Специальные математические функции

СПЕЦИАЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ АППРОКСИМАЦИИ Пер. с англ., 1980, 31 л., I р. 90 к. [c.215]

К сожалению, нам не удастся проиллюстрировать это со всей полнотой, так как тогда необходимо было бы привлечь новый для нас и довольно сложный математический аппарат. Дело в том, что, во-первых, практически ценные результаты можно получить, имея дело с большим количеством состояний, что сопровождается, естественно, увеличением размерности переходных матриц. Пользоваться предложенными выще методами, основанными иа преобразованиях матриц, особенно при большом числе шагов, становится трудно даже с помощью современных ЭВМ. Приходится вводить специальные математические функции, упрощающие процесс вычислений. [c.153]

Более того, если образец состоит из зерен относительно простой формы, то можио предсказать развитие реакционной поверхности раздела и математически описать ход реакции во времени. Расчет можно провести даже в случае, когда зерна имеют различные относительные размеры или когда общая площадь зерен изменяется. Если гранулометрическое распределение описывается некоторыми специальными математическими функциями, то применение математических формул пе вызывает затруднений. В других случаях необходимо представить гранулометрическую кривую дугами, соответствующими простым функциям. Точность такого приближения зависит от числа и природы выбранных дуг в принципе всегда возможно получить желаемую точность. [c.255]

Найдя С, необходимо далее перейти к соответствующей ей функции с(х, ). Обратная трансформация осуществляется при помощи таблиц трансформаций или приемами, рассмотренными в специальной математической литературе. [c.409]

Отметим также, что некоторые методы специально разработаны или наилучшим образом подходят для решения оптимальных задач с математическими моделями определенного вида. Так, математический аппарат линейного программирования специально -создан для решения задач с линейными критериями оптимальности и линейными ограничениями на переменные и позволяет решать большинство задач, сформулированных в такой постановке. Так же и геометрическое программирование предназначено для решения оптимальных задач, в которых критерий оптимальности и ограниче ния представляются специального вида функциями — п о з и н о-мами (см. стр. 547). [c.30]

В этой процедуре каждая из п независимых переменных в функции, которая подгоняется, приписывается оси в л-мерной системе координат, и симплекс определяется как геометрическая фигура, состоящая из ( +1) векторов [мы будем использовать чисто математическое определение вектора, т. е. упорядоченного /г-мерного набора действительных чисел ( ь Х ,. ... .., п)]. В одномерном случае симплекс представляет собой отрезок линии, в двумерном — треугольник. и в случае трех или более измерений — полиэдр, вершинами которого являются выше отмеченные (п+1) векторы. Симплекс перемещается относительно системы независимых переменных, которые оптимизируют подгонку согласно совокупности специальных правил. Функция, используемая для определения качества подгонки для любой совокупности независимых переменных, называется функцией отклика . [c.133]

Для структур потоков с застойными зонами в насадочных колоннах предлагается следующая методика определения параметров математических моделей [21]. Экспериментальные С-кривые, построенные в координатах 1дС — 0, образуют две ярко выраженные прямые, первая из которых характеризует вымывание трассера из основного потока, а вторая определяет наличие застойных зон в насадке. По первой кривой предлагается рассчитывать параметр Ре основного потока на основе простой структуры потока, а по второй кривой определять величину застойной зоны в аппарате, используя специальное математическое описание функций распределения с застойными зонами. [c.145]

Разделение времени предполагает поочередное выполнение программ пользователей на основе соответствующих алгоритмов планирования и уровней приоритетов. Однако эта задача настолько сложна, что для ее реализации необходимо создание специальной системы разделения времени, в функции которой входило бы планирование очередности обслуживания пользователей на основе многоприоритетных алгоритмов обеспечение двусторонней связи с ЭВМ в режиме реального времени, основанное на рациональном распределении ресурсов между одновременно выполняемыми задачами обеспечение эффективного функционирования алгоритмов системного математического обеспечения на основе модульности и иерархической структуры их объединения. [c.193]

Для математического аппарата, описанного выше, существенно то, что нам известны специальные конформные отображения и интегралы от специального вида функций. Хотя этот аппарат тщательно разработан и пригоден для решения многих задач с полигональными препятствиями (см. (17], гл. II, III и V), он, вообще говоря, не пригоден для исследования кавитационного обтекания криволинейных препятствий. [c.92]

В первой главе приведены в доступной форме, не требующей специальной математической подготовки читателя, краткие сведения, касаюш иеся основ воззрения на природу химической связи в комплексных соединениях . В этой же главе книги рассмотрено состояние комплексных соединений в растворе, основные термодинамические функции, характеризующие равновесие в водных растворах, и кинетика процессов комплексообразования. [c.5]

Алгоритмы, вошедшие в специальное математическое обозначение, должны быть подвергнуты статистическому моделированию на ЦВМ для получения реальных характеристик. В качестве тестовых функций для алгоритмов оптимизации следует использовать либо различные варианты моделей, либо обобщенные теоретические и эмпирические модели. [c.170]

Оценивая перспективы применения метода Ньютона, следует отметить, что его широкое практическое использование начнется лишь после того, как на основе развитых алгоритмических методов будут созданы программы для ЭВМ, позволяющие для схем произвольной структуры вычислять значения вторых производных критерия по поисковым переменным только на основе знания математических моделей отдельных блоков, и информации о структуре ХТС, т. е. программы, аналогичные вышеупомянутым программам вычисления первых производных. Поскольку трудно предположить, что такие программы будут созданы в ближайшие годы, основное применение найдут квазиньютоновские методы первого порядка. Как мы уже отмечали, эффективность этих методов с увеличением размерности задач должна уменьшаться. Однако, есть обстоятельство, которое позволяет существенно повысить эффективность квазиньютоновских методов при оптимизации больших систем либо сама структура ХТС приводит к тому, что гессиан целевой функции имеет сильно разреженную структуру (большое число нулевых элементов), либо же с помощью специального приема удается получить модифицированный критерий, гессиан которого будет иметь сильно разреженную структуру. В связи с этим рассмотрим квазиньютоновские методы минимизации функций, имеющих сильно разреженные гессианы. Развитие этих методов началось в самое последнее время. Также как и в главе П1 мы здесь рассмотрим квазиньютоновские методы 1-го и [c.169]

Встроенные функции. Транслятор обладает широким набором функций, которые можно использовать при составлении программ. К ним относятся элементарные математические функции, арифметические функции по преобразованию данных, функции для обработки строк и массивов и специальные функции. Их аргументами могут быть скалярные выражения или массивы. В последнем случае операция выполняется над каждым элементом массива. Отдельные специальные функции рассмотрены в соответствующих разделах. Ниже приведены имена наиболее распространенных нри составлении программ элементарных и арифметических функций. К ним относятся [c.298]

Здесь п — координационное число а]),- — атомные волновые функции тех электронов, которым принадлежит основной вклад в образование химических связей с комплексообразователем С — коэффициенты, численные значения которых находят с помощью специальных математических расчетов. [c.112]

Метод 2 (априорный предсказательный подход). Этот метод используют не для объяснения корреляций между фенотипическими признаками и экологической изменчивостью, а для того, чтобы предсказать, какими должны быть эти корреляции. В принципе он позволяет делать предсказания до проведения наблюдений. Подобного рода априорные эволюционные рассуждения часто бывают основаны на допущении, что естественный отбор — процесс оптимизирующий, т. е. что в некотором смысле он ведет к эволюции наилучших из возможных признаков. Инженеры и экономисты, которые также стремятся избрать наилучшие решения для конкретных технических или экономических проблем, разработали специальные методы, например теорию оптимального управления, и эти методы находят также применение и в биологии [34]. При использовании принципа оптимальности для решения любой проблемы должны быть выполнены следующие основные требования 1) все возможные решения данной задачи должны быть известны 2) каждому решению должно быть возможно приписать некоторые числа или сложные математические функции, соответствующие либо стоимости (у), либо цене (с) этого решения относительно какого-либо заранее заданного условия. Математическая задача принципа оптимальности состоит в том, чтобы среди значений у и с найти максимальное V или минимальное с. [c.61]

Непосредственное нахождение производных сложной функции приводит к очень громоздким соотношениям. Поэтому применяются специальные математические приемы, основанные на использовании чисел Стирлинга 1-го и 2-го рода и полиномов Белла. [c.504]

Для анализа одноколонных ректификационных систем используют специальные методы расчета, основанные на приближенном математическом описании процесса, так как при определении поверхности какой-либо функции цели необходимо проводить сотни и даже тысячи расчетов с полной технико-экономической характеристикой процесса и поэтому время счета одного варианта даже на быстродействующих ЭВМ должно быть порядка 0,1 — 1 с. [c.126]

Наибольшее количество вычислительных блоков необходимо для отображения полной математической модели многоступенчатого оборудования в том случае, если воспользоваться методом разбиения на секции как компромиссом между полной теоретической моделью и моделью, построенной по передаточным функциям. В данном случае получаются сложные выражения для всех секций, выполняющих в колонне специальные функции, таких, как кипятильник и его вспомогательное оборудование, верхняя секция колонны до точки управления отбором дистиллята или питательная тарелка и тарелки, непосредственно примыкающие к ней. Разбивка колонны на подсекции показана на рис. 1Х-4. [c.116]

Математическое исследование течений с резким изменением параметров (например, в ударных волнах) с помощью дифферен-диальных уравнений ((12) и (26), (50)—для вязкого газа или (81), (83)—для идеального) оказывается затруднительным в связи с необходимостью выделения особых поверхностей (разрывов) и расчета изменения параметров на них по специальным -соотношениям. Эти трудности можно избежать, применяя интегральные уравнения, не содержащие производных от функций, характеризующих состояние среды. Для этого получим уравнения, выражающие законы сохранения массы, количества движе-иия и энергии в интегральной форме. [c.111]

Математические формулировки (3.12)—(3.18) или (3.19)—(3.21) задачи допускают введение дополнительной информации о динамике движения фаз, т. е. косвенный учет влияния ранее отброшенных конвективных членов. Это достигается путем применения ко всем членам уравнений (3.12)—(3.18) или (3.19)—(3.21) и дополнительных условий специального интегрального преобразования с ядром в виде функции распределения элементов фаз по времени пребывания в аппарате (-с, I) [14 [c.144]

Следующая точка итерации определяется с помощью формулы (II, 14). Преимущество аппроксимации обратной матрицы Якоби состоит в том, что в этом случае не нужно решать систему линейных уравнений. Однако аппроксимация самой матрицы Якоби имеет свои преимущества, которые мы обсудим ниже. Конечно, информация относительно функции / (х), получаемая во время поиска и используемая для построения матриц Bj, Hj, должна быть достаточно качественной . Ясно, что если точки поиска Xj достаточно долго будут находиться либо в гиперплоскости, либо в близкой к ней окрестности, то построить аппроксимацию матрицы Якоби будет трудно. Можно отметить некоторую аналогию с методами активного и пассивного эксперимента в теории планирования эксперимента. В методах активного эксперимента для построения математической модели объекта используются специальные возмущения, наносимые на объект. Для построения же математической модели с помощью методов пассивного эксперимента оперируют данными нормальной эксплуатации объекта. [c.32]

Для нахождения констант устойчивости обычно используют специальные функции, легко вычисляемые из опытных данных и связанные простыми математическими зависимостями с константами устойчивости. Широкое распространение получила функция образования п, предложенная Я. Бьеррумом [c.71]

Для рассматриваемой математической модели существует специальный метод исследования, с помощью которого можно достаточно полно описать динамические свойства объектов. Именно, опишем, как можно получить выражение для переходной функции объекта. Для этого необходимо решить уравнение (5.1.12) с гра яичным условием (5-1.13), в котором положено ввx t) = % t), т. е. с граничным условием [c.207]

Альтернативным к используемому в разделе III подходу, основанному па применении математического аппарата теории ветвящихся случайных процессов, является теоретико-полевое рассмотрение ансамблей разветвленных макромолекул [3]. Возможность использования методов теории ноля связана с тем, что производящий функционал распределения Гиббса вероятностей состояний таких статистических ансамблей может быть представлен в виде континуального интеграла по случайному полю, пропорциональному флуктуирующей плотности звеньев или химически реагирующих функциональных групп. Вычисление этого интеграла методом перевала при е О приводит к термодинамическим потенциалам теории среднего поля, а для расчета поправок к ним по малому параметру е необходимо учитывать флуктуации поля с помощью специальных методов теории возмущений применительно к функциональным интегралам. Для этого в разделе IV развита диаграммная техника, которая применена также к расчету парных корреляционных функций. Наиболее эффективен этот метод нри построении статистической теории разветвленных полимеров, учитывающей кроме химических, также физические (объемные) взаимодействия молекул. В таком варианте теория учитывает термодинамическое сродство полимера с растворителем и поэтому описывает фазовые переходы в процессе образования полимерных сеток. [c.147]

Решение этих задач, математическая формулировка которых сводится к требованию максимизации или минимизации критерия оптимальности, заданного в виде линейной функции независимых переменных с линейными ограничениями на них, и составляет предмет специального раздела математики — линейного программирования. [c.406]

Math ad имеет множество встроенных элементарных, специальных и статистических функций, которые будут описаны немного позже. Для облегчения ввода математических функций служит кнопка /(л ), которая выводит окно с полным перечнем функций, разбитым на тематические разделы — рис. 2.7. Шаблон выбранной выделением функции может быть перенесен в окно документа нажатием кнопки внизу окна с перечнем функций. [c.33]

Использование гельпроникающей хроматографии (ГПХ) в ее классическом варианте для оценки РТФ олигомеров ограничено. Однако совершенно новые возможности открывает использование ГПХ с детекторами комбинированного типа. Например, при использовании в качестве детектора ИК-спектрометра нетрудно одновременно измерить концентрацию полимера и концентрацию функциональных групп в зависимости от элюентного объема. Однако для получения функций ММР и РТФ на основе гель-хроматограмм требуется разработка специальных математических методов их расшифровки. [c.339]

Все элементы критерия оптимальности зависят от хишгаеского состава катализатора . Методами, изложенными в главе IV, ия чисто эмпирическим поиском удается наметить один или несколько вариантов состава химически активного катализатора. Однако для экономически обоснованного выбора катализатора следует уточнить зависимость критерия оптимизации от состава катализатора для выбранных вариантов. Такую зависимость можно выявить дополнительной постановкой специально спланированных направленных экспериментов и выразить величины G, г]), tp g, iper и другие как функции состава катализатора, например в виде пОлиноШв. Либо, что менее строго, но требует меньше времени, произвести расчет критерия для ряда вариантов состава катализатора. В первом случае оптимизацию по критерию можно провести методами математического программирования, а во втором просчетом и сравнением значения критерия оптимизации при различных вариантах. При этом, конечно, исследования должны проводиться с максимальным исключением влияния диффузионных факторов на результаты. Тогда оптимизацию структуры и формы катализатора можно проводить для данного состава как второй этап решения общей задачи оптимизации катализатора. [c.189]

Математическая модель ФХС, состоящая только из уравнений баланса массы и тепла (1.76)—(1.79), естественно, незамкнута и требует для своего замыкания постановки специальных экспериментов как с целью восполнения недостающей информации о системе (например, поля скоростей), так и с целью определения численных значений входящих в нее параметров (например, коэффициентов переноса субстанций в фазах и между фазами). Замыкание системы уравнений модели, состоящей из уравнений сохранения массы и тепла, производится путем использования косвенных ( интегральных ) характеристик, являющихся следствием конкретного динамического поведения системы. Среди таких характеристик наиболее важной (с точки зрения задач физикохимической переработки массы) является функция распределения элементов фаз по времени пребывания в аппарате (функция РВП). Эта характеристика отражает стохастические свойства системы и сравнительно просто определяется экспериментально (см. 4.2). Использование функции РВП в уравнениях баланса массы и тепла позволяет косвенно учесть динамическое поведение системы и построить математическое описание ФХС в достаточно простой форме, отражающей ее двойственную (детерминированно-стохастическую) природу. [c.135]

Задача и инженера-проектировш,ика и инженера-техиолога — обеспечение оптимальных условий проведения технологического процесса в ХТС. Инженер-проектировщик должен решать эту задачу в основном с помощью математических моделей, функций качеств, специальных программ для расчета ХТС и при необходимости с доступом к экспериментальной установке (например, к пилотной). [c.36]

Функция оптимальности может представлять собок непосредствен но математическую модель процесса и может составляться специально для целей оптимизации, например, можно составить частную экономическую модель процесса для целей экономической оптимизации. [c.52]

Квантово-химические методы основываются на определенных разделах математической теории. В связи с этим в данной гааве напомним идеи теории линейных пространств и, не претендуя на полное и детальное изложение, приведем некоторые более специальные понятия, словарь математических терминов и формулировки математических утверждений, необходимые для последующего изложения материала. Из курса квантовой механики обсуждаются преимущественно лишь те вопросы, которые будут важны для построения и анализа многоэлектронных волновых функций. [c.4]

Энергия — основная физическая величина. Математический аппарат большинства разделов теоретической физики, включая термодинамику, основан на различных формах закона сохранения энергии. Однако важнейшая особенность макроскопических систем, которые рассматриваются в термодинамике, состоит в том, что энергию макроскопической системы невозможно непосредственно измерить. Различные физические методы позволяют только определять изменения энергии отдельных частиц системы — атомов, молекул, ионов. Однако не существует никаких методов непосредственного измерения энергии системы как целого. Изменение энергии макроскопической системы определяют в виде теплоты или работы. Первоначально они рассматривались независимо. Поэтому для макроскопической системы сам факт существования внутренней энергии макроскопической системы как некоторой физической величины удалось установить только в середине XIX в., причем для этого потребовалось открыть ранее неизвестный закон природы — первое начало термодинамики. Впоследствии возникла необходимость использовать и другие неизмеряемые величины — энтропию, химический потенциал и т. п. Широкое применение в математическом аппарате термодинамики непосредственно не измеряемых величин является особенностью термодинамики как науки и сильно затрудняет ее изучение. Однако каждая неизмеряе-мая величина в термодинамике точно определена в виде функций измеряемых величин и все окончательные выводы термодинамики можно проверить на опыте. При этом для описания свойств системы используют специальные термодинамические переменные (или термодинамические параметры). Это физические величины, с помощью которых описывают явления, связанные с взаимными превращениями теплоты и работы. Все это макроскопические величины, выражающие свойства больших групп молекул. Не все эти величины можно непосредственно измерить. [c.6]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология