Плотность вероятности вычисление

Для описания свойств электрона используют волновую функцию, которую обозначают буквой (пси). Квадрат ее модуля вычисленный для определенного момента времени и определенной точки пространства, пропорционален вероятности обнаружить частицу в этой точке в указанное время. Величину 1)з называют плотностью вероятности. Наглядное представление о распределении электронной плотности атома дает функция радиального распределения. Такая функция служит мерой вероятности нахождения электрона в сферическом слое между расстояниями г и (л + с1г) от ядра. Объем, лежащий между двумя сферами, имеющими радиусы г и (г + йг), равен 4пг с1г, а вероятность нахождения электрона в этом элементарном объеме может быть представлена графически в виде зависимостей функции радиального распределения. На рис. 1.2 представлена функция вероятности для основного энергетического состояния электрона в атоме водорода. Плотность вероятности гр достигает максимального значения на некотором конечном расстоянии от ядра. При этом наиболее вероятное значение г для электрона атома водорода равно радиусу орбиты ао, соответствующей основному состоянию электрона в модели Бора. Различная плотность вероятности дает представление об электроне, как бы размазанном вокруг ядра в виде так называемого [c.13]

Обобщенные координаты и обобщенные импульсы микрообъектов называются динамическими переменными. Например> для систем, введенных в предыдущем параграфе, динамическими переменными служат их координаты а и импульсы р . Как указывалось в начале 1, для вычисления средних значений функций от динамических переменных следует пользоваться плотностями вероятности осуществления динамических состояний. Метод ансамбля Гиббса в принципе позволяет находить плотности вероятности динамических состояний термодинамически равновесной макроскопической системы. В дальнейшем мы будем пользоваться только каноническим распределением Гиббса, определенным формулой (1.2), Как видно из указанной формулы, функция р = ехр(—рЯ) симметрична относительно перестановок аргументов (дх,..., qN), если такой симметрией обладает функция Гамильтона Я. При взаимодействии парного типа функция Гамильтона задается формулой (1.5) и, очевидно, симметрична. Для определения средних значений функций, зависящих от обобщенных координат и независящих от,импульсов, следует пользоваться функцией распределения [c.31]

Если выборочное распределение не согласуется с законом нормального распределения, иногда удается получить хорошее аналитическое приближение при помоши Л-ряда Шарлье. Используя три первых члена ряда Шарлье, получим формулы для вычисления плотности вероятности (х) и функции распределения [c.73]

Этап 3. Вычисление апостериорной плотности распределения /) (х/у) вектора х. Это можно сделать либо непосредственно на основании пунктов 1 и 2 по определению условной плотности вероятности [c.450]

Вычисление р (х/у). По формуле вычисления условной плотности вероятности имеем [c.451]

К первому из них относятся методы, обнаруживающие моды (максимумы). Кластеры связаны с модами в функции плотности вероятности, определяемой процессом генерации данных. Следовательно, необходимо вычислить функцию плотности вероятности и найти все моды каждая мода соответствует кластеру. Каждый объект должен принадлежать одному из кластеров. На последней стадии некоторые кластеры можно объединить. При таком методе результаты сильно зависят от способа вычисления функции плотности вероятности. [c.251]

Функция ф(б) и является функцией распределения случайной величины или плотностью вероятности. Гауссом в 1794 г. был найден конкретный вид функции распределения случайных величин, получившего название нормального распределения. Приведем вывод формулы Гаусса, заимствованный из книги академика А. Н. Крылова Лекции о приближенных вычислениях . [c.822]

Приложение. В качестве модели двухступенчатой диффузии возьмем 1=1, 2 и Р , как в (7.7.1). Тогда 71.2 = 72 н 72,1 = 71- Для вычисления сечения рассеяния нейтронов необходимо знать плотность вероятности Gs (г, I) того, что молекула при / =0, находившаяся в точке г = 0, в момент времени 1 окажется в точке с координатами г. Дифференциальное сечение рассеяния является ее преобразованием Фурье по пространству и по времени. Удобно применить преобразование Фурье по пространственным переменным непосредственно к (7.7,4). так что оба оператора Р/ сводятся к множителям [c.193]

Плотность вероятности не является распределением вероятностей, но ее можно использовать для вычисления вероятностей Так, интегрируя (3 15), получаем вероятность того, что случайная величина X меньше х [c.84]

Перейдем теперь ко второму методу вычисления т. Заметим, что исходное уравнение диффузии может быть приведено к общему виду уравнения Планка — Фоккера. Имея в виду рассмотрение одной частицы, заменим в уравнении (13) концентрацию с на плотность вероятности и>. Мы будем иметь [c.304]

Если мы будем далее считать, что от координаты зависит не только коэффициент диффузии Z), но и коэффициент сорбции у, то для вычисления X следует воспользоваться вторым из описанных здесь методов. Переходя от концентрации с к плотности вероятности и>, исходное уравнение диффузии (4) запишем в виде [c.305]

Таким образом, применение точного выражения (2,16) пока не представляется возможным. Необходимо вводить упрощающие предположения. Чтобы почувствовать характер упрощений, начнем с анализа наиболее простого случая, когда перемежаемость несущественна, т.е. 7 1,7о О, 71 0. Ситуация, близкая к этому случаю, наблюдается в центральных областях струйных течений. Общие соображения, основанные на экспериментальных данных, показывают, что в рассматриваемом случае распределения вероятностей слабо отличаются от нормальных. Если принять, что совместная плотность вероятностей скорости и концентрации Р(и, г) описьшается плотностью нормального распределения, то для условно осредненной скорости <1 >г после простых вычислений получим линейную зависимость [c.81]

В заключение этого параграфа сделаем ряд общих замечаний. В расчетах часто приходится осреднять различные нелинейные зависимости. Результат такого осреднения зависит от характера нелинейности и величины <2>. Существует целый ряд величин, при расчете которых пульсации можно либо вообще не учитывать (например, плотность), либо учет пульсаций дает не слишком большую поправку (например, концентрация СО2). В последнем случае, как показывает практика расчетов, пригодна почти любая разумная модель для плотности вероятностей, т.е. важно лишь учесть, что пульсации существуют. Имеется, однако, и ряд величин, для вычисления которых необходимо точно знать и форму распределения вероятностей, и интенсивность пульсаций (концентрация углеводородов). Важную роль играет и средний состав, при котором рассматривается та или иная величина. Например, при <2) >г влияние пульсаций на среднюю концентрацию углеводородов не слишком велико, а уже при <г> = 0,5z оно имеет принципиальное значение (рис. 5.4). [c.178]

Для вычисления средних значений функций, характеризующих макрообъект, образованный коллективом из N микрообъектов, следует знать плотность вероятности [c.11]

Для вычисления ее среднего значения при условии симметрии Ддг можно пользоваться плотностями вероятности также [c.31]

Волновую функцию (3.18) можно использовать для вычисления плотности вероятности нахождения данной частицы [c.21]

Использование этого приема сохраняет вид уравнений (20) —(35), (38) (то же самое следует сделать для сохранения вида уравнений (39) и (43)), но вводит в рассмотрение при интерпретации соответствующих коэффициентов новую неизвестную величину — взаимодействие групп различной природы (скажем, гидрофобных и гидрофильных), принадлежащих молекулам L. Формулы усреднения усложняются при переходе от функции 2 2 к ее производным по Р и Г в согласии с вычислением средних значений функции f(x) с заданной плотностью вероятности F(x) по законам теории вероятности. В частности, уравнение (50) переходит в [c.87]

В конце предыдущего пункта был вычислен средний квадрат смещений атома из положения равновесия. Однако детальное описание локализованного движения атома в кристалле дает функция распределения его координаты, т. е. плотность вероятности случайной величины Не (п). [c.132]

Так как кривая распределения Т(Ре, ) характеризуется полностью лишь всей совокупностью одновременно взятых вероятностных параметров а, а , а, то окончательное значение числа Пекле должно определяться по результатам чисел Пекле, найденных в отдельности по каждой вероятностной характеристике. Для практических целей достаточно ограничиться вычислением Ре лишь по трем вероятностным характеристикам дисперсии, моде и плотности вероятности моды. Остальные характеристики, величина которых в основном определяется моментами высших порядков, весьма чувствительны к погрешностям эксперимента и, следовательно могут приводить к противоречивым результатам. [c.136]

Выше мы указали, что каждый кластер может быть охарактеризован плотностью вероятности, т. е. для каждого кластера имеется функция плотности вероятности р [Хх, х ,. .., Хп), в которой оцениваются параметры и а также фактор к, характеризующий значимость кластера в общей совокупности точек. Диагностирование основано на вычислении обобщенного расстояния от проверяемой точки до центров кластеров, как показано на рис. 6.10. Отметим, что на рис. 6.10 кластеры представляют коррелированные переменные, а не независимые. Если кластер представляет независимые переменные, то главные оси кластера будут расположены параллельно координатным осям (см. рис. 6.13). Для случая независимых переменных [c.252]

Даже в простом случае ОУ-процесса остается техническая трудность, которая делает невозможным точное вычисление плотности вероятности системы. Мы должны рассмотреть теперь два СДУ Ито ) [c.263]

Этот оператор не обладает удобными для вычислений свойствами оператора Фоккера — Планка для ОУ-процесса, играющего основную роль в пределе белого шума. Действительно, поскольку (8.125)—это функция двух переменных, то совместная плотность вероятности ро х,г) не факторизуется в низшем порядке. Кроме того, поскольку этот оператор не описывает эволюцию диффузионного процесса, а является оператором детерминированного движения, то в (8.123) следует использовать обобщенные функции типа б-функции Дирака. Это приводит к тому, что явное вычисление поправочных членов более высокого порядка становится практически невыполнимой задачей. [c.290]

Для вычисления стационарной плотности вероятности р (х, t) (т. е. стационарного решения (9.33)) проще всего использовать снова (9.28, 27) [c.332]

Результат (9.100) означает, кроме того, что при Я = 0 стационарная плотность вероятности р5 х) имеет на критической линии А = 2у — 4 в дополнение к тройному экстремуму при х= /2 еще по одному экстремуму слева и справа от критической точки, если точки х= /2 Ь лежат внутри носителя и. Поскольку это обстоятельство важно для всех корней уравнения (9.90), вычисленных посредством (9.96), получим теперь соответствующие условия. Используя совместно (9.85, 96), имеем, что л / е и ( = 2—5), если Ь 0 п [c.343]

Вычисление плотности вероятности [c.26]

Вычисление плотности вероятности, средней частоты отказов с учетом ремонта, средней частоты [c.30]

Первую из этих бесспиновых функций мы назвали функцией электронной плотности (хотя, конечно, строго говоря, это есть плотность вероятности нахождения электрона). Оправданием этому названию служит то, что обычно для удобства проводимых вычислений электрон можно рассматривать просто как некоторое размазанное облако с плотностью Pi. Вторая функция носит название парной корреляционной функции, и она показывает, как коррелировано движение двух электронов. [c.107]

Полу 1ено изображение капли нефтепродукта на волокнах сорбента с измеренными краевыми углами (рис. 4.10), результаты измерения краевых углов приведены в табл. 4.6. Ввиду наличия значительного разброса в величинах краевых углов для одного и того же нефтепродукта для вычисления работы адгезии использовали значение равновесного краевого угла, вычисленного как математическое ожидание случайной величины краевого угла 0. Формула для расчета математического ожидания - первого статистического момента распределения плотностей вероятностей — взята из [87] [c.143]

Здесь штрихом обозначено дифференцирование по Sj. Решение уравнения (3.39) выражается через функции параболического цилиндра (см., например, Бейтмен и Эрдейи [1953а]). Поскольку т>, то индекс функций параболического цилиндра > 0. На основании известных свойств этих функций заключаем, что условие неотрицательности плотности вероятностей не выполняется. Такой дефект решения связан с неточностью аппроксимации условно осредненной скорости с помощью линейной зависимости (3.16) в области больших значений 1 s 1. Более тщательное исследование показывает, что корни функции g лежат вне интервала ее основного изменения, а именно при z > Связь между неточностью линейной аппроксимации <и>2 в области больших амплитуд пульсаций концентрации и расположением корней очевидна. Заметим, что вследствие рассмотренного нефизического характера поведения плотности вероятностей в области больших амплитуд пульсаций концентрации она, вообще говоря, не может быть использована для вычисления моментов высокого порядка. [c.95]

Пусть известна эксперимв1 гально найденная плотность вероятности величины Ж, Для того, чтобы чйти неизвестные Постоянные Л , достаточно приравнять друг другу первые моментов, вычисленные теоретически и из экспериментальной кривой [c.546]

Колебательная частота всегда кратна характеристической собственной частоте (см. рис. 3.8). Наинизшая колебательная энергия, энергия нулевого уровня, ол (0) = /гУкол/2 отлична от нуля (вследствие принципа неопределенности Гейзенберга). Эти положения справедливы для всех электронных состояний молекулы, в которых сохраняется связь между данными атомами. Точки пересечения с потенциальной кривой разрешенных согласно уравнению (3.7) уровней полной энергии (например, точки А, В на рис. 3.8) можно сопоставить в модели классического гармонического осциллятора с точками, соответствующими максимальной амплитуде. В этих точках вся кинетическая энергия осциллятора превращается в потенциальную. В других точках горизонтальных прямых кинетическая энергия отлична от нуля, состоит из кинетической и потенциальной частей, которые взаимосвязаны. На рис. 3.8 указано схематически также распределение плотности вероятности нахождения ядра Y на определенном межъядерном расстоянии, вычисленное квантовомеханически. Можно легко заметить, что при повышении колебательной энергии возрастает вероятность нахождения ядра вблизи потенциальной кривой, причем эта вероятность отлична от нуля да же за пределами интервала гху, ограниченного потенциальной кривой. Согласно классической теории это невозможно. Наибольшее отклонение от классической модели имеет место на уровне кол(0). Распределение плотности вероятности нахождения ядра представляет собой для этого уровня плавную кривую с максимумом при гху = о- [c.75]

Теоретически, если имеется бесконечно большое количество совокупностей результатов измерений, так что функции плотности точно известны, неидентифицированное состояние процесса может быть отнесено к наиболее вероятному кластеру на основании, скажем, их взаимного положения (измеренного каким-либо подходящим способом). Вместе с тем, единственная совокупность результатов измерений может не дать четкий однозначный ответ. Поэтому схема, которая дает относительную вероятность принадлежности к одному или нескольким кластерам, может оказаться более осмысленной, чем схема, которая стремится дать вполне определенный диагноз. Инженер может соединить вероятности, вычисленные для классификации, и имеющиеся в его распоряжении сведения о серьезности возможных неполадок, стоимости различных исправлений и дополнительных проверок, что необходимо ему для принятия решения о дальнейших действиях. [c.251]

Модель Ферхюльста не принадлежит подклассу 0 = 0 винеровский процесс входит в экспоненциальную функцию. В результате гауссовский процесс претерпевает нелинейное преобразование, и решение (6.86) перестает быть гауссовским процессом. Это значительно затрудняет вычисление плотности вероятности Перехода для У/ и тем самым для Х(. Иначе говоря, решение (6.88) перестает быть удобным отправным пунктом для получения зависящего от времени решения УФП в модели Ферхюльста. Для того чтобы найти решение, приходится использовать различные методы. К этой проблеме мы вернемся в следующем разделе. [c.188]

В принципе возможно получить из этого решения иерархию плотностей вероятностей для Ut, / ( ь ь ипу1п), и, следовательно, с помощью обратного преобразования от (8.13)— иерархию плотностей вероятностей и для исходного процесса Xt. В частности, можно определить зависящую от времени плотность вероятности р(х,/) с начальным условием р(л ,/==/о) = = ро х). На самом деле, редко когда удается выполнить эту программу, поскольку на этом пути встречаются непреодолимые технические трудности. Имеется однако один класс реальных шумовых процессов, для которых можно очень просто вычислить иерархию для 111 и Xt соответственно—это, безусловно, класс гауссовских процессов. Простота вычислений в этом случае проистекает из двух свойств гауссовских процессов [c.267]

Отметим, что для удобства вычислений время перенормировано, - (/хкорру таким образом, чтобы исходная ширина цветного шума 7=1. Парный процесс Х у С ) является, конечно, диффузионным процессом и плотность вероятности переходов для него определяется из УФП типа (8.45), где теперь [c.300]

Оценить погрешность квантования при цифровом АСА сложно. Погрешность квантования логично определять применительно к погрешности результатов вычислений СФ или ЭС процесса. Расстановку уровней квантования необходимо выбирать так, чтобы минимизировать не погрешность собственно квантования, а погрешность СФ или ЭС при допустимой сложности (стоимости) аппаратуры. Так, при вычислении СФ 5(ю) (3.53) нужно перемножать пары случайных квантованных величин. Е(5) и соз1(5(й) >, а затем находить сумму конечного числа таких пар. Рекомендованные в табл. 3.2 и 3.3 [9, 98] расстановки уровней квантования, минимизируя ошибку квантования процесса, отнюдь не оптимизируют погрешности перемножения двух функций даже с одинаковой плотностью вероятности, сложно зависящую от погрешностей составляющих. Насколько нам известно, этот важный вопрос не разработан. Сказываются и погрешности, возникающие из-за огрубления промежуточных результатов вычислений (например, из-за переполнения регистров ЭВМ). [c.128]

НЫМИ и нормированными ) (назовем их функциями класса Q). Эти условия необходимо наложить на собственные функции для того, чтобы плотность вероятности была функцией, ведущей себя надлежащим образом. В результате измерений получаются действительные числа, поэтому надо такнте наложить соответствующее ограничение на операторы, т. е. потребовать, чтобы для всех квантовомеханических операторов средние значения, вычисленные по выражению (6.2), были действительными. [c.100]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология