталей механизма физико-химических процессов. [c.200]

Мембраны в общем случае следует рассматривать как распределенные системы, кинетическая модель которых описывается дифференциальными уравнениями (1.26) или (1.27). В таких системах вдали от равновесия возмущения, являясь функцией времени и координаты, могут развиваться, конкурируя со стабилизирующими их диссипативными эффектами, обусловленными нелинейностью химических реакций. Анализ устойчивости подобных систем методом линеаризации достаточно сложен. В частности, для однородных в пространстве, но периодических во времени распределений концентраций в одномерной системе с одной переменной х получено следующее решение [4] для возмущения [c.37]

Для технологических операторов ХТС с распределенными параметрами, к которым относятся аппараты, где протекают противо-точные массообменные процессы, нахождение элементов матриц, преобразования практически сводится к свертке зонной ячеечной математической модели по пространственной координате и ее линеаризации в некотором диапазоне изменения параметров вектора входных потоков. Подобная свертка математической модели применяется также в тех случаях, когда химико-технологические нро-цессы рассчитывают на основе средних движущих сил или равновесных зависимостей. [c.89]

Приведенная система уравнении с учетом одного или нескольких размывающих эффектов исследовалась многими авторами [24, 25], но аналитические решения удалось получить только для граничных задач при линейной изотерме адсорбции. Как отмечается в [24], теория динамики адсорбции одного вещества в случае линейных изотерм с учетом известных размывающих эффектов в основном завершена. К сожалению, линейные модели динамики адсорбции не адекватно отражают реальные процессы. Так, например, даже типичное для реальных изотерм установление режима параллельного переноса при линеаризации исчезает. [c.60]

Если же некоторые модели нелинейны, то их можно линеаризовать, то есть разложить функции в ряд Тейлора и отбросить члены разложения выше первого порядка. Такой метод требует многократной линеаризации, так как точка разложения зависит от фазы расчета ХТС. [c.33]

В связи со сложностью проблемы исследования динамики ХТС целесообразно использовать возможность упрощения моделей отдельных элементов, если она имеется. Упрощение математического описания, конечно, таит в себе опасность потери некоторых существенных его свойств. Например, линеаризация нелинейных функций как возможная форма упрощения модели может привести к потере кратных решений. [c.300]

При двухуровневых параллельных методах все переменные также считаются итерируемыми, при этом на /г-том шаге итерации проводится линеаризация моделей (II, 1),для чего используется их специальный вид. После этого система уравнений (II, 1), (II, 3) становится линейной и ее решают одним из известных методов. В результате решения мы получаем новую точку, в которой опять проводится линеаризация моделей и т. д. Часто эти методы оказываются весьма эффективными. Однако они не универсальны, поскольку обычно в них используют специальный вид моделей блоков (II, 1). [c.27]

Чтобы в деталях проследить процесс линеаризации и исследования устойчивости конкретной системы, рассмотрим вывод критерия устойчивости в малом нелинейных моделей проточных реакторов с перемешиванием. Отправной точкой исследования является уравнение (III, 40), из которого следует, что собственные значения для системы второго порядка оба отрицательны, если (и только если) [c.83]

Процедура линеаризации довольно проста и может быть показана на примере более общей (неизотермической) модели частицы катализатора [c.158]

В предыдущей главе для сведения моделей с распределенными параметрами к системе обыкновенных дифференциальных уравнений использовался модифицированный метод коллокации. Получаемые дифференциальные уравнения оказывались линейными, но это объяснялось не характером метода, а было результатом предшествовавшей линеаризации. Вместо линеаризации уравнений (VII, 58) можно получить более общие уравнения (VII, 13), если воспользоваться подстановкой (VII, 45) [c.204]

В моделях второй группы априорная информация о процессе используется в наименьшей степени. Обычно это полиномиальные уравнения, связывающие между собой режимные координаты и выходные переменные. Это эмпирические зависимости, использующие качественные представления о характере влияния режимных переменных на результаты процесса. В некоторых случаях эти модели получают путем линеаризации соответствующих уравнений моделей первой группы. [c.86]

В моделях с переменными параметрами, допускающих в некоторых случаях эффективную линеаризацию, в зависимости от алгоритма решения предусмотрена 1) генерация аппроксимационных вариантов, осуществляемая по ходу реализации алгоритма решения, или 2) предварительное определение множества аппроксимирующих вариантов путем разложения варьируемых векторов технологических параметров по вершинам выпуклых многогранников, определяющих допустимые области технологических параметров. [c.43]

Процедуры линеаризации в обоих типах моделей вынесены за пределы формального описания. [c.48]

Связь между зоной охлаждения (йо-й ячейкой ) и зоной конденсации ( о + 1-й ячейкой ) осуществляется через соответствующие граничные условия и обратные связи ио линии хладагента для многоходовых ио трубам аппаратов, а переход от ячейки к ячейке — переопределением начальных условий. Практическое использование математической модели (2.7.3), (2.7.4) для построения и расчета АСР обусловливает переход к ее линеаризации. [c.86]

Оценка точности воспроизведения нелинейных зависимостей ограниченным числом членов ряда Тейлора. Сосредоточенная математическая модель поверхностного конденсатора и технологического комплекса была получена линеаризацией системы уравнений в предположении возможности представления приращения нелинейных функций линейной формой ряда Тейлора. Используемый прием является общепризнанным в практике математического моделирования объектов управления, когда колебания режимных параметров не превышают 10 % отклонения от их номинальных значений. В то же время линеаризованные функциональные связи между параметрами Q< >, [c.181]

Такую линеаризацию можно осуществить различными способами, нанример логарифмированием однако в любом случае линеаризация имеет два существенных недостатка во-первых, она не универсальна и, во-вторых, поскольку оптимизация осуществляется по новой — линеаризованной или репараметризованной модели, то в самом общем случае оценки будут смещены. [c.207]

Таким образом, для любой траектории, лежащей в множестве 11 = с Дап<б , всегда можно определить область й, в которой ошибка линеаризации пе превосхо-дит заданного а. То же самое справедливо и для отрезков траектории, для которых в (3.193) следует положить il < < 2- Только для таких областей процедура линеаризации тех или иных конкретных кинетических моделей является справедливой. [c.245]

Метод оценки параметров в нелинейно параметризованных моделях. Определение точечных оценок максимального правдоподобия, байесовских, минимаксных и т. п., еще не гарантирует необходимой для исследователя точности. Причем вся информация, характеризующая статистические свойства 0, сосредоточена в апостериорной плотности р (0 1 у) или в выборочной р (0) плотности распределения параметров. Однако построение точной выборочной плотности распределения 0 возможно только для линейно параметризованных моделей, а подавляющее большинство кинетических моделей (как и моделей физико-химических систем) нелинейно параметризованы. Линеаризация по 0 нелинейных моделей не обеспечивает достаточно хорошей аппроксимации нелинейных (даже репараметризованных) линеаризованными. Отсюда, следует, что выборочная плотность распределения р (0), соответствующая линеаризованной модели, будет существенно отличаться от р (0), соответствующей нелинейной модели. Причем это расхождение (по крайней мере, для небольших выборок) может быть столь существенно, что приведет к получению абсурдных результатов. [c.184]

Предлагается новый метод определения р (0), свободный от указанных недостатков и не использующий в процессе принятия решения о численных значениях 0 процедуру линеаризации исходной кинетической модели. Суть метода состоит в построении выборочной плотности распределения параметров нелинейной модели в виде разложения по биортогональной системе полиномов Чебышева—Эрмита. Причем необходимые для расчетов коэффициентов разложения выборочные реализации случайного вектора наблюдений генерируются с использованием метода статистиче ского моделирования [24, 25]. [c.184]

Проиллюстрируем второй метод дискриминации конкурирующих моделей на простом числовом примере, рассмотренном ранее (рис. 4.2—4.4). Дополнительно полагаем следующее. Заданы две конкурирующие модели для системы двух необратимых мономолекул ярных реакций. В качестве первой выбрали нелинейную кинетическую алгебраическую модель этих реакций, в качестве второй — полученную в результате линеаризации по параметрам первой модели. Причем линеаризация проводится в окрестности истинных значений параметров. Следовательно, при проведении дискриминации этих конкурирующих моделей будет выявляться влияние линеаризации уравнений на вид выборочной плотности распределения отклика (что характеризует пригодность модели для целей последующего моделирования и управления изучаемого [c.199]

Изло/кеппый метод оценки обусловленности системы предполагает линейность либо возможность легкой линеаризации модели. Если же линеаризация приводит к большим ошибкам, то предпочтительнее для оценки параметров использовать поисковые методы минимизации функции нескольких переменных. При этом в процессе поиска получается обширная информация о поверхности критерия оценки, которую можно использовать для непосредственного вычисления матриц корреляции параметров. Так, в работе [12] предлагается поисковый метод, основанный на вычислении коэффициентов регрессии оцениваемых параметров. Покажем, как можно использовать матрицу коэффициентов регрессии для нахождения корреляционной и ковариационной матриц. Из матрицы коэффициентов регрессии образуем матрицу вида [c.448]

Наиболее просто определяются коэффициенты однофактор- юй модели. Для этого достаточно выполнить ее линеаризацию,, югарпфмируя выражение (3.49) [c.180]

Г. Для многооткликовых ситуаций осуществить последователь-вое планирование дискриминирующих экспериментов и дискриминацию моделей статистическими методами, не предусматривающими предварительной линеаризации моделей. Основными методами дискриминации являются энтропийный и последовательного отношения вероятностей. [c.82]

Модели, основанные на линеаризации. При оптимизации сложных химико-технологических систем плодотворной оказывается идея использования двухуровневых моделей — точных и приближенных. Точная модель представляет собой детальное описание рассматриваемого процесса на всех уровнях (например, по фазовому равновесию, кинетике химического превращения и массопереноса и т. д.). Однако ее применение при решении задач оптимизации ХТС весьма громоздко и времяемко. Поэтому основным назначением точных моделей является получение и коррекция упрощенных моделей. Упрощенная модель используется вместо точной итеративно сначала совместно с ограниче- [c.427]

Модель 2. В модели 2 использован прием линеаризации дифференциальных уравнений, описывающих изменение концентраций на тарелках коло1П1Ы. При этом выделены слабоизменяющиеся комплексы. Величина этих комплексов может с достаточной точностью предсказываться в процессе интегрирования методом экстраполяции. [c.320]

Обсуждается вопрос о некорректности методики линеаризацип для нахождения параметров в случае нелинейных моделей. Предложен алгоритм улучшения свойств оценок параметров, получаемых с использоваяпем линеаризации. [c.191]

Оптимальное периодическое управление можно попытаться определить на основе прямого расчета исходного математического описания, основываясь на интуитивных соображениях и хорошо понимая особенности исследуемой системы. Так было сделано, на-пржмер, в работах [И, 12]. При эффективных циклических режимах, близких к оптимальным, достаточно часто линейная составляющая математической модели имеет решающий вклад. Такое преобладание линейной части перед нелинейными составляющими модели, решенпе которой представляется в виде соответствующей суммы, может являться достаточным качественным условием применяемости метода гармонической линеаризации для оценки основных среднепнтегральных характеристик оптимального управления [13]. [c.133]

Существует два основных подхода к расчету статических режимов с. х.-т. с. Первый подход, восходящий к Нагиеву [66], заключается в линеаризации моделей блоков и решении системы уравнений относительно параметров всех потоков схемы. Второй подход (который может быть назван декомпозиционным) основан на выделении множества потоков (обычно при этом стремятся получить потоки с минимальной суммарной размерностью), позволяющего разорвать все обратные связи в схеме и решать систему нелинейных уравнений относительно параметров выделенных потоков (см. главу IV). Программа РСС базируется на втором подходе. [c.270]

Функциональный оператор адсорбера А 1вх(0> вх(0. G t), 0свх(О, ф(0 0i- p(O. 0с вых (О , очевидно, является нелинейным, поскольку в уравнения (5.3.1) — (5,3.3) входят нелинейные члены произведения входных, выходных и внутренних параметров и нелинейная функция х((5,ф). Произведем линеаризацию системы уравнений (5.3.1) — (5.3.3). В предыдущем разделе была подробно описана процедура линеаризации системы уравнений, описывающих процесс ректификации на отдельной тарелке ректификационной колонны. Метод линеаризации математической модели процесса адсорбции в общих чертах совпадает с аналогичным методом, использованным при линеаризации математической модели процесса ректификации. В связи с этим в настоящем разделе процедура линеаризации системы уравнений (5.3.1) —(5.3.3) будет изложена более сжато, без подробного разъяснения каждо- [c.237]

Для определения можно использовать прием линеаризации [92, с. 49]. Применяя правила дифференцирования сложных и неявных функций, легко получить формулы для определения производных функции (IV, 143) по переменным и [92, с. 49]. Для решения задачи (IV, 144), (IV, 145) используется метод сопряженных градиентов, модифицированный для учета ограничений (IV, 145) (МОПГ) он был предложен в 1968 г. и является обобщением метода приведенного градиента, разработанного Вольфом [93] для решения задачи (IV, 1), (IV, 3), (IV, 141) с линейными ограничениями (IV. 3), на случай нелинейных ограничений (IV, 3). Вместе с тем следует отметить, что при решении задач оптимизации в химической технологии этот подход введения зависимых и независимых переменных для исключения ограничений типа равенства фактически использовался уже в начале 60-х годов. Причем в качестве зависимых переменных обычно выбирались переменные состояния, в качестве независимых — управления [94], а в качестве ограничений типа равенств выступали математические модели блоков и уравнения связи. На основе этого подхода был дан способ вычисления градиента функции (IV, 143) для ряда типовых схем [95, 96]. Имеется также более удобный способ вычисления производных функций (IV, 143) для общего случая [97]. В чистом виде МОПГ эквивалентен задаче 2 оптимизации ХТС [см. соотношение (1.71), (1.72)]. либо задаче 1 [см. соотношения (1, 64)—(I, 66)], когда ограничения (I. 10) отсутствуют, [c.157]

Предлагаемый алгоритм численного решения системы дифференциальных уравнений основан на методе локальной линеаризации [140]. На каждом шаге интегрирования исходная ППЭ аппроксимируется квадратичной формой, возникающая при этом новая система дифференциальг ных уравнений является линейной и, следовательно, допускает точное решение. Улучшая аппроксимацию, можно добиваться сходимости нового решения к решению исходной задачи на всем интервале интегрирования. Так как близкие поверхности определяют практически одинаковые модели, то в смысле "траекторной нормы решения должны сходиться. Сохранение аддитивных интегралов движения исходной задачи на численных решениях обеспечивается специальным выбором аппроксимирующей ППЭ. [c.79]

Упрощение модели, связанное с линеаризацией, может привести в. неправильным качественным результатам, так как зависимости, характерные для экзотермических обратимых процессов, носят экстремальн)Л характер. / [c.290]

В разделе 2.3 будет показано, что нелинейность оператора, связанная с ненулевыми начальными условиями, довольно легко может быть устранена. Нелинейность оператора, связанная с нелинейностью дифференциальных уравнений математической модели, не может быть, как правило, устранена. Для таких операторов необходимо либо придумымать индивидуальные методы исследования, либо с некоторой степенью точности заменять их линейными операторами. Более подробно процедура такой замены (линеаризации) будет описана в разделе 2.3. [c.53]

С точки зрения математической корректности эквивалентного преобразования и технологической интерпретации модели и ее решения, представляют интерес методы линеаризации, основанные на принципе разложения варьируемых веКторов(а,у(м) технологических коэффициентов a j(u) по вершинам выпуклых многогранников Ру, заданных ограничениями (2.21). Коэффициент a j(u)eGf при этом может быть определен через координаты а у,..., а у вершин выпук- [c.29]

Эта модель структурной динамики транскрипционно активного хроматина не является единственной. Так, в активно транскрибируемом хроматине рибосомных генов гриба Physarum обнаружены развернутые нуклеосомы, в которых гистоны остаются связанными в частично или полностью линеаризованной ДНК нуклеосомы. Зга модель предполагает, что в процессе транскрипции происходит линеаризация ДНК, но РНК-полимераза не смещает молекулы гистонов с транскрибируемых участков. Напомним, что регуляторный белок TFHIA генов 5S РНК шпорцевой лягушки прочно связывается с регуляторным участком, лежащим в транскрибиру--емой области, и не диссоциирует при прохождении РНК-полимеразы III. [c.256]