Решение дифференциальных уравнений различными методами

Точность решения дифференциального уравнения конечноразностным методом зависит от числа узловых точек чем больше точек, тем точнее решение, однако и тем больше объем вычислений. На практике число узловых точек выбирается из условия постоянства решения в пределах заданной точности ири различных разбиениях интервала интегрирования. [c.381]

Вследствие отсутствия методов, позволяющих вычислить диффузию, коэффициент диффузии приходится определять экспериментальным путем. Решение дифференциальных уравнений, описывающих однофазные системы при различных граничных условиях, можно выразить через гауссовскую функцию ошибок или с помощью тригонометрического ряда. При решении (см., например, работу ) рассматривается главным образом лишь первый член бесконечного ряда функции ошибок Параметры дифференциальных уравнений материального баланса приведены в безразмерном виде. Такой приближенный метод дает хорошие [c.39]

Расчет теплопередачи для любых видов тока на основе ступенчатого метода. В предыдущих разделах путем решения дифференциального уравнения теплопередачи получены зависимости для расчета теплообменных аппаратов с различными схемами взаимного тока теплоносителей. Результаты показывают, что даже для сравнительно простых схем тока получаются весьма громоздкие выводы и уравнения. Для более сложных случаев дифференциальное уравнение теплопередачи либо вообще не может быть решено в элементарных функциях, либо решения имеют столь громоздкий [c.29]

В аналитическом методе, применяемом для решения кинетического уравнения, используется метод разложения по сферическим гармоникам. Исходное интегро-дифференциальное уравнение сводится к бесконечной системе уравнений для различных гармоник функции потока ф. Обрывая ряд на каком-то члене в зависимости от требуемой точности, эту систему можно свести к конечной и показать, что первые члены разложения представляют диффузионное приближение и модель возрастной теории Ферми. [c.235]

Решим дифференциальное уравнение (25) методом Рунге-Кутта с автоматическим выбором шага по программе,описанной в литературе, придавая константам уравнения различные значения из априорных соображений. Результаты решения указанного дифференциального уравнения приведены на рис. 7. [c.40]

Задавая определенные начальные и граничные условия, можно решить уравнение (36.1) для различных вариантов нестационарной диффузии. Общий метод решения дифференциальных уравнений типа (36.1) состоит в использовании так называемой трансформации Лапласа (см. приложение 3). [c.175]

КИМ методом связано с определением значений подынтегральной функции над некоторым регулярным множеством точек. При решении аналогичной задачи по методу Монте-Карло расчет подынтегральной функции (с последующим суммированием) проводится над множеством случайных точек, равномерно распределенных в заданной области. Метод статистических испытаний используют при решении многих математических задач (вычисление интегралов, решение систем алгебраических уравнений, решение дифференциальных уравнений и др.), задач физического и прикладного характера (в особенности в атомной физике, статистической физике, в теории массового обслуживания, теории стрельбы и т. д.). Расчеты различных физических процессов по методу Монте-Карло связаны с получением последовательности случайных событий, моделирующей рассматриваемый процесс. Датой рождения метода считают 1949 г., хотя основные его идеи зародились раньше. Широкое распространение метод Монте-Карло получил благодаря появлению быстродействующих вычислительных машин. С помощью машин оказалось возможным производить расчеты для достаточно длинных цепей случайных событий, чтобы статистические методы могли дать хорошие результаты. К этому следует добавить, что расчеты по методу Монте-Карло удобно программировать точность расчетов можно по желанию увеличивать путем увеличения числа статистических испытаний. [c.387]

Численные методы. Численные методы становятся все более распространенными незаменимы в случае сложной геометрии исследуемого объекта или нелинейности теплообмена на его границах. Пакеты компьютерных программ, реализующих различные модификации численных методов решения дифференциальных уравнений (метод конечных разностей, объемов, элементов и т.п.), все более популярны на мировом рынке. [c.59]

Однако существуют, по крайней мере, два очень важных обстоятельства, которые приводят к тому, что и в настоящее время еще не существует законченной теории турбулентного течения, которая хотя бы принципиально, т. е. без учета математических возможностей решения дифференциальных уравнений движения, позволяла решать задачи турбулентного течения. Во-первых, турбулентная вязкость (как в форме так и в форме У урд) не является физическим свойством вещества, как молекулярная вязкость, но представляет собой чрезвычайно сложную, зависящую от значительного количества различных параметров функцию турбулентного состояния потока, которую в каждом конкретном случае необходимо определять экспериментально, причем непростыми методами, требующими сложной расшифровки получаемых результатов. По этой причине ни один справочник по технической гидромеханике не содержит количественных данных о значениях турбулентных вязкостей, тогда как значения молекулярной вязкости многочисленных текучих сред (капельных жидкостей, газов и паров) широко представлены в физической и технической литературе. [c.55]

Для инженерных расчетов процессов движения турбулентных потоков, требующих, как правило, определения величин необходимых перепадов давления на различных участках гидравлических систем, теоретические методы анализа турбулентных потоков не дают возможности получить необходимые для практики расчетные формулы (аналогичные, например, формуле (1.57) для ламинарных потоков). Поэтому гидравлические расчеты для турбулентного режима течения потоков на практике производятся по формулам, получаемым не из теоретических решений дифференциальных уравнений движения, а путем обобщения результатов экспериментальных измерений величин перепадов давлений (АРтр). скоростей движения вязких жидкостей (Ш), диаметров и длин трубопроводов (й и Ь), а также физических свойств жидкостей (молекулярной вязкости ц и плотности р). [c.75]

Второй упоминавшийся выше метод, заключающийся в решении дифференциальных уравнений с конкретными начальными и граничными условиями, значительно точнее, чем метод, основанный на концепции реакционного слоя. В этом случае толщина кинетического слоя 11 не является параметром теории, а используется только при оценках. Величина х при этом может быть найдена из зависимостей, описывающих распределение концентраций реагирующих веществ в приэлектродном слое раствора. Этот метод применим для электродных процессов, осложненных различными химическими реакциями, предшествующими переносу электрона", регенерацией деполяризатора , а также процессы с медленной электрохимической стадией и быстрыми предшествующими и последующими реакциями и др. 2 . [c.18]

Существенно нелинейный характер электрохимической ячейки как объекта регулирования, непостоянство ее статических и динамических характеристик при различных режимах обработки ставят задачу применения машинных методов для совместного решения дифференциальных уравнений электрохимической ячейки и регулятора и использования нелинейных функциональных устройств в составе аппаратуры при регулировании МЭЗ. [c.141]

Аналитический метод Ю. А. Соколинского (стр. 163). Расчетные формулы получены решением дифференциальных уравнений, связывающих кинетику процесса и теплообмен, для различных систем трубок. Они позволяют непосредственно определить температуру и концентрацию аммиака в любой точке по высоте катализаторной коробки. [c.148]

Существенной чертой метода является введение преобразований, посредством которых каждому элементу электрохимической системы соответствует электрическая составляющая в эквивалентной цепи. Например, трансформантой для линейной диффузии реагента всегда служит несбалансированная омическая длинная линия [1а] с распределенными вдоль ее длины последовательным сопротивлением и шунтирующей емкостью. В то же время трансформантой необратимости в реакции переноса заряда является только сопротивление. Трансформанты других элементов физической системы столь же просты, а точная эквивалентная цепь часто получается простым соединением различных трансформант в соответствии с некоторыми несложными правилами. Окончательная цепь при наличии запутанной системы реакций может оказаться довольно сложной по структуре и зависеть от слишком большого числа параметров, чтобы иметь непосредственное практическое значение. Однако обычно получается точная цепь для фарадеевского импеданса, и если необходимо ввести упрощения, то это делается на последней стадии, и их последствия становятся более заметными, чем если бы они предшествовали обычному математическому рассмотрению. Хотя с академической точки зрения этот метод нельзя сравнить с могущественными операционными методами, теперь объединенными в преобразовании Лапласа, все же проистекающие от его использования выгоды, которые выражаются в упрощении вычислений и более ясной форме решения, вполне соизмеримы с преимуществами преобразования Лапласа при решении дифференциальных уравнений в частных производных. [c.43]

Таким образом, в практике программирования для АВМ возможно сочетание различных методов при решении дифференциальных уравнений. [c.70]

Идея алгоритма, реализующего вычислительную процедуру статистического моделирования периодического процесса сушки в псевдоожиженном слое, состоит в следующем по предварительно определенным коэффициентам канонического разложения Оу и bv для момента времени т формируются значения пары реализаций случайных процессов г(т ) и ш(та) по ним определяются значения случайных процессов изменения параметров, входящих в уравнения тепло- и массообмена, далее производится решение дифференциальных уравнений тепло- и массообмена для момента времени т, после чего либо расчет повторяется для момента т +ь либо, если это последний момент времени, расчет заканчивается. Для того чтобы получить осредненные результаты для всего слоя в целом, необходимо проводить параллельный расчет для набора пробных частиц, находящихся в различных условиях (различные пары реализаций (т ) и г (хк)). Кинетические кривые для слоя в целом получаются осреднением кинетических кривых пробных частиц. Особенностью периодического процесса сушки является изменение теплофизических параметров слоя во времени. Это изменение параметров может быть учтено методом запаздывающего аргумента. При этом для момента проводится численное решение системы дифференциальных уравнений тепло- и массопереноса для набора пробных частиц, вычисляются средние по объему значения температур и влажностей пробных частиц затем вычисляются средние значения температур и влажностей для всего слоя в целом с использованием осреднения по набору пробных частиц [c.192]

Г. М. Панченков пренебрегает продольной диффузией. Он показал, что послойный метод решения задачи динамики сорбции (хроматографии) совпадает со способом приближенного решения дифференциального уравнения материального баланса колонки совместно с уравнением изотермы адсорбции при помощи метода конечных разностей. В динамике сорбции одновременно имеют место два процесса 1) диффузионная доставка противоионов к зерну ионита и 2) доставка сорбируемых противоионов потоком подвижной фазы. Скорости внешней диффузии и потока могут находиться в различном соотношении или скорость внешней диффузии намного больше скорости подвода вещества потоком, или скорость внешней диффузии мала или сравнима со скоростью потока раствора. В первом случае ионный обмен (сорбция) определяется потоком. При решении задачи динамики равновесной сорбции послойным методом можно учитывать или внешнедиффузионную, или поточную кинетику. Для колонки, упакованной шарообразными зернами радиуса, [c.99]

При моделировании на ЦВМ получается совокупность чисел, отражающих конечный результат протекания процесса. Картину же изменения внутренних связей между физико-химическими величинами в ходе решения получить нельзя. Причиной этого является сам принцип дискретности работы цифровой машины и вытекающая отсюда при решении необходимость предварительного преобразования дифференциального уравнения методами численного анализа. Естественно, что это в некоторой степени обесценивает результаты моделирования на ЦВМ. Однако возможность получения значительного объема числового материала при моделировании различных вариантов частично компенсирует [c.11]

В гл. 6 были приведены некоторые дифференциальные уравнения (в том числе и в частных производных), применимые для производственно-технических расчетов. Мы будем рассматривать решение уравнений различных процессов только с позиций химической инженерной практики. Если придерживаться точных математических методов, то предложенные уравнения можно решить лишь в простейших случаях. Возникающие при этом трудности могут иметь двоякое основание. [c.81]

В табл. 1 дана характеристика областей применения различных методов оптимизации, при этом за основу положена сравнительная оценка эффективности использования каждого метода для решения различных типов оптимальных задач. Классификация задач проведена по следующим признакам 1) вид математического описания процесса 2) тип ограничений на переменные процесса и 3) число переменных. Предполагается, что решение оптимальной задачи для процессов, описываемых системами конечных уравнений, определяется как конечный набор значений управляющих воздействий (статическая оптимизация процессов с сосредоточенными параметрами), а для процессов, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений, управляющие воздействия характеризуются функциями времени (динамическая оптимизация процессов с сосредоточенными параметрами) или пространственных переменных (статическая оптимизация процессов с распределенными параметрами). [c.34]

Лучшим методом доказательства справедливости той или иной схемы реакции является решение системы модельных дифференциальных уравнений. Оно повторяется для различных значений каждого кинетического коэффициента до тех пор, пока не будет достигнуто наилучшее соответствие с эксперименталь ными данными. [c.31]

Теория подобия используется для обобщения данных о каком-либо физическом процессе при осуществлении его в аппаратах различного размера. Методы теории подобия применяют для определения физических характеристик процесса в большом аппарате на основе изучения этого процесса в малом аппарате. При этом принимается, что процесс описывается одной и той же системой дифференциальных уравнений, т. е. что структура математического описания неизменна. Предполагается, что аналитическое пли численное решение этого описания вызывает затруднения. [c.20]

Существенным моментом при создании специализированных пакетов прикладшхх программ является использование одного или ограниченной совокупности методов для решения широкого класса задач. Значительный опыт по разработке таких систем накоплен при решении дифференциальных уравнений, для описания динамических систем (расчет траекторий полета спутников, баллистика и т. д.). К таким системам можно отнести системы MIDAS [17], MIMI [18], в основе которых используются формулы Рунге— Кутта различного порядка. [c.275]

Формы орбиталей. Решение дифференциального уравнения Шредингера (18.17) осуществляют суммированием этих плотностей по бесконечному множеству бесконечно малых объемов с1и, точнее, его интегрированием. Строгое решение (18.17) удалось осуществить только для атома водорода, перейдя от прямоугольной системы координат х, у, г) к сс1)ерической (9, ср, т—широта, долгота и радиус-вектор). Для расчета энергии более сложных атомов остальных элементов периодической системы используют различные методы прибли>кений. В случае атома водорода интегрирование приводит к волновой функции вида [c.206]

Эта легкость в обращении с различными условиями на поверхности является одним из преимуществ графического метода по сравнению с аналитическим решением дифференциального уравнения, Когда переменные граничные условия приводят к значителшьгм математическим трудностям. Впоследствии этот метод был применен А. Несси и Л. Ниссолем для тел других форм и для гомогенных систем [Л. 31]. [c.129]

Для расчета констант скоростей реакций используются данные исследования кинетики химической реакции, то есть опытные значения изменяющихся во времени кош1ентраций компонентов в реакционной среде. Эти данные позволяют установить предполагаемый механизм реакции, составить уравнения кинетики реакции в форме системы дифференциальных уравнений, и в ходе решения этой системы уравнений с различными подставляемыми значениями констант скоростей реакции подбирают такие значения констант скоростей реакции К, при которых расчетные значения кинетических кривых наиболее хорошо совмещаются с опытными в сходственных (реперных) временных точках (рис.2.1). Решение дифференциальных уравнений можно выполнить достаточно простым методом Эштера. Напомним, что в методе Эйлера искомая функция изменения параметра С (например, концентрации) во времени г задается дифференциальным уравнением (1С/(1т = (С) и в любой момент времени г,- расчетная величина С,- находится по уравнению [c.13]

Для решения уравнения Шрёдингера применяется метод разделения переменных, используемый обычно при решении дифференциальных уравнений. Исходное уравнение преобразуют таким образом, чтобы в одной из его частей оставалась всего одна переменная, после чего обе части уравнения полагают равными некоторой постоянной величине. Этот процесс повторяют до тех пор, пока не получится ряд уравнений, каждое из которых содержит всего по одной переменной. Таким образом, приходится ввести всего три постоянные, называемые квантовыми числами и обозначаемые п, I и т. Каждое из этих квантовых чисел может принимать множество различных значений и каждой разрешенной (особыми правилами) комбинации этих значений соответствует одно из решений волнового уравнения (уравнения Шрёдингера), называемое волновой функцией. [c.74]

Быстродействующие цифровые вычислительные машины широко применялись в электрохимических исследованиях электродных процессов и в настоящее время признаны практически необходимыми во многих исследованиях такого рода (см. обзоры Лауэра и Остеръянга [336], а также Фельдберга [180]). Цифровая вычислительная машина значительно облегчила численное решение дифференциальных уравнений, часто сопутствующих различным электрохимическим методам. До сих пор эти уравнения решались приближенно лишь при очень ограниченных условиях (например, малые отклонения от равновесия, малое или большое время). Даже если имеются точные решения, обработка экспеоиментальных кинетических данных с помощью вычислительной [c.270]

Жесткость дифференциальных уравнений химической кинетики приводит к необходимости использования специальных методов интегрирования. В этих методах наряду с вычислением правой части дифференциальной задачи обычно используют матрицу Якоби, что в случае достаточно сложной химической реакции требует от вычислителя больших (даже огромных) затрат времени на получение элементов этой матрицы и составление подпрограмм . ее вычисления. В то же время правая часть задачи и матрица Якоби имеют достаточно простую структуру относительно концентраций реагентов. Это определяет целесообразность создания генерирующей программы, которая использует в качестве входных данных описание кинетической схемы, близкое к естественному. В настоящее время существует много программ такого типа (см., например, [1—12]), но некоторые из них являются труднодоступными . Кроме того, часть этих программ ориентирована на конкретные методы интегрирования, что является их существенным недостатком. Широкий набор решаемых задач, требование к точности и времени вычисления решения предполагают использование различных методов, а также их комбинацию в процессе решения. В [12] приведены формулы, достаточно удобные для генерации подпрограмм вычисления правой части и матрицы Якоби дифференциальных уравнений химической кинетики в случаях изотермического и неизотермического реактора постоянного объема. В настоящее время на базе ИХКиГ СО АН СССР и Вычислительных центров СО АН СССР городов Новосибирска и Красноярска разработан комплекс программ, который позволяет автоматизировать процесс решения прямой кинетической задачи. Комплекс написан на языке ФОРТРАН IV и ориентирован на работу в операционных системах Рафос и К8Х-11М. [c.54]

Хотя конечноразностные методы решения дифференциальных уравнений были давно известны, их применение оказалось возможным лишь для самых простых частных дифференциальных уравнений вледствие необходимости производить обширные и трудоемкие вычисления. Шелдон и Томас [13] опубликовали обзор различных методов решения этих уравнений с помощью дискретных вычислительных машин и отметили огромное количество математических операций, которые при этом должны быть произведены. Для одноразмерных, зависящих от времени задач (подобно упоминавшимся выше одноразмерным уравнениям для ионообменной колонны), если необходимо вычислить тридцать точек во времени и пространстве с точностью до четырех знаков, потребуется от 10 000 до 1 миллиона операций. [c.225]

Метод Монте-Карло является одним из методов вычислительной математики. Специфическая черта этого метода, называемого также методом статистических испытаний, состоит в том, что в процессе вычислений используются случайные величины (случайные числа), и, следовательно, в расчеты вносятся вероятностные элементы. В любом ю классических методов (например, при вычислении определенного интеграла по методу трапеций) процесс вычислений строго детерминирован последовательность действий, с помощью которых находится искомая величина, заранее однозначно определена. Вычисление многократного интеграла классическим методом связано с определением значений подынтегральной функции над некоторым регулярным множеством точек. При решении аналогичной задачи по методу Монте-Карло расчет подынтегральной функции (с последующим суммированием) проводится над множеством случайных точек, равномерно распределенных в заданной области. Метод статистических испытаний используется при решении многих математических задач (вычисление интегралов, решение систем алгебраических уравнений, решение дифференциальных уравнений и др.), задач физического и прикладного характера (в особэнности, в атомной физике, статистической физике, в теории массового обслуживания, теории стрельбы и т. д.). Расчеты различных физических процессов по методу Монте-Карло связаны с получением последовательности случайных событий, моделирующей рассматриваемый процесс. Датой рождения метода считают 1949 г., хотя основные его идеи зародились раньше. Широкое распространение метод Монте-Карло получил благодаря появлению быстродействующих вычислительных машин. С помощью машин оказалось возможным производить расчеты для достаточно длинных цепей случайных событий, чтобы статистические методы могли дать хорошие результаты. К этому следует добавить, что расчеты по методу Монте-Карло удобно программировать точность расчетов можно по желанию увеличивать путем увеличения числа статистических испытаний. [c.420]

Книга Козмана начинается с изложения основных математических нонятий и методов, используемых в квантовой механике. Сюда относятся элементы алгебры операторов, решение дифференциальных уравнений, разложение функций в ряды и т. д. Далее подробно излагается классическая теория колебаний, аналогии с которой широко используются в квантовой химии. Вторая часть книги посвящена рассмотрению основных принципов квантовой механики, сформулированных в виде законов и следствий, и применению уравнения Шредингера к большому числу конкретных задач (осциллятор, частицы в ящиках, прохождение через потенциальные барьеры, атом водорода и т. д.). Детально изложен вопрос об угловых моментах. В третьей части рассматриваются многоэлектронные атомы. После всей этой большой подготовительной работы автор переходит к рассмотрению молекул. При этом детально рассматриваются сравнительно простые молекулы, вопросы теории направленных валентностей, расчет молекулы бензола и т. д. Автор не ставит своей целью изложение всего огромного материала, который имеется в настоящее время по расчету различных молекул, а подробно рассматривает простейшие примеры, что хорошо подготовляет читателя для самостоятельной работы и понимания оригинальной текущей литературы. [c.6]

Метод усреднения решения дифференциальных уравнений движения дисперсных частиц. Для построения различных приближений полученного уравнения в аналитическом виде используем метод усреднения, основные положения которого изложены в книге Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского (1963). В соответствии с этим методом решение уравнений (4.6.10) для движения дисперсных частиц будем искать в виде разложения по степеням вплоть до и суперпозиции медленного или усредненного движения и периодического дрожания , амплитуды и частоты которого медленно меняются по координахе [c.364]

Именно это обстоятельство, т. е. необходимость выполиения гранпч1п11х условий, заданных в различных точках экстремали, зачастую и осложняет получение численного решения. Для того чтобы попять, какие при этом возникают трудности, рассмотрим простейший метод численного интегрирования дифференциальных уравнений, используемый для выполнения расчетов на вычислительных мап]пнах. [c.215]

Как только получена полная математическая модель процесса, системотехник приступает к разработке системы управления, непосредственная и основная цель которой — решить систему дифференциальных уравнений, содержащих данную модель системы. Это решение покажет, является ли предлагаемая схема управления реальной. Для решения этой задачи системотехник дополнительно использует различные теоретические методы, перечисленные в главе VIII (см. стр. 107) все они без исключения являются методами обработки обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.110]

Теория подобия используется для обобщения данных о каком-либо физическол процессе при осуществлении его в аппаратах различного размера. Методы теории подобия применяют для определения физических характеристик процесса в большом аппарате на основе изучения этого процесса в малом аппарате. При этом принимается, что процесс описывается одной и той же системой дифференциальных уравнений, т. е. что структура математического описания неизменна. Предполагается, что аналитическое или численное решение этого описания вызывает затруднения применение же теории подобия позволяет выполнить исследование процесса, не прибегая к решению системы дифференциальных уравнений. [c.134]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология