Тензор преобразование компонентов

Преобразовав компоненты y по законам преобразования компонент тензора второго ранга [15], потребовав инвариантности А по отношению к преобразованию (1.41), заключаем, что [c.15]

Рассмотрим, как определяются компоненты тензора деформации и его производной по времени, которую естественно назвать скоростью деформации относительно пространственной системы координат. В сущности, задача здесь состоит в переходе от конвективной системы координат, характеризуемой величинами к системе координат х . Выше рассматривались некоторые частные случаи и приемы преобразования компонент тензоров из одних координатных систем в другие нри изменении ориентации осей. Для поставленной задачи важно использовать общий метод преобразования компонент тензора из одной координатной системы в другую. [c.43]

Получим теперь феноменологические уравнения вида (5.193) в соответствии с выражением (5.205). Ранее было сказано, что каждый поток является линейной функцией всех термодинамических сил. Однако потоки и термодинамические силы, входящие в выражение (5.205) для диссипативной функции, обладают различными тензорными свойствами. Некоторые являются скалярами, другие — векторами, а третьи представляют собой тензоры второго ранга. Это значит, что при преобразованиях системы координат их компоненты преобразуются различным образом. В результате оказывается, что при наличии симметрии материальной среды компоненты потоков будут зависеть не от всех компонент термодинамических сил. Это обстоятельство называют принципом симметрии Кюри. Самой распространенной и простой средой является изотропная среда, т. е. среда, свойства которой в равновесном состоянии одинаковы во всех направлениях. Для такой среды потоки и термодинамические силы различной тензорной размерности не могут быть связаны друг с другом. Поэтому векторные потоки должны линейно выражаться через векторные термодинамические силы, тензорные потоки — через тензорные термодинамические силы, а скалярные потоки — через скалярные термодинамические силы. Сказанное позволяет написать следующие линейные феноменологические уравнения [c.88]

Полученные выражения, не меняющиеся при преобразовании координат, называют инвариантами. Понятие об инвариантах является столь же общим, как и указанные выше методы преобразования координат, которые представляют частный случай преобразования компонент любого тензора. Можно утверждать, что формулы (1.5) и (1.6) определяют первый и второй инварианты любого тензора. [c.18]

Рассмотренные на примере тензора напряжений некоторые результаты теории тензоров вполне применимы и к тензору больших деформаций. В частности, это относится к понятию главных значений тензора больших деформаций и отвечающих им трех взаимно перпендикулярных направлений в трехмерном пространстве. Это же касается и приведенных для плосконапряженного состояния формул преобразований компонент при повороте координатных осей соответствующие формулы при замене ац на у// остаются вполне справедливыми и для тензора больших деформаций. Наконец, совершенно аналогично тому, как это сделано в формулах (1.7) — (1.9), могут быть построены инварианты тензора больших деформаций, которые обозначим У , и Е . [c.27]

ОДНОЙ молекулы, отнесенным к системе координат, связанной с молекулой ( , ] = а, Ь, с). Тогда, согласно закону преобразования компонент тензоров, [c.48]

Преобразование компонент вектора М и тензора а при вращении данной системы координат (Яц) и переходе к другой си- [c.155]

В общем случае анизотропия прочности имеет более сложный характер, чем анизотропия упругих свойств. Это связано с зависимостью условий разрушения элементов структуры и материала в целом от вида и направления нагружения. В некоторых случаях (при неизменном характере разрушения) прочностные свойства, как и упругие, можно задать тензором, причем преобразование компонент тензоров прочности при изменении системы координат аналогично преобразованию компонент тензоров, задающих упругие свойства. [c.199]

Преобразования компонент тензора Т при преобразованиях системы отсчета даются формулой, аналогичной формуле (10.7а) [c.28]

Эти формулы получены в [107] путем непосредственного рассмотрения преобразований компонент симметричного тензора при операциях симметрии Сф и S . Для характеров антисимметричного тензора тем же путем находим формулы [c.211]

Поскольку левая часть равенства (150) от системы отсчета не зависит, правая часть должна, очевидно, иметь одну и туже численную величину в системе главных нормальных сечений и в системе характеристических сечений. Использование формул преобразования компонент тензора при повороте системы отсчета (80) ж формулы Эйлера дая зависимости радиусов кривизны нормальных сечений от главных радиусов кривизны [69] показывает, что это действительно имеет место. [c.199]

Это означает, что для выполнения соотношения Гу X Bz сп следует принять Г/ = Bz- Поэтому х-компонента момента количества движения может смешивать состояния Ai только с состоянием Bz- В дальнейшем приведенные в данном приложении теоремы используются для вычисления вклада различных возбужденных состояний в величину -тензора. Этот вопрос рассмотрен в приложении 3. Отметим, что из соображений удобства в таблицах характеров приведены также свойства преобразований компонент вектора момента количества движения (или более обобщенно, компонент. аксиального вектора). [c.253]

Воспользовавшись теперь формулами преобразования компонент тензоров при повороте осей координат [102], приходим к выражению, определяющему предел прочности материала в некотором направлении ф [c.219]

Отметим, что тензор (6,1) в элементарном векторном исчислении удается представить в виде вектора, обозначаемого url А или rot Л, с условием, однако, выбора правовращающих или левовращающих систем координат, т. е. с отбрасыванием не сводящихся к вращениям преобразований зеркального отражения координатных осей х = — в соотношениях (1,9). Вектор rot Л является, таким образом, искалеченным тензором (6,1). Искусственный характер представления тензора (6,1) в виде вектора виден, в частности,из того, что это возможно сделать только в пространстве трех измерений, где вследствие антисимметрии тензор (6,1) имеет только три независимые компоненты, которые и можно отождествить с тремя компонентами вектора. В пространствах другого числа измерений это сделать уже нельзя, так как тензор (6,1) будет иметь число независимых компонент, не равное числу компонент вектора. Например, в пространстве четырех измерений (6,1) имеет шесть независимых компонент, а вектор — только четыре. Помимо rot Д, существуют и другие векторы, называемые аксиальными , которые по сути дела являются отображениями антисимметричных тензоров. Таковы, например, векторы площадки, момента силы, угловой скорости и т. д. [c.28]

Из этих законов преобразования следует, что структурные постоянные являются компонентами локального смешанного антисимметричного тензора в точке 1 и, следовательно, зависят только от формы координатной сетки в окрестности единичного элемента. [c.92]

Опуская преобразования, можно записать компоненты тензора упругой жесткости [c.51]

Этот важный вопрос в гл. 2 и 3 книги затрагивается лишь вскользь. В действительности здесь используется тот фундаментальный факт, что любой тензор, содержащий все компоненты, не равные нулю, поворотом координатных осей может быть преобразован к диагональной форме, когда все компоненты, кроме диагональных, равны нулю. Это, в частности, означает, что при любом виде напряженного состояния в каждой точке тела могут быть однозначным образом выбраны три такие взаимно перпендикулярные направления, в которых действуют толька растягивающие (сжимающие), но не сдвиговые напряжения. То же относится к тензору деформаций. Подробно см. в литературе, указанной в прим. ред. на с. 27 — Прим. рев. [c.43]

Необходимо помнить, что измеряемые в эксперименте деформации вр не являются компонентами тензора. Аналогично матрица податливостей Зрд не представляет тензор, и поэтому правила тензорных преобразований к ней неприменимы. При необходимости преобразования координат из одной системы осей в другую всегда лучше исходить из тензорной записи в форме E /, а или и [c.211]

Случай одноосного растяжения может быть рассмотрен еще одним способом, если воспользоваться правилом сложения тензоров . Эта операция необходима для того, чтобы выделить из тензора напряжений, отвечающего одноосному нагружению, шаровую компоненту. Действительно, исходя из записанного выше выражения для а в напряженном состоянии, можно выполнить следующие тождественные преобразования [c.22]

Аналогично тому как это было сделано для тензора напряжений, разделим тензор деформаций на шаровую компоненту и девиатор. Для этого произведем следующие преобразования [c.35]

Уравнение линейной теории вязкоупругости формулируется для элемента вязкоупругой жидкости. Этот элемент перемещается в пространстве, поэтому для вычисления параметров, относящихся к пространственной системе координат, необходимо использовать соответствующие координатные преобразования. В случае уравнения состояния, формулируемого в виде линейного дифференциального оператора, это приводит к необходимости замены операции частного-дифференцирования иными дифференциальными операторами, более сложными по конструкции, включающими в себя различные линей-, ные и нелинейные операции, выполняемые над компонентами тензоров нанряжения и деформации. [c.167]

Пусть реологическое уравнение состояния линейного вязкоупругого тела (1.79) справедливо для малой окрестности каждой точки деформируемой среды и, следовательно, пусть это уравнение будет записано в конвективной системе координат. Переход к неподвижной системе координат осуществляется путем обычного способа преобразования. Тогда компоненты тензора напряжений в пространственной (неподвижной) системе координат записываются как [c.336]

Преобразования тензора третьего ранга, имеющего 27 (т. е. 3 ) компонент, выполняются по формулам [c.194]

Была предпринята попытка проделать и обратное преобразование, т. е. из компонентов тензоров получить значения частот. Разумеется, так можно найти лишь средние величины. При этом необходимо положить, что частота постоянна [c.178]

Когда термодинамическое состояние системы перестает однозначно определяться только внутренней энергией, объемом и числом молей (или другими переменными, которые могут быть получены из этих переменных при помощи преобразования Лежандра), число изменяемых условий, при которых может быть измерена теплоемкость, увеличивается (разд. II, 1.5). Так, например, для однозначного описания механического поведения упругого твердого тела под действием внешних сил переменных р VI V недостаточно (разд. И, 1.5.7). В этом случае давление должно быть заменено на шесть компонент Ха, тензора напряжений, а объем — на шесть компонент V тензора деформаций (умноженных на соответствующий коэффициент, превращающий их в экстенсивные переменные). Соответственно аналогом Су будет теплоемкость при постоянной деформации [уравнение (II. 37)], а аналогом Ср—теплоемкость при постоянном напряжении [уравнение (11.38)]. [c.9]

Эта формула является частным случаем общего правила преобразования компонент любого тензора из одних координат в другие. Более того, это соотношение может рассматриваться как определение понятия тензора (точнее, тензора второго ранга), ибо тензором может быть назван такой физический объект, определенный своими компонентами Гар, который при изменении системы координат преобразуются так, что в повой системе координат его компоненты могут быть вычислены по формуле (1.34). Поэтому если компоненты некоторой величины при преобразовании координат пересчитываются по формуле (1.34), то эта величина по своей природе является тейзором. [c.44]

Преобразование компонент тензоров. В общем виде соотношения между компонентами тензора второго д)анга t /, отвечаюшрми криволинейным системам координат gig i, дз и д , д , д , записываются так [c.668]

Ашкенази предложила соотношения, свободные от указанных недостатков. Исследуя симметрию механических свойств древесины и фанеры [88, 94], она ввела до пущение о тензариальности характеристик прочности, т. е. предположила, что зависимость прочности от ориентации главных осей тензора напряжений аппроксимируется формулами преобразования компонент тензора при повороте осей координат. Сравнив полученные экспериментально фигуры зависимостей модуля упругости и предела прочности от угла ф, она установила, что эти фигуры обладают одинаковой симметрией. На основании этого Ашкенази предположила, что тензор прочности есть тензор четвертого ранга(именно таков ранг тензора упругих постоянных). [c.217]

Добавки в симметричную часть являются квадратичными функциями Н, т, I. Симметричная часть е ,-определяет двупреломление света или эффект Коттона — Мутона, тензор гирации описывает обратимое вращение плоскости поляризации или естественную оптическую активность. Антисимметричная часть е" характеризует необратимое вращение плоскости поляризации света или эффект Фарадея, а антисимметричный тензор — необратимое или гиротронное двупреломление [29]. Следуя [33], будем обозначать тензоры как г- и с-тензоры, где компоненты -тензора остаются инвариантными при преобразовании знака времени, а компоненты с-тензора меняют знак нри таком преобразовании. [c.303]

Специфика магнитоупорядоченных кристаллов должна проявиться не только в антиферромагнитном дву-преломлении, но и в двупреломле-нии, билинейном по т ж1 ш определяемом тензором Этот эффект будет наблюдаться в структурах, где произведение преобразуется так же, как произведение тп/ тпп или 1ц1п- Это возможно лишь тогда, когда преобразования компонент та, т и 1ц, 1 совпадают, т. е. в кристаллах, допускающих существование слабого ферромагнетизма. Этот билинейный эффект интересен тем, что в отличие от ферро- и антиферромагнитного эффекта он должен изменять знак при неремагни-чивании т, если вектор I сохраняет при этом свое направление. [c.305]

Кроме параметрических или нестабильных нелинейных процессов, в ферритах возможны стабильные нелинейные процессы. Эти явления, обусловливающие зависимость компонент тензора магнитной восприимчивости от величины осциллирующего поля, широко используют для создания управляемых ферритовых устройств. К ним относятся детектирование, удвоение и преобразование частоты, генерирование и усиление колебаний [18, 19]. [c.384]

Если напряжения и токи отождествляются с инкрементами и с соответственно, то уравнение (6) ведет к уравнению (1) при условии, что сеть составлена из положительных сопротивлений. В таком случае сеть, обладающая активным сопротивлением, с положительными сопротивлениями и п независимыми звеньями гомологична л-мерному метрическому многообразию. Может быть показано, что преобразование между ковариантными к контравари-антными компонентами эквивалентно преобразованиям сети, осуществляемым путем сопоставления измерений разомкнутой и короткозамкнутой цепи [11]. [В обычных терминах тензорного исчисления для метрического векторного пространства силы представляют ковариантные векторы, тогда как токи — контравариантные векторы / и их скалярное произведение соответствует инварианту (тензору нулевого порядка) [c.435]

Вторая проблема связана с тем, что записанное выражение относится только к случаю одномерного нагружения. Более полное рассмотрение, обобщающее записанное выражение для трехмерных деформадий, было дано Грином и Ривлином [23]. В их работе рассматривается не ползучесть, а релаксация напряжений. Принимается, что напряжение в момент времени f зависит от градиентов смещений, осуществлявшихся в N моментов времени в интервале от О до I. После рассмотрения ограничений, связанных с требованием инвариантности свойств материала в условиях вращения элементов среды как жесткого целого, Грин и Ривлин при ТУ, стремящемся к бесконечности, получают мульти-интегральное выражение для описания общего случая нелинейных вязкоупругих явлений. Их результат относится к анализу процесса релаксации. В общем случае оказываются невозможными какие-либо простые преобразования записанных таким образом выражений с тем, чтобы перейти к формуле для ползучести. Это связано с тем, что в функционал для напряжения входят градиенты смещения. Поэтому компоненты тензора напряжений, выраженные в фиксированной координатной системе, оказываются зависящими от вращения элементов среды. [c.203]

Формула (1.35) совершенно аналогична по своей структуре формуле (1.34), которая определяла правила перехода от компонент тензора в фиксированной системе координат к компонентам этого тензора в конвективной системе координат. Тогда заключаем, что, поскольку г,/Л представляют собой компоненты тензоров скорости деформации в конвективной системе координат, величина ДоГар определяет компоненты этого тензора в системе координат х . Таким образом, при произвольной деформации среды скорость деформации может быть вычислена согласно формуле (1.36), при выводе которой учитывались все возможные преобразования координат (т. е. их деформирование и повороты). Полученные формулы определяют способ перехода от конвективной системы координат к пространственной, относительно которой рассматривается кинематика движения среды. [c.45]

Проделанные выше преобразования тензора (у из конвективной системы координат в пространственную, неспецифичны для тензора деформаций. Поэтому все полученные результаты и формулы в рав-. ной степени относятся к любому тензору, заданному в конвективной системе координат, если требуется преобразовать его в пространственную (фиксированную) координатную систему. Но приложение полученных результатов к тензору деформации позволяет получить очень важные простые формулы, определяющие компоненты тензора скоростей деформации в пространственной (фиксированной) системе координат через градиенты скорости grad v. Под градиентом скорости [c.45]

Возможность обобщения экспериментальных закономерностей, полученных в конкретных условиях опыта, связана с необходимостью выполнения определенных общих правил. Отсюда следует, что соотношения между а и 7 не могут быть произвольными. Прежде всего функция / (т , 7 у ) является физическим законом, отражающим реальные свойства материала, не связанные с тем, каким образом этот закон формально записывается. Отсюда вытекает требование инвариантности физического закона, относительно преобразований коррдиадтных осей. Как обсуждалось выше, величины компонентов тейаорив микнГО Ся при поворотах осей, но от этого не изменяются свойства среды и отражающие эти свойства физические соотношения. Поэтому физические особенности деформации должны выражаться через инварианты соответствующих тензоров, не зависящие от выбора координатных осей. [c.50]

В случае полной винтовой дислокации в ь ристалле реализуется анти плоская деформация и тензор напряжений содержит лишь две отличные от нуля компоненты ai s и (Тзз (лйния дислрклцйи ориентирована вдоль оси i). Преобразованием системы координат в лйбой точке можно добиться того, чтобы отличной от нуля осталась лишь одна компонента тензора напряжений. Действительно, [c.40]

Исследование начинают с выбора, ортогональных осей. г, у, з, фиксированных в кристалле. Этот выбор произволен, однако обычно выбирают одну (или больше, если это возможно) кристаллографическую ось. Кристалл монтируется в резонаторе таким образом, чтобы одна из осей, например ось х, была направлена вертикально. Вращая кристалл в резонаторе или магнит прибора относительно резонатора получают ряд значений расщепления. Если вертикально направлена ось X, то эти значёния расщепления связаны с изменением направления вектора напряженности постоянйого магнитного поля в плоскости yz. Аналогично получают. значения расщепления при вращении вектора напряженности в плоскостях ху и xz. Из этих измерений можно получить компоненты тензора Т сверхтонкого взаимодействия в выбранной системе координат. Окончательной же задачей является нахождение матрицы преобразования, которая диагонализирует этот тензор. [c.60]

Матричные обозначения компактнее тензорных, но надо помнить, что они не преобразуются как компоненты тензора. Для того чтобы проводить тензорные преобразования, нужно сначала перейти от сокращенной, матричной записи к записи тензорной. Запишем матрицу пъезомодулей в новом сокращенном виде [c.252]

Для изотропного тела константы с и 5 являются обратными величинами, т. е. с = 1/5, но для анизотропного тела обратными являются тензоры г и 5гуйг, а не их отдельные соответствующие компоненты. Зная компоненту тензора нельзя найти соответствующую компоненту тензора < ик1 просто как обратную величину, а нужно использовать правила преобразования тензоров. В результате применения этих правил получаем для кубической сингонии [c.283]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология