Матрицы и векторные пространства

Следовательно, матрицы G представления Г преобразуются в матрицы G = исШ представления Г, и так как эти два представления различаются лишь из-за того, что в векторном пространстве по разному заданы два базиса, то они называются эквивалентными. [c.202]

Упражнение. Соотношение (2.3.1) между и представляет собой линейное отображение в векторном пространстве объектов вида (2.1.4). Матрица этого отображения О дается выражением (п tl, 2,. .., Ть Тг,. ., т.,) = [c.46]

Формально матрицы можно рассматривать с двух точек зрения. Во-первых, это математические объекты, с которыми можно производить операции таким образом, что они несколько напоминают те, что производят с числами. Во-вторых, каждая матрица определяет линейное преобразование (А), которым устанавливается связь для каждого вектора описанного в р-мерном векторном пространстве с вектором у, описанном в п-мерном векторном пространстве. Координаты этих векторов связаны соотношением [c.185]

Записанные в виде (т) ] и Г матрицы "П и соответственно представляют собой 1-формы и могут быть выражены в базисе четырехмерного векторного пространства А ( 4) следующим образом [c.43]

Векторные пространства и матрицы [c.39]

Пример 4. Множества вектор-столбцов (матриц размера тХ1), либо вектор-строк (матриц размера 1хп), определенных, например, над полем вещественных чисел, также образуют векторные пространства. Элементы этих пространств мы будем просто называть векторами, особенно в тех случаях, когда ясно, о каких именно вектор-строках или столбцах идет речь. Операции сложения и умножения на число для векторов — те же, что и для матриц. Например, пусть [c.48]

Векторные пространства при сравнении их с привычным трехмерным пространством, которое будем обозначать через обнаруживают много общих черт как в 31з, так и в iR определены операции сложения векторов и их умножения на число существуют базисные системы векторов, по которым может быть разложен любой вектор пространства определены различные преобразования векторов, представляемые таблицами коэффициентов таких преобразований, т. е. матрицами. Однако существуют и отличия в обычном пространстве 91з мы можем говорить о длине векторов, об углах между ними, сравнивать изменения векторов по длине и по направлению при различных преобразованиях и т. п. В векторном пространстве такие понятия, как длина вектора, пока не определены. Аналогия же с обычным трехмерным пространством 31з подсказывает, что если их определить, то у пространства появится множество новых интересных сторон. Каждый объект, будь то вектор или матрица преобразования, станет характеризоваться полнее и разностороннее, чем в исходном пространстве [c.61]

В трехмерном пространстве построить матрицу такого линейного преобразования, которое отображает векторное пространство относительно плоскости Оху. [c.332]

При подстановке у = 0 это выражение сводится к /г(Сь. .., Р )-Упражнение. Соотношение (2.3.1) между Qs и представляет собой линейное отображение в векторном пространстве объектов вида (2.1.4). Матрица этого отображения О дается выражением (л 2,. .., ть та,. ., т.,) = [c.46]

В разделах 5.2.1 и 5.2.2 мы показали, как изменять точку отсчета посредством преобразования матриц и как отыскивать векторное подпространство для эффективного представления содержащейся в данных информации. Для достижения следующей цели — поиска наилучшего подпространства в общем виде — нам необходимо определить лишь еще одно важное свойство пространств, в которых мы собираемся работать. Это евклидовы пространства, поскольку их базисные векторы являются ортонормированными, т. е. ортогональны и их норма равна единице. [c.191]

Изотопическое пространство такой системы пятимерно. Сверхтекучий гелий-3 описывается параметром, представленным комплексной 3X3 матрицей. Гамильтониан таких систем зависит от инвариантов, образованных из пространственных производных параметра упорядочения. Нематик и Не представляют примеры вырожденных систем, в которых параметр упорядочения реализует представление непрерывной группы симметрии, отличное от векторного представления. Из компонент параметра порядка ф можно построить конечное число к независимых инвариантов li,. .., /ft группы симметрии. Инвариант, квадратичный по параметру <р, всегда можно выбрать в виде суммы квадратов всех компонент ф, остальные инварианты— однородные функции более высокого порядка. Для тензора 5 р(а, Р = 1,. .п) ортогональной группы, U [c.154]

На втором этапе по результатам измерений вычисляются или из них выделяются характерные признаки, объединяемые в вектор признаков, называемый пространством признаков. Эти признаки могут быть определены либо непосредственно из измерений путем удаления лишних компонентов из X, либо путем проведения математических преобразований вектора или матрицы измеренных величин. Вектор в пространстве признаков У, соответствующий вектору измерений X, может быть определен как [ 1 У . .. с N <. М. Признаки матрицы измерений находятся путем проведения преобразований над ней и выбора системы преобразованных компонентов матрицы, которые наилучшим образом характеризуют систему. Выбранные признаки всегда представляются в векторной форме. [c.223]

Дипольный момент хлористого метила (8.133). В этом случае углы тетраэдра должны отличаться от углов правильного тетраэдра вследствие неодинаковости заместителей в случае векторной аддитивности уже нельзя судить о свойстве всей молекулы, взяв сумму всех связей (образовав второй след). Так, диаметр молекулы не равен скалярной сумме дипольных моментов связей. Однако величины для целых молекул получаются вполне однозначно при учете векторной направленности в пространстве величин для связей, которая в матрицах 5 передается угловыми коэффициентами. [c.430]

Изоспектральные многообразия. За отправную точку примем спектральную задачу о возмущении ранга 2 симметричного билинейного оператора. Пусть V обозначает действительное (или комплексное) конечномерное векторное пространство, ( , ) — действительное скалярное произведение, и пусть А — матрица, симметричная по отношению к скалярному произведению, то есть (Ау,и)) = и Аги), Кроме того, будем предполагать, что собственные значения А различны. [c.137]

Упражнение. Докажите свойства (1,4.3) и покажите на примере, что условие некоррелированности переменных 1, является необходимым. Упражнение. Обобщите эти утверждения на сложение более чем двух переменных. Упражнение. Сформулируйте правила для суммы двух или большего числа векторных переменных (дисперсию нужно заменить матрицей ковариаций). Упражнение. Для независимых переменных кумулянты суммы равны сумме кумулянтов. Соотношение (1.4.3) является частным случаем этого правила. Упражнение. Все три приведенные выше правила используют как само собой разумеющееся в кинетической теории газов. Приведите примеры. Упражнение. В пространстве стохастических переменных скалярное произведение можно определить как <. К>. Докажите, используя это определение, что проецирование на среднее является эрмитовым оператором. Упражнение. В пространстве действительных матриц X размером У хЛ функция [c.24]

Здесь и Б дальнейшем р(А),. (Л) и. (А) обозначают соответственно ранг, множество значений и нуль-пространство матрицы А. Размерность векторного пространства V обо1,чячается как dim V. [c.329]

Из (3.6.1) очевидно, что каждый вектор состояния х в Уз однозначно определяет х в У ег Vпричем видно и обратное. Отметим, однако, что система V не является векторным подпространством У4, ибо она не замкнута относительно операций на векторном пространстве. Тем не менее действие (4X4)-матриц на элементы V является хорошо определенной операцией, так как каждый элемент V принадлежит У4. [c.55]

Подчеркнем теперь же во избежание недоразумений, что, говоря об аналогии между реакциями и молекулами, мы везде имеем в виду их аналогию в одном определенном, а именно в структурном отношении. Структура, как известно, играет важную роль в химии. Рассматриваемая аналогия, с одной стороны, имеет черты сходства, например, с соответствием между векторами в векторном пространстве и функциями в гильбертовском пространстве. Однако в структурных матрицах стереохимических моделей молекул вследствие наличия метризации заполнены все места [304—311], тогда-как в матрицах кинетических фигур это еще предстоит сделать. [c.303]

Изоспектральное многообразие ШТ(Л). Исследуем многообразие 9Л(Л1, Л25 5 точек х у Е для которого матрицы L = L x,y) вида (2.4) имеют фиксированные собственные значения (Ai,A2,..., Ап). Будем считать, что 2п чисел Aj, различны. В этом разделе предположим, что все величины принимают комплексные значения, и не будем отдельно рассматривать действительный случай. Если векторные поля Xq линейно независимы, то они порождают каса-тельное пространство Ш. Кроме того, если считать Ш вложенным в [c.155]

Если каждому атому в диссимметричной фазе приписывается некоторый полярный вектор, то при преобразованиях пространственной группы исходного кристалла имеет место не только перестановка атомов, но и поворот атомного вектора. Состояние кристалла в целом должно описываться 3 аУУ-компонентным вектором-столбцом (ст — число атомов в примитивной ячейке),отдельныекомпонентыкоторогоуказьгеают проекцию вектора на каждом атоме. ЗстУУ-компонентные орты в этом пространстве образуют базис векторного представления пространственной группы кристалла. Поскольку полярный вектор можно рассматривать как тензор первого ранга, мы можем воспользоваться результатами 3, справедливыми для тензора любого ранга. Следует лишь матрицу преобразования тензора [c.34]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология