Ранг собственного значения

Размерность корневого многообразия, соответствующего данному значению Х Д(Г), будем называть рангом собственного значения X. Так как собственное подпространство есть часть корневого многообразия, то кратность каждого собственного значения не превосходит его ранга. [c.18]

Если молекулярный граф содержит цикл связанных атомов, то критическая точка (3, -I-1) находится во внутренней области цикла. Собственные векторы, соответствующие двум положительным собственным значениям для точки (3, + 1), т. е. критической точке цикла, определяют поверхность цикла. Собственный вектор, соответствующий отрицательному собственному значению, определяет ось цикла. Если молекулярный граф содержит клетку связанных атомов, критическая точка (3, +3), т. е. критическая точка клетки , располагается во внутренней области клетки . Плотность заряда имеет локальный минимум в положении критической точки клетки , а три собственных вектора критической точки определяют объем клетки , который ограничен двумя или более поверхностями циклов. Таким образом, четыре невырожденные критические точки (ранг = 3) р г, X) определяют элементы структуры атомы — (3, -3), связи — (3, -1), циклы — (3, 4-1) и клетки — (3, +3). [c.57]

Известны методы определения ранга матрицы оптических плотностей, основанные на нахождении ненулевых собственных значений одной из симметрических матриц вида [c.46]

Естественно, что уменьшается по мере увеличения числа учитываем ых собственных значений. Вычисленное по (2.20) Sk следует сравнивать с так называемым остаточным с. о. спектрофотометра Sa [см. ф( ( мулу (2.21)]. Ранг матрицы М равен такому минимальному зиа- [c.47]

При оценке числа компонентов желательно принимать решение на основании не одного, а нескольких способов определения ранга матрицы оптических плотностей [70, 71]. Если использование нескольких способов не представляется возможным, следует применить несколько критериев, возможных в рамках данного способа (например, несколько критериев, подтверждающих число ненулевых собственных значений). [c.55]

Ранг действительной симметрической матрицы равен числу ее ненулевых собственных значений. [c.162]

Способ 3 (определение числа ненулевых собственных значений). Вычислим матричное произведение А А или АА и для полученной симметрической матрицы найдем собственные значения Хи. .. и т. д. (см. раздел 8.1.3). Число ненулевых собственных значений матриц А А или АА равно нх рангу, который совпадает с рангом матрицы А. Если это удобно для расчета, все элементы матрицы А А или АА можно разделить на любое число, например ва число строк или столбцов в матрице А. [c.163]

При этом число т собственных значений, удовлетворяющих критерию (4), обычно оказывается меньше л-ранга матрицы и, тем самым справедливо неравенство т< п< N. [c.235]

Как уже отмечалось ранее, вследствие зашумленности реальных данных различного рода экспериментальными ошибками матрица наблюдений всегда является матрицей полного ранга. Это в данном случае означает, что в упорядоченной последовательности собственных значений может отсутствовать четкая граница, позволяющая отделить значимые собственные значения от незначимых ( нулевых ). Вследствие этого возникает трудность в определении размерности факторного пространства и, следовательно, числа компонентов в наборе смесей. Поскольку основным источником этих затруднений являются экспериментальные ошибки в данных, из анализа этих ошибок и характера их влияния на различные этапы решения извлекают информацию для установления истинной размерности факторного пространства. [c.75]

Как А. , так и Яг действительны и положительны. Ранг матрицы должен равняться 2, поскольку в системе существуют два ненулевых собственных значения. Компоненты собственных векторов, связанные с каждым из собственных значений, получаем из определения собственных векторов следующим образом для первого собственного значения [c.196]

Параметром порядка в нематических жидких кристаллах является тензор второго ранга 5ар с равным нулю шпуром (см., например, [16]). Соответствующую матрицу мы будем обозначать S. Существует два независимых инварианта Sp> и Sp5 , которые мы будем обозначать соответственно а и В отсутствие внешних полей термодинамический потенциал является, вообще говоря, произвольной функцией этих двух переменных /(л , у). Допустимые значения х ж у ограничены неравенством i/ 6 V , х>0. Чтобы показать это, перейдем в систему координат, где диагонально. Обозначим собственные значения матрицы S через 5i, S2, s . Очевидно, а = 5 + 2 + 4, г/ = Si + 4 + ловие экстремальности у при заданном х и заданном Sp 5 = 5i + = О при- [c.168]

В последнее время наряду с методом Уоллеса—Каца широко используется другой метод определения ранга матрицы оптических плотностей, основанный на нахождении ненулевых собственных значений симметрической матрицы [c.57]

В основе метода Ривса фактически лежит предположение, что эффекты среды удастся элиминировать, если матрицу АМп хп = == (1/р) (АД ) (АД) заменить матрицей единичного ранга У У, где — первый собственный вектор матрицы АЖ, нормированный к своему собственному значению (р может быть любым числом, например, или их). [c.165]

Любая матрица при помощи элементарных преобразований может быть приведена к ступенчатой. Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк. Ранг действительной симметрической матрицы равен числу ее ненулевых собственных значений. [c.211]

Способ 2, Так как понятие собственного значения вводится лишь для квадратной матрицы, то для определения ранга матрицы по числу ненулевых собственных значений следует в общем случае сначала вычислить матричное произведение А А (или АА" ) и найти собственные значения полученной симметрической квадратной матрицы (см. 9.1.2). [c.212]

Если матрица А имеет ранг г, который определяется автоматически по уравнению (И) (по числу равных нулю собственных значений .1. ), то ортогональная матрица ф, составленная из собственных векторов ф - , приводит матрицу Л к диагональному виду [c.341]

Применения. В разделе 5 описываются различные классические интегрируемые системы, для которых интегралы могут быть получены в терминах собственных значений матриц вида (1.6). Здесь необходимо различать три случая, в зависимости от ранга симметричной части [c.135]

Упомянем еще об одной механической системе, интегралы которой могут быть интерпретированы как собственные значения матрицы, получаемой при возмущении ранга 2. Примером служит движение частицы по сфере х = 1 в под влиянием потенциала [c.179]

Следующая теорема показывает, что хотя всегда кратность собственного значения не превосходит его ранга, но при некоторых условиях из конечности кратности собственного значения следует конечность его ранга. [c.124]

Мы получили систему четырех однородных алгебраических уравнений для нахождения четырех неизвестных (и, ф). Условие разрешимости этой системы определяет зависимость со = со (к), т. е. закон дисперсии. Однако условие разрешимости системы (8.26) есть равенство нулю детерминанта соответствующ,ей матрицы четвертого ранга. Поэтому каждому значению волнового вектора к отвечают четыре собственные частоты ю, т. е. имеется четыре ветви собственных колебаний квантового кристалла. Таким образом, в квантовом кристалле появляется новая ветвь механических колебаний, обусловленная наличием дополнительных степеней свободы. [c.158]

Такое же выражение для преобразования получим для каждого элемента тензора. Таким образом, тензор второго ранга определяется теперь как любое физическое свойство, которое можно трансформировать согласно уравнениям типа (А-83). Если направляющие косинусы таковы, что %1з = 0 при iф /, то / —диагональный тензор, а матрицы направляющих косинусов — это матрицы собственных векторов (разд. А-5д). Тем же способом приводятся к диагональному виду -тензоры и тензоры СТВ. Эта операция имеет большое значение при изучении анизотропных систем (гл. 7). Тензоры g я А должны быть получены при извлечении квадратного корня из тензоров и А . Квадрат тензора В определяется как =. Это определение требует, чтобы тензор Ш был симметричным даже в том случае, когда В таковым не является. Таким образом, без дополнительных данных невозможно различить элементы (5) ух и (В)ху . [c.447]

Будем считать, что все субъекты данного социума в настоящий момент времени получают блага (К) в соответствии с их рангом. Получение благ - их цель. Получаемые блага определяют мощность субъектов. Если интересы субъектов конфликтно сталкиваются, то, после их столкновения, значения их ранга будут разностью от их собственного и ранга противника. Р1 = Р1 - Р], Pj = Р] - РЬ Если значение ранга поле социального взаимодействия становится меньше 1, [c.250]

Координата положения электрона будет обозначаться вектором г, а точка в ядерном конфигурационном пространстве — X. Критическая точка зарядового распределения — точка, в которой Vp(r) = О, — обозначается как ранг или сигнатура ранг равен числу ненулевь[х собственных значений гессиана зарядового распределения р, а сигнатура — алгебраическая сумма знаков собственных значений. Вектор р имеет разрыв в расположенич ядер. Однако всегда существует функция, гомео-морфная с р(г, X), такая, что совпадает с р почти повсюду и для которой положения ядер являются критическими точками (3, -3). [c.56]

Для определения остаточного с. о. спектрофотометра За по способу Верпимонта [69] следует несколько раз снять спектры поглощения растворов одного вещества — например, бихромата калия с различными концентрациями. Из полученных данных следует составить матрицу М [уравнение (2.17)] и описанным выше способом определить для нее первое собственное значение Я . Теоретически ранг матрицы М должен быть равен единице. Поэтому остаточное с. о. [c.49]

После такого упрощения в качестве иллюстрахцш первого утверждения можно привести следующий припер. Если оси диф-фуэнонной системы отсчета лежат в плоскостях системы отсчета главных осей тензора С, а времена вращательной корреляции имеют значения J =79 не, т,—0,05 не, что соответствует и ЛГ=6, то ранг матрицы в случае нитроксильной метки равен 419, а в случае отсутствия СТВ — 51, число собственных значений на уровне 10 из которых генерируется сам спектр, равно соответственно 19 н 6, время на диагонализацию матрицы составляет соответственно 29 и 1 мин. [c.255]

Изоспектральные многообразия. За отправную точку примем спектральную задачу о возмущении ранга 2 симметричного билинейного оператора. Пусть V обозначает действительное (или комплексное) конечномерное векторное пространство, ( , ) — действительное скалярное произведение, и пусть А — матрица, симметричная по отношению к скалярному произведению, то есть (Ау,и)) = и Аги), Кроме того, будем предполагать, что собственные значения А различны. [c.137]

Как известно, при отсутствии влияния среды на м. п. п. кислотноосновных форм матрица изменений оптических плотностей закрытой двухкомпонентной системы основание 5= сопряженная кислота должна иметь ранг, равный единице (см. раздел 2.4.1). (Для получения матрицы изменений оптических плотностей ДВ из каждого элемента матрицы X вычитают среднее значение элементов данной строки Л ). В основе метода Ривса лежит предположение, что эффекты среды удается элиминировать, если матрицу ДР х = С ) (ДВ ) заменить матрицей единичного ранга где — первый собственный вектор- [c.132]

Из теории матриц следует, что главный момент Q = ХХ прямоугольной вещественной матрицы X ранга Ь, представляющий собой квадратную симметрическую матрицу порядка N, имеет Ь положительных и — Ь нулевых собственных чисел. Положительными собственными числами матррщы Q являются 71, , уЬ таким образом, сиш улярные значения % — это положительные квадратные корни из положительных собственных чисел матрицы Q. Столбцами матрицы V являются собственные векторы матрицы Q. [c.68]

О. Шмидт пишет [12] Поразительно сколь экономична биологическая система, в которой лишь 10—20% доступной ей метаболической энергии используется на познание окружающей среды, принятие соответствующих решений и выработку собственных инструкций . При этом, очевидно, что ценность и продуктивность деятельности биологической системы вовсе не определяется тем, затрачены ли 10 или 20% энергии. Поэтому и энергетические, и энтропийные характеристики не могут принести пользы там, где при одном и том же значении термодинамических параметров стабильность изменяется в широких пределах в зависимости от совершенства саморегулирующих устройств. Поэтому едва ли есть смысл пытаться вложить в понятие энтропии какое-то новое содержание с тем, чтобы все-таки использовать ее в биологии. Здесь мир, если можно так выразиться, энтропийно вырожденных систем, и для исследования их было бы целесообразно изучить общую проблему отношений между процессом и создаваемой им структурой. Единство биохимического плана строения объясняется тем, что лишь определенные исходные вещества могли обеспечить развитие систем от ранга к рангу. Развивающиеся системы высших рангов приобретают все новые качества, совместимые с их устойчивостью, и создается своеобразная картина сключительно строгий отбор, возможно уникальный, исходных веществ обеспечивает развертывание огромного разнообразия высших форм. [c.36]

Поскольку до сих пор нет твердо установленных принципов использования данных по гомологии ДНК в целях систематики, нами совместно со старшим научным сотрудником Межфакультетской лаборатории биоорганиче-ской химии МГУ Б. М. Медниковым была предпринята попытка установить значения, соответствующие внутривидовому и внутриродовому родству внутри одного семейства, по степени сходства нуклеотидных последовательностей в ДНК бактерий. С этой целью был проведен анализ литературных и собственных данных по гибридизации ДНК бактерий. Математическая обработка результатов показала, что степени гомологии геномов дискретны и что каждая из дискретных степеней родства может соответствовать определенному рангу в системе. По предварительным подсчетам 70—100% гомологии ДНК могут соответствовать гибридизации внутри вида, 40—60% — внутри рода, 0—25% — внутри одного семейства и между представителями других семейств. [c.94]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология