Апостериорная вероятность

Основные этапы процедуры последовательного дискриминационного планирования сводятся к следующему 1) по.чучение начального набора экспериментальных данных. Определение после и-го измерения значений параметров для всех рассматриваемых моделей 2) вычисление апостериорных вероятностей гипотез если вероятность одной из моделей достигла заданного значения (например, 0,999), дискриминация заканчивается 3) отыскание при необходимости продолжать планирование точки Хп, которая соответствует оптимуму выбранного критерия дискриминации 4) проведение дополнительных измерений в точке х , [c.172]

Процедуру повторяют до тех пор, пока одна из апостериорных вероятностей не достигнет значения, близкого к единице. При этом рассматривают 1-ю модель как наиболее соответствующую результатам эксперимента. [c.194]

Действительно, после шести испытаний ни одна из апостериорных вероятностей не превысила величину, большую 0,27, что не позволяет сделать обоснованных выводов о пригодности той или иной модели. В этом отношении использование формализованной процедуры проверки гипотез выглядит более предпочтительным. Апостериорные вероятности принятия шестой модели близки к единице, в то время как вероятности принятия остальных гипотез исчезающе малы. Преимущество формализованной процедуры перед классической, конечно, не в том, что на данном примере с ее помощью удалось получить апостериорные вероятности, достаточно большие по величинам, а в том, что от опыта к опыту они изменяются гораздо более значительно, чем при классическом подходе. Иначе, формализованные, статистические методы позволяют устанавливать условия проведения дискриминирующих [c.195]

Одной из основных задач при проведении дискриминации гипотез является задача надежности принимаемых решений о пригодности той или иной конкурирующей модели. Очевидно, что если среди конкурирующих моделей имеется истинная , то она выигрывает испытания при условии, что константы модели оценены верно. Если во множестве конкурирующих моделей отсутствует истинная, то можно ожидать колебания апостериорных вероятностей от опыта к опыту. Это происходит из-за неодинаковых прогнозирующих возможностей имеющихся моделей в различных подобластях области экспериментирования. Поэтому возникает значительная неопределенность в принятии решения [c.196]

На рис. 4.3 изображены выборочные плотности распределения наблюдений для нелинейной и линеаризованной моделей для условий проведения дискриминирующих экспериментов. Хотя они существенно не различаются (что есть следствие того, что анализируемая модель истинная и линеаризация проводится в окрестности истинных значений параметров), но апостериорные вероятности принятия гипотез (рис. 4.5) для них различны и монотонно сходятся к единице, для нелинейной модели. Следовательно, данный пример показывает, что практическое применение не приближенных, а точных процедур дискриминации гипотез позволяет повысить надежность исследований, устанавливать с заданной точностью прогнозирующие возможности модели и сократить длительность экспериментирования. Тем самым перед исследователями открываются новые возможности в изучении более тонких деталей механизма физико-химических процессов. [c.200]

Настройка обучающейся модели осуществляется поиском значений и на основе ограниченных предысторий входного и выходного параметров, чем достигается выполнение условий (2.63) и (2.64) для оценок апостериорных вероятностей р (j/k) решений модели. [c.130]

Отсюда получается цепочка уравнений, определяющая изменение апостериорной вероятности [c.448]

Рис. 8.5. Положение оценок различных типов на графике условной плотности распределения р х у) — оценка по максимуму апостериорной вероятности 2 — оценка по минимуму дисперсии 3 — оценка по минимуму ошибки

Критерий 1. Максимизировать вероятность того, что х=х. При этом решение задачи называется наиболее вероятной оценкой или байесовской оценкой по методу максимума правдоподобия или оценкой по максимуму апостериорной вероятности и является модой условного распределения р (х у) [c.449]

Вычисление оценки к. В рассматриваемом случае апостериорная плот-вость вероятности р (х у) является гауссовской. Поэтому оценки по всем трем вышеупомянутым критериям (максимуму апостериорной вероятности, минимуму дисперсии и минимуму ошибки) совпадают и равны условному среднему х=Л/ [х/у]. [c.451]

Если в качестве цены за ошибку использовать ступенчатую функцию (8.48), то, подставляя ее в выражение (8.49) и устремляя е к нулю, в пределе получим штрафную функцию максимума апостериорной вероятности (МАВ) [c.467]

Оценка х (Y), минимизирующая R, называется оценкой максимальной апостериорной вероятности, поскольку она получается максимизацией условной плотности вероятности р [x Yl и находится из уравнения [c.467]

Отсюда видно, что дисперсия ошибки оценки по методу МАВ меньше, чем по методу МП (причем обе оценки получаются несмещенными). Здесь имеется в виду, что параметры априорного распределения, используемого для улучшения алгоритма идентификации, выбраны правильно. Однако, как видно из формулы Байеса (8.50), при ошибочном выборе априорного распределения оценка МП может оказаться лучше оценки МАВ. Кроме того, если неизвестные параметры распределения равномерно распределены или если есть значительная неопределенность в априорном распределении (т. е. матрица ковариаций велика), то методы идентификации по максимуму апостериорной вероятности и максимуму правдоподобия равнозначны по своей эффективности. [c.468]

Перспективный подход к синтезу функционального оператор ФХС в классе нелинейных операторов основан на понятии функций штрафа за ошибку и формулируется как байесовский подход к решению задач идентификации. Использование в качестве характеристики отклонения оценки от истинного значения переменной условного математического ожидания штрафа за ошибку приводит к двум важнейшим видам оценок оценке по максимуму апостериорной вероятности (МАВ) и оценке по максимуму правдоподобия (МП), связь между которыми выражается формулой Байеса. В главе рассмотрен обш ий вид штрафной функции МАВ, минимизацией которой достигается решение задачи идентификации. [c.494]

Здесь Р(А) (), Р А), Р(А X) — соответственно априорная и апостериорная вероятности. При этом Су, С , С,,, С32 в ПП на рис. 3.2 будут иметь вид соответственно СР А,Х и У], СР А,Х или У], СР [А,Х, СР [А У] и в общем случае называются СР п- [c.100]

Пусть известно (из предыдущих выводов), что доказательство X справедливо с вероятностью Р Х 1 ) со значением на отрезке (0,1). Тогда апостериорную вероятность Р А X )) гипотезы А можно задать, например, как функцию, представленную на рис. 3.3. Таким образом, если доказательство подтверждается с вероятностью, меньшей априорной вероятности Р(Х), то соответствующее ПП ничего существенного не дает и не влияет на дальнейшие выводы, но если вероятность больше Р(Х), то влияние задается линейной функцией. При этом эффективное отношение правдоподобия определяют следующим образом [49] [c.103]

Пусть имеется система из v гипотез, и априорная вероятность 7-ой гипотезы равна Р (Hj, 0). Предположим, что проведено N экспериментов и по их результатам вычислены апостериорные вероятности Р (Н,-, N). Тогда величину [c.218]

Апостериорные вероятности гипотез рассчитываются по формуле Байеса [c.219]

Вычисление апостериорных вероятностей гипотез. Если вероятность одной из моделей достигла заданного значения (например, 0,999), дискриминация заканчивается. [c.222]

Нетрудно видеть, что вероятность Р Я1 п — 1) служит весом в уравнении критерия. Величина апостериорной вероятности вычисляется по формуле Байеса (теорема гипотез) с заменой в ней условной вероятности Р(ге / , , т. е. вероятности осуществления события п (числа опытов п) при условии, что произошло событие (или иначе имела место гипотеза-модель Л,), на плотность вероятности g тг I 7 ) [c.126]

Вычисление значения г(хп) и апостериорной вероятности Р Лг ге — 1 проиллюстрируем на простом численном примере [194]. Предположим, что процесс описывается одной реакцией со скоростью зависящей от одной переменной X. Пусть при этом было проведено четыре опыта со следующими значениями х и соответствующими им значениями скорости Уд. [c.127]

Если имеется т моделей и для них известны апостериорные вероятности Р[Е, п — 1 (г = 1, 2,. . ., т), то выражение для энтропии системы можно записать в виде [c.129]

При этом обычно для анализа используют модель системы обслуживания и восстановления технических объектов, в которой при отрицательных результатах поверки забракованные приборы заменяют на исправные, т. е. для парка средств измерений считают, что на момент окончания поверки апостериорная вероятность признания прибора исправным становится равной единице [32]. Надо отметить, что такая модель значительно идеализирована, так как не учитывает ошибки поверки средств измерений. Из-за этого вероятность признания исправного состояния средства измерений в момент окончания поверки не может принимать значение, равное единице, а оказывается несколько ниже. [c.107]

Располагая этими данными, по формуле Байеса, находим, что выходная (апостериорная) вероятность действительного присутствия полезного соединения среди пропущенных од-1,. ступенчатым отбором тг,вна [c.5]

Вероятность иметь наследственную форму болезни [2393]. Как уже отмечалось, априорная вероятность того, что наш пробанд имеет наследственную форму, равна Р Н) = 0,1. Если он имеет наследственную форму, то условная вероятность, что его первый ребенок окажется непораженным (событие и), т.е. вероятность, что он не поражен, несмотря на тот факт, что пробанд несет этот ген, равна Р и1Н) — 0,55. С другой стороны, априорная вероятность того, что пробанд имеет ненаследственную форму, равна Р (не Н) = 0,9. В этом случае условная вероятность того, что его ребенок окажется непораженным, будет Р(и/т Н)= I, потому что риска (почти) нет. Отсюда можно получить формулу для его апостериорной вероятности иметь наследственную форму [c.232]

Удобная система обозначений и форма графического представления. Мерфи [149] предложил ясную и удобную систему записи, которая делает описанное вьпне вычисление более очевидным, особенно для ме-диков-профессионалов, которые, как правило, испытывают трудности при оперировании абстрактными математическими понятиями. Конструируется таблица, в которой визуализуется пошаговое вычисление. В табл. П.8.1 приведено описанное выше вычисление для ретинобластомы. Исходя из апостериорной вероятности для нашего пробанда иметь наследственную форму [c.233]

Вычисление производится точно так же, если родословная сложнее, т.е. если у Барбары есть дочь и она захотела узнать риск для своих сыновей и т.д. В этом случае апостериорную вероятность Барбары нужно использовать для получения априорной вероятности ее дочери. Ряд конкретных примеров можно найти в [71]. [c.235]

Наоборот, окончательный риск носительства можно вычислить как апостериорную вероятность 1/6/(1/6 -I- 3/6) = 1/4 (см. также рис. П.8.6). [c.237]

Оценка параметров, основанная на максимизации апостериорной вероятности [c.153]

Максимизация апостериорной вероятности является лишь одним из многих критериев для получения оценки [c.157]

Оценка нескольких параметров по максимуму апостериорной вероятности [c.162]

Критерий максимума апостериорной вероятности можно применить и к дискретной системе, потому что он вполне соответствует естественному критерию качества. Этим критерием является вероятность ошибочного решения, которую обозначим Рош- Пусть [c.229]

Если основываться на критерии максимума апостериорной вероятности для выбора решения, то должно быть принято решение, что передан сигнал во (t). Вероятность ошибки равна вероятности того, что передан сигнал 81 ( ) и, поскольку сумма двух условных вероятностей равна единице, [c.229]

Тогда апостериорная вероятность Р < >jly) может быть определена из Р (yldij) и Р ( oj), исходя из теоремы Байеса [c.74]

Вычисляли параллельно с помощью ЭВМ шесть условий проведения эксперимента по энтропийному методу Бокса—Хилла. Причем время машинного счета по поиску наилучшего последовательного плана было заранее ограничено шестью часами. Эти два конкурируюшлх плана эксперимента были реализованы, и по схеме метода Бокса—Хилла вычисляли соответствующие апостериорные вероятности принятия конкурирующих гипотез. Из данных табл. 4.2 следует, что исследователю удалось в целом качественно верно предсказать области факторного пространства с высокими дискриминирующими свойствами. Но количественный прогноз остался все же неудовлетворительным. [c.195]

Априорную вероятностьР(/1) гипотезы [или априорные шансы 0(А)] и правдоподобные отношения и Д приписанные ПП, задают эксперты. Если одно из доказательств X или У либо оба подтверждаются с вероятностью 1, то из формул (3.18) и (3.19) соответственно можно определить апостериорные шансы и апостериорную вероятность А, но если доказательства включают надежные данные, то применяют следующий приближенный метод. [c.102]

Здесь апостериорные вероятности моделей Р (Я/, Л ) подсчитываются по формуле, совнадаюш,ей с уравнением (IX,23). Выражения (IX,32) и (IX,33) получены в предположении, что [c.220]

Применение всех упомянутых результатов как затравочного г<ксперимента для дискриминационного планирования нецелесообразно, поскольку, согласно формулам (IX,23) и (IX,25), значения апостериорных вероятностей в основном зависят от величин М (Л о + Л д) / ехр 10,5а 25г (Л о + где — число дискриминирующих опытов. Вследствие этого, если велико, при добавлении дискриминирующих опытов значения Р (Н/, N0 + Np) изменяются очень медленно. Если, наоборот, использовать лишь небольшую часть экспериментов в качестве затравочных , возможны резкие колебания значений апостериорных вероятностей, что затрудняет выбор гипотезы. [c.221]

Сначала найдем апостериорные вероятности Р[Я1 п — ]. Примем, что для каждой модели априорные вероятности равны Это означает, что ни одной модели не отдается предпочтения. Априорное распределение Иц примем равным одномерному нормальному распределению N(0,100) со средним значением О и отклонением 100. Это означает также, что сведения о величине Мц недостаточны. Априорное распределение вектора констант модели 2 берем как двул1ерное нормальное распределение N(0, 1001) со средним значением О и ковариационной матрицей 1001, где 1 — единичная матрица размерности 2X2. Априорное [c.127]

Кимер модели г Априорная вероятность Плотность вероятностей д 4 н -2,67-10 Апостериорная вероятность Р [Й 4) [c.128]

Последовательный и мощный метод выявления неполадок — так называемый критерий последовательных вероятностных отношений (КПВО) [6, 36 ] — сводится к следующему. Пусть даны две гипотезы а) неполадка появилась в момент и б) неполадка не появилась, — и мы вычисляем апостериорные вероятности для моделей, преставляющих оба эти исхода. Подробности вычислений приведены в работе [36]. Затем логарифм отношения полученных двух вероятностей сравнивается с парой доверительных границ. Если допустимые пределы нарушены, то проверка заканчивается выводом, что произошла неполадка в противном случае какой-либо определенный вывод не делается и расчеты продолжают с использованием следующего ряда наблюдений. КПВО минимизирует время получения ответа для любой заданной вероятности принять ошибочное решение, т. е. объявить верной гипотезу а) в то время как на самом деле верна гипотеза б), или наоборот. [c.177]

Вывод формул (5.14) и (5.15) основан на представлении случайных процессов с помощью ряда Карунена-Лоева и дан в приложении В. Однако представляется, что изложенный выше метод, основанный на модели с конечным числом измерений, в большей мере соответствует физической интуиции. Уравнения (5.14) и (5.15) представляют необходимые условия, которым должны удовлетворять оценки по максимуму апостериорной вероятности, когда аддитивный шум представляет стационарный нормальный процесс с нулевым средним и с положительно определенной корреляционной функцией Яп (1 — ) [c.157]

Положив в основу при выборе решения апостериорные вероятности Р I] I у (01 рассмотрим вероятность того, что был передан сигнал s (i), если был принят сигнал у ( ). Если Р [О I (01 > П I I/ (t)i, то будет принято решение, что передан сигнал 8о (О, а если имеет место обратное неравенство, то решение, что передан сигнал 81 ( ). По существу этот критерий не отличается от критерия, рассмотренного в гл. 5 в связи с оценкой параметра при аналоговой демодуляции. Они отличаются только в том отношении, что при оценке параметра отыскивался максимум по конти-ниуму возможных значений, а в рассматриваемом случае имеется лишь конечная совокупность, состоящая из двух элементов. [c.229]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология