Скалярно-векторная функция. Скалярное поле

Скалярно-векторная функция. Скалярное поле [c.360]

К таким функциям относятся скалярные, векторные и тензорные поля различной физической природы — электромагнитные, тепловые, концентрационные, радиоактивные, упругих скоростей и др. Математически системы с распределенными параметрами описываются с помощью дифференциальных уравнений в частных производных с определенными краевыми условиями. [c.34]

Макроскопические свойства в приближении локального равновесия являются функциями пространственных координат и времени. В итоге, неравновесные состояния непрерывных, т. е. гомогенных, систем описываются с помощью представлений о поле температур, поле энтропий и других скалярных, векторных или тензорных полях. Изменения неравновесных состояний описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. [c.179]

Метод МКЭ представляет собой разновидность способов приближенного численного интегрирования дифференциальных уравнений движения сплошной среды, позволяющих определить вид непрерывных функций, описывающих поле некоторых скалярных или векторных величин (давлений, скоростей). При использовании этого метода непрерывная область или тело подразделяется на конечное число подобластей (рис. 16.5). Каждый элемент может иметь свой собственный размер и свою форму, которые выбирают так, чтобы они наилучшим образом соответствовали форме и размерам тела Этот метод МКЭ отличается от метода конечных разностей, при ко тором используется сетка с ячейками одинакового размера, описы ваемыми теми же координатами, что и тело. Точки пересечения кри вых, ограничивающих соседние элементы, называются узлами Значения переменных, вычисленные в узлах, дают искомое решение Обычно конечные элементы в двухмерных задачах имеют треуголь ную, прямоугольную или четырехугольную форму (см. рис. 16.5) при решении трехмерных задач используют элементы, имеющие форму прямоугольных призм и тетраэдров. Внутри каждого элемента подбирается интерполяционная функция, описывающая изменение определяемого параметра. Выбранные аппроксимирующие функции называются пробными функциями или пространственными изменяемыми моделями. [c.596]

В классическом описании тепловых явлений используется температура в качестве скалярного поля. Основная особенность данного вариационного метода заключается в введении векторного поля в основные законы теплопроводности. Это векторное поле Н(х, у, г, t), которое мы назовем тепловым смещением, является функцией времени и координат. Оно определяется уравнением [c.19]

Характеристики электромагнитного поля являются векторными или скалярными функциями времени и точки в пространстве (пространственных координат), а характеристики среды - функциями пространственных координат, не зависящими от времени и от характеристик поля. В дальнейшем изложении предполагается, что среда изотропна, неподвижна и не содержит веществ с особыми физическими свойствами - ферромагнетиков, сегнетоэлектриков и постоянных магнитов, причем характеристики среды - скалярные функции. Вышеприведенную систему уравнений, однако, можно распространить и на более сложные структуры среды, в частности на анизотропную среду, характеристики которой выражаются как тензоры второго ранга. [c.149]

Потенциальная функция Ф (х, у) позволяет заменить изучение векторного поля скоростей изучением скалярного поля потенциала скоростей. [c.111]

Рис. 1. Отображение скалярной функции критерия на векторное поле составов питания Предположим, что имеется векторное поле исходных составов питания (в данном случае для простоты одномерное), и существует несколько вариантов организации процесса (например, три). Каждому из этих вариантов будет соответствовать свое значение критерия оптимизации для каждого заданного исходного состава питания. В целом над полем векторного аргумента будут существовать три скалярные функции. Для рассматриваемых технологических схем ректификации, эти многообразия имеют ха-

Первое уравнение, уравнение неразрывности, выражает условие сохранения массы это скалярное уравнение связывает мгновенную скорость изменения плотности жидкости в некоторой точке поля, выраженную через полную производную В/Ох, с местной скоростью расширения или сжатия Т-У, обусловленной полем скорости. Второе уравнение, векторное, выражает равенство силы, обусловленной местным ускорением, сумме местной объемной силы, силы, обусловленной градиентом давления, и сил вязкости для ньютоновской жидкости (все силы отнесены к единице объема). Третье уравнение, скалярное, выражает закон сохранения энергии. В нем скорость возрастания температуры приравнивается сумме нескольких членов. Первый из них равен потоку энергии, переносимой теплопроводностью в единицу объема согласно закону Фурье. Второй член выражен через давление исходя из полного тензора напряжений это давление определяется приближенно из обычных термодинамических соотношений для термодинамически равновесного процесса. Поток внутренней энергии, выделенной в единице объема от любого распределенного источника, находящегося внутри жидкой среды, обозначен д ", причем величина его может зависеть от координат, температуры и т. д. Диссипативный член гф, описывающий диссипацию энергии из-за влияния вязкости, представляет собой поток энергии в единице объема, равный той части энергии потока, которая в результате диссипации превращается в тепло. Этот член приближенно равен разности между полной механической энергией, обусловленной компонентами тензора напряжений, и меньшей частью полной энергии, которая описывает термодинамически обратимые эффекты, например, возрастание потенциальной и кинетической энергии. Разность представляет собой ту часть полной энергии, которая в результате вязкой диссипации превращается в тепло. Диссипативная функция имеет следующий вид [c.33]

Непрерывные системы образуют класс неоднородных объектов, у которых все или только некоторые интенсивные свойства (обобщенные потенциалы, плотности обобщенных координат и т. д.) являются непрерывными и непрерывно дифференцируемыми функциями точки или полями. В любом из своих состояний — стационарных или нестационарных — они ведут себя как неравновесные объекты. Неоднородность полей обобщенных потенциалов в этих системах делает возможным прохождение в них не только скалярных процессов (химических превращений, структурной релаксации), но и различных процессов переноса, называемых иногда в зависимости от их характера векторными или тензорными. Все это предъявляет новые требования к математическому аппарату при термодинамическом рассмотрении непрерывных систем. Он должен теперь учитывать зависимость интенсивных свойств от пространственных координат и распределение экстенсивных свойств по объему, занимаемому системой. В связи с этим возникает необходимость в переходе к локальным или иным формам уравнений состояния и [c.233]

Следует отметить, что поля Е и Н однозначно определяются заданными потенциалами А и < >, тогда как потенциалы заданного электромагнитного поля определяются неоднозначно векторный — с точностью до градиента произвольной функции, а скалярный — с точностью до Производной по времени от той же функции. Последнее обстоятельство позволяет выбирать потенциалы так, чтобы они удовлетворяли одному произвольному дополнительному условию. В качестве последнего часто вводят так называемое нормировочное, или калибровочное, соотношение [c.155]

Подход Бейдера. Одна из наиболее удачных попыток сохранения классической концепции атома в молекуле принадлежит Р. Бейдеру и его сотрудникам, исходившим из анализа распределения электронной плотности в молекуле. Электронная плотность р(х,у,2) задает некоторое скалярное поле в трехмерном пространстве, которое может быть охарактеризовано, например, его совокупностью экстремальных точек, линий и поверхностей, особых точек и т.п. Так, максимальные значения электронной плотности достигаются в точках, где находятся ядра, причем эти точки являются фактически для р(г) точками заострения (из-за поведения -функций). Чтобы четче понять топологию функции р(г), можно воспользоваться векторным полем, связанным с функцией р, а именно полем градиента Ур(г) - gradp(r), выявляющим прежде всего экстремальные свойства исходной функции р(г). [c.487]

Первичный уровень клеточного автомата представляет дискретное однородное скалярное поле. Для того чтобы описывать физический мир, эта система должна быть способна отображать все внутренние симметрии физических явлении. Это касается следующих аспектов. Во-первых, физическое пространство характеризуется непрерывными вращательными и трансляционными симметриями в рамках модели это можно реализовать, если дискретная структура клеточного автомата допускает промежуточный уровень непрерывной аппроксимации. Во-вторых, различные внутренние симметрии физических объектов могут представлять собой отражение симметрии лежащего в нх основании правила перехода, в частности, функция Р ъ (1) должна быть периодической, а не монотонной. И в-третьих, изиачаль-пая однородность скалярного клеточного автомата должна быть нарушена каким-либо образом, чтобы обеспечить появление асимметрии и векторных свойств физического мира. [c.21]

Поэтому для большинства кристаллов квантование колебаний можно производить на некотором завершающем этапе, когда уже найден закон дисперсии колебаний и тем самым определены частоты гаркмонических осцилляторов, на которые раскладывается поле колебаний. В частности, за исходный пункт квантования можно принять функцию Гамильтона (1.56) или (1.57), записанную через канонически сопряженные обобщенные координаты X (к) и импульсы (к). Поскольку процедура квантования мало связана с векторным характером смещений и отвечающих им импульсов, то мы изложим ее на скалярной модели, исходя из функции Гамильтона [c.119]

Допустим, что молекула пощ>ергается не влиянию электромагнитного поля типа светового излучения, а влиянию постоянного, электрического поля, направленного по оси г с напряженностью Е . Для этого случая векторный потенциал А можно считать равным нулю, скалярный потенциал равен —гЕ , Классическая функция Гамильтона для системы заряженных частиц будет следующей [c.451]

Скалярная величина скорости с движения молекулы связана с векторными компонентами скорости Vx, Vy, уравнением = v x+ Vy- - v. Поло кение об изотропности пространства для движения молекул означает, что вероятность обнаруншния молекул с данной скоростью с не будет зависеть от направления движения молекулы. Это в свою очередь означает, что общая функция распределения P vx, Vy, v,) -= Р (vx) Р (vy) Р i ) постоянна д.т[я всех тех комбинаций компонент, которые при сложении дают данную скорость с. Поэтому Р vx, Vy, V,) == Р с), а это значит, что функция зависит только от с и не зависит от распределения с между пространственными компонентами. Данное положение предполагает наличие определенной функциональной зависимости между Р (vx), Р (vy), и Р v . Мы можем вывести ее следующим образом. Для любого выбранного с можно одновременно иаписать два условия [c.128]

Наконец, вопрос о взаимозависимости между электрическим и магнитным полями первичного генератО >а также тесно связан с естественными ограничениями, которым подчинен генератор в изучаемом объекте. Этот вопрос довольно подробно обсужден в [71, с.177 72, с. 3ll 101, 135, 155, 168, 170, 197, 201], дополнительные соображения содержатся в 3.4. Отметим следующее согласно математической теории поля векторное поле генератора J, как и любое другое векторное поле, можно представить в виде суммы двух составляющих полей - поля без вихрей, источниками которого являются источники (дивергенция) исходного поля, и поля без источников, вихрями которого являются вихри (ротор) исходного поля источники и вихри определяют соответственно скалярный и векторный потенциалы, удовлетворяющие уравнению Пуассона составляющие поля, обусловленные источниками и вихрями, определяются как отрицательный градиент скалярного потенциала и ротор векторного потенциала соответственно (тео ема Гельмгольца [158 и др.]). Если на функцию J не наложены никакие дополнительные ограничения (кроме математических условий применимости теоремы Гельмгольца), то ее источники и вихри являются независимыми в том смысле, чго для однозначного задания функции необходимо задать отдельно возбудители, каждого вида. Если же на рассматриваемую функцию наложены определенные ограничения (как обычно бывает при исследовании биоэлектрического генератора), то при заданных возбудителях одного вида возбудители другого вида могут быть выбраны лишь из ограниченного класса, обеспечивающего выполнение указанных ограничений (которые часто могут быть заданы в виде интегрального уравнения). Электрическое поле является безвихревым, н его источники с точностью до постоянного коэффициента совпадают с источниками поля первичного генератора J, поэтому электрическая напряженность пропорциональна составляющей поля первичного генератора, обусловленной его источниками. Магнитное поле не имеет источников, а его вихри равны полной плотности тока (можно показать также, что последняя идентична вихревой составляющей поля первичного генератора). Поэтому по отношению к полю первичного генератора магнитная индукция пропорциональна векторному потенциалу его вихревой составляющей. [c.229]