Значение волнового уравнения

V Главное квантовое число. Энергетические уровни. Согласно условиям квантования электрон в атоме может находиться лишь в определенных квантовых состояниях, соответствующих определенным значениям его энергии связи с ядром. Так, волновые функции, получаемые решением волнового уравнения для атома водорода, соответствуют только таким энергиям, которые задаются выражением [c.14]

И в том, и в другом случае необходимо иметь систему уравнений для определения лишь трех неизвестных функций возмущения концентрации дисперсной фазы а и малых отклонений (возмущений) приведенных скоростей фаз Уд и Ус от стационарных значений. Волновое уравнение, описывающее распространение малых возмущений объемной концентрации дисперсной фазы а, получено нами ранее. Уравнения, связывающие возмущения приведенных скоростей фаз 7д и Ус с а, получим следующим образом. Представим приведенные скорости фаз в линеаризованном виде [c.119]

Значение волнового уравнения [c.16]

Если налагается периодическое граничное условие, то для длины волны, а следовательно, и для волнового вектора к будет существовать набор разрешенных значений (собственные значения волнового уравнения Шредингера). Для значений вне интервала я/2а зависимость со от к будет повторяться. Область —п/2а< <л /2а обычно называют первой зоной Бриллюэна. По дисперсионным кривым для разрешенных значений волнового вектора к можно найти разрешенные значения частот (или энергий) решетки. [c.220]

Однако макроскопические свойства системы могут быть выведены и иным путем — из анализа микроскопических свойств объектов и сил взаимодействия, существующих между ними. Наиболее простой и бесхитростный способ решения такой задачи состоит в том, чтобы, зная исходные данные (начальные условия), решить соответствующее уравнение связи для каждой частицы. Ситуация при этом носит достаточно общий характер — если объекты системы достаточно велики и подчиняются законам классической физики, то необходимо решать уравнения классической механики (Сравнения Ньютона) при знании начальных координат и импульсов каждого объекта если же речь идет о микрообъектах, подчиняющихся законам квантовой механики, то необходимо решать волновое уравнение Шредингера при знании начальных волновых функций и сил взаимодействия. Единственные затруднения такого прямолинейного анализа состоят в том, что, во-первых, число объектов в реальных системах весьма велико (например, при нормальных условиях Т = = 29.3 К, Р = 1 ат, в 1 см содержится N = 2,7-10 молекул — число Лошмидта, что означает необходимость решения 3-2,7-10 8-10 уравнений при 6-3-2,7 х X 10 5-10 значениях начальных условий) и, во-вторых, точные значения начальных условий неизвестны. Поэтому необходим иной подход [11]. [c.24]

Если волновая функция 11) является одним из решений волнового уравнения, то расчет по [, 31) дает значение дозволенного уровня энергии электрона Е (IV — элемент об1>ема в пространстве. [c.23]

При разных значениях п=1, 2, 3... получаем ряд дискретных энергетических уровней, в сумме представляющих собой энергетический спектр электрона. К тому же результату можно прийти, исходя из волнового уравнения, составленного для той же модели одно мерного потенциального ящика, [c.92]

Не выясняя математический смысл волнового уравнения, отметим, что его приемлемые решения возможны только при вполне определенных дискретных значениях энергии электрона. Различным функциям 1 ь "Фг, 3,. которые являются решением волнового уравнения, каждой соответствует свое значение энергии 1, 2, 3,. .., Еп-Таким образом, квантование энергии микросистемы непосредственно вытекает из решения волнового уравнения. [c.11]

Для упрощения решения волновое уравнение Шредингера обычно выражают в сферической системе координат. Запись уравнения в сферической системе координат удобна тем, что позволяет рассматривать значения гр поверхности сферы с радиусом г. В этом случае является функцией трех координат — г, 0 и ф [c.11]

Значения квантовых чисел непосредственно входят в волновое уравнение в качестве целочисленных параметров, определяющих его приемлемые решения. [c.12]

Снять спектр поглощения метана, подобно съемке спектра полистирола. 7. Проанализировать полученный спектр, отнести полосы поглощения к деформационному симметричному и асимметричному колебаниям, помня, что должны наблюдаться Р- и / -ветви, которые могут быть не разрешены на отдельные полосы поглощения. 8. Определить деления шкалы длин волн для С-ветвей, соответствующих деформационным колебаниям молекулы метана. 9. Определить волновые числа основных полос поглощения деформационных колебаний, пользуясь дисперсионной кривой. 10. Построить дисперсионную кривую прибора ПСП-12 с призмой как это описано на стр. 47 п.п. 16—22. Начальное деление шкалы длин волн 12,80, скорость записи спектра 3. Зеркальную заслонку открыть, когда на шкале будет деление 13,00. Конечное деление шкалы 15,00. 11. Сопоставить спектр полистирола со спектром, изображенным на рис. 31,6, определить деления шкалы длин волн для каждого максимума и построить дисперсионную кривую. 12. Установить газовую кювету, заполненную метаном перед входной щелью прибора и снять спектр поглощения метана подобно съемке спектра полистирола. Если окажется поглощение, близкое к 100%, то определить деление шкалы длин волн, соответствующее участку спектра с максимальным поглощением, установить это деление на шкале. Частично разбавить метан в газовой кювете воздухом при помощи резиновой груши, наблюдая за движением стрелки записывающего приспособления. Она должна сместиться примерно на 20 делений. 13. Повторить съемку спектра метана при тех же условиях. 14. Определить волновое число полосы поглощения (С -ветви), соответствующей асимметричному колебанию метана, пользуясь дисперсионной кривой. 15. Определить среднее значение Дсо в Р-ветви вращательно-колебательного спектра метана, пользуясь дисперсионной кривой. 16. Рассчитать момент инерции молекулы метана "по уравнению (1,39). 17. Определить межатомное расстояние С—Н, исходя из того, что молекула метана имеет тетраэдрическую структуру и угол Н—С—Н составляет 109°28. 18. Сопоставить полученное значение волнового числа колебания и межатомное расстояние с табличными данными. [c.63]

Уравнение Шредингера является дифференциальным уравнением второго порядка, а потому допускает бесчисленное множество решений. Его общее решение содержит две произвольные постоянные. Для определения значений волновой функции, имеющих физический смысл, так называемых собственных значений уравнения Шредингера, нужно подчинить их ряду условий. [c.14]

Необходимо отыскать такие значения молекулярных орбитальных функций, при которых энергия системы Е была бы минимальна. Волновое уравнение (И, 3) преобразуется следующим образом. Умножим обе части равенства на ф, [c.47]

Подставляем значения волновой функции в уравнение (II, 6) [c.47]

Если в последнее уравнение подставить значения волновых функций при условии <, = 1, то получим [c.169]

Последующие преобразования основываются на предположениях, что распространение волн де Бройля описывается аналогичным уравнением и что эти волны являются стационарными и сферическими. Сначала представим, что по уравнению (И.5) изменяется значение новой функции от координат (х, у, г), имеющей смысл амплитуды некоторого колебательного процесса. Тогда, заменяя на получим волновое уравнение в форме [c.9]

При рассмотрении физических свойств молекул целесообразно подразделить их на два основных типа 1) свойства, зависящие от полной энергии или энергий отдельных орбиталей 2) свойства, определяемые видом волновой функции молекулы или отдельных ее орбиталей. Первые определяются собственными значениями секулярного уравнения (7.36), вторые — собственными векторами, т. е. значениями коэффициентов при АО i. Конечно, это деление в значительной степени условно, так как величины ej и с г взаимосвязаны [c.245]

Поскольку полная энергия Е электрона является его основной характеристикой, учитываемой волновым уравнением, ее значение и определяет вероятность нахождения электрона на той или иной [c.35]

Существуя в трехмерном пространстве, электрон имеет три степени свобод ы . Это приводит к появлению в решении волнового уравнения трех постоянных целочисленных величин — квантовых чисел. Их значения указывают местонахождение электрона в атоме — его наиболее вероятный адрес . [c.39]

Поскольку полная энергия Е электрона является его основной характеристикой, учитываемой волновым уравнением, ее значение и определяет вероятность нахождения электрона на той или иной атомной орбитали. В зависимости от энергии электрон в атоме занимает определенный уровень (К, Ь, М, N и т. д.), отождествляемый со слоем (1,2,Зит.д.), на который указывает значение главного квантового числа п. [c.45]

В области д >0 Т описывается тем же волновым уравнением, что и обычный гармонический осциллятор. Однако приемлемы только решения, которые обращаются в нуль в начале координат (граничное условие). Следовательно, собственными значениями энергии для обычного осциллятора являются те значения, которые соответствуют нечетным волновым функциям. Четность волновых функций простого осциллятора чередуется по мере увеличения квантового числа V начиная с четного основного [c.107]

Как отмечалось выше, уравнение Шрёдингера точно решается только для атома водорода, содержащего один электрон. Отдельный электрон в атоме, содержащем несколько электронов, находится под воздействием общего поля, создаваемого ядром и остальными электронами. Результирующее поле теряет сферическую симметрию, точное решение волнового уравнения становится невозможным н возникает необходимость в поисках приближенных решений. Наиболее эффективным приближением оказался метод самосогласованного поля (ССП), разработанный независимо английским физиком Д. Р. Хартри и советским физиком В. А. Фоком. Идея метода состоит в сведении мно-гоэлектронного уравнения Шрёдингера к одноэлектронному уравнению типа (П1.2) с использованием некоторого усредненного потенциала. Для этой цели берется набор заведомо приближенных АО и вычисляется средний потенциал, действующий на каждый электрон. Исходя из этого потенциала вычисляются новые более точные АО, которые, в свою очередь, дают улучшенные значения усредненных потенциалов. Такая процедура повторяется циклически вплоть до достижения самосогласования, т. е. состояния, в котором некоторый набор АО дает тот же потенциал, с помощью которого он был получен. Плодотворная идея ССП, созданного для многоэлектронных атомов, была с успехом перенесена на молекулы в рамках метода молекулярных орбиталей. [c.169]

Австрийский физик Э. Шредингер в 1926 г. в уравнении стоячей волны подставил вместо длины волны ее значение из уравнения де Бройля (П.2) и получил волновое уравнение Шредингера [c.32]

Основное уравнение квантовой механики — волновое уравнение Шредингера (1926), решениями которого являются так называемые волновые функции -ф (пси), характеризующие состояние электрона в атоме. Из математического анализа уравнения вытекает дискретность значений энергии электрона, момента количества его орбитального движения (в силовом поле ядра) и проекции этого момента на выделенное в пространстве направление. Дискретность вы- [c.82]

Не выясняя математический смысл волнового уравнения, отметим, что его приемлемые решения возможны только при вполне определенных дискретных значениях энергии электрона. Различным функциям ф[, фх, фз,. .., фп, которые являются решением волнового уравнения, соответствует свое значение [c.20]

Хотя квантовые числа могут принимать множество значений, на эти значения налагаются определенные ограничения, обусловленные характером задачи. Приемлемые комбинации чисел п,1ит должны приводить к решениям волнового уравнения, обладающим физическим смыслом. Последнее означает, что электронная волна должна быть непрерывной (волна не может внезапно исчезать с одной стороны от ядра и появляться с другой стороны от него), а полная вероятность обнаружить электрон где-либо в пространстве вокруг ядра должна быть равна единице. Позже [c.74]

Вычислите волновые числа 13 полос поглощения в 7 -ветви вращательно-колебательного спектра Н Ч , с учетом изменения вращательной постоянной В , со = 2990,95 см 1, (ЛдХе = 52,8185 см 1. Определите а в уравнении (У.19) по известной г-линии/=12 (см. данные задачи 11). Сопоставьте полученные значения волновых чисел с экспериментальными, приведенными в задаче 11 или в справочнике [М.]. [c.40]

Эти выражения были впервые получены Уленбеком и Бетом [39] и Гроппером [40]. В (2.106) Япг —энергия связи возможного предельного состояния для данного I, которая должна быть получена из решения радиального волнового уравнения для отрицательных энергий (обычно численным интегрированием). Величина т]г под знаком интеграла представляет собой фазовый сдвиг, определяемый из решения радиального уравнения для положительных энергий (обычно также численным интегрированием), и V. — волновое число относительного движения, связанное с кинетической энергией этого движения как y. = lv h или Л2>с2 = 2р, , где р. — приведенная масса сталкивающихся пар. Другими словами, величины Еп1 и г]г(к) определяются решением следующего дифференциального уравнения для каждого значения 1. [c.51]

Так, в работе [315] для нахождения динамических характеристик реакции И + СН4 -СН4+Н" использовался потенциал аЬ initio в малой области переходного состояния и вычислялась классическая траектория движения с малой поступательной энергией вдоль координаты реакции. Выбор начальных условий в области переходного состояния и движение вдоль координаты реакции приводят к быстрому распаду, а движение происходит в ограниченной области конфигурационного пространства. Такой подход, к сожалению, не позволяет анализировать динамику реакции во всем конфигурационном пространстве. Другой подход к описанию ППЭ предложен в работах [270, 337]. По некоторым опорным точкам, в которых потенциальная энергия вычисляется из точного решения волнового уравнения, и по асимптотическому поведению потенциала строится приближенный сплайн [176]. Такая аппроксимация дает возможность гибко варьировать ППЭ, сохраняя ее значения в опорных точках, и, следовательно, получать детальную информацию о влиянии ППЭ на динамику и кинетику реакции. [c.52]

Следует отметить резкое отличие найденного результата от картины, наблюдаемой для частицы, движение которой описывается законами классической механики. Энергия классической частицы может принимать любые значения. Как видно из уравнения (I, 27), энергия частицы, для которой справедливы законы квантовой механики, может принимать только ряд строго определенных значений, характеризуемых целочисленным коэффициентом п. Таким образом, энергия электрона, движущегося относительно ядра, оказывается квантованной. При этом параметр п может быть отождествлен с главным квантовым числом атома в теории Бора. Введение главного квантового числа и предположение о квантовании энергии является одним из основных постулатов в теории Бора. В квантовой же механике это положение служит необходимым условием решения радиальной части волнового уравнения Шрёдингера. Поскольку в уравнении (1,27) п не может равняться нулю, то =5 0, т. е. минимальная энергия атома водорода отвечает значению п== [c.18]

В основу модели атома Шрёдингер положил математическое описание стоячей волны, включив в него соотношение де-Бройля. Такой метод дает стационарный характер движения электрона в пространстве, удовлетворяя требованиям принципа неопределенности. Решение получающегося уравнения оказывается возможным не при всех значениях энергии Е, а лишь при некоторых, называемых собственными значениями энергии. Соответствующие им функции г) называются собственными функциями. Иногда для одного собственного значения имеется т различных собственных функций. Тогда говорят, что данный уровень энергии т-кратно вырожден. Дискретный характер собственных значений энергии правильно отражает квантовые свойства микросистем, являясь естественным результатом решения волнового уравнения. Ранее это важнейшее положение было введено в теорию Бора как постулат. [c.164]

В квантовой механике установлено, что движение ядер характеризуется потенциальной энергией г, Г2,. .., гзлг б-а). Она соответствует энергии системы в основном состоянии, когда координаты ядер фиксированы. Для сокращения записи будем обозначать ее г). Энергия г) определяется путем решения волнового уравнения Шредингера для электронов, ее называют также энергией электронов. Гамильтониан, или оператор энергии, состоит из оператора кинетической энерегии электронов и полной потенциальной энергии ядер и электронов. Он не содержит оператора, отвечающего кинетической энергии ядер. Энергия S r) представляет собой собственное значение оператора энергии, отвечающего фиксированным ядрам. [c.735]

Выражения (III.19) и (111.20) есть волновые уравнения Шрё-дингера для стационарного состояния, когда энергия системы не зависит от времени. В большинстве случаев задачи сводятся именно к нахождению стационарных состояний. Уравнения (III.19) и (III.20) не выводятся из более обших законов, а являются следствием эмпирического выбора уравнения стоячей волны в качестве модели для описания поведения электрона в атоме с учетом волны де Бройля. Правомерность такого вывода уравнения Шрёдингера доказывается тем, что его решение приводит к значениям энер-1ИН Е, точно соответствующим опытным данным из атомных спект- ров. [c.39]

Для простейшей двухатомной молекулы решение волнового уравнения Шрёдингера (111.19) дает собственные значения энергии вращения [c.175]

Четыре квантовых числа. Так как волновое уравнение Шредингера имеет ограниченное число решений, то полная энергия атома может иметь лишь некоторые определенные значения. Это согласуется с постулатом Бора, что уровни энергии электрона квантованы. Решение волнового уравнения можно получить, если орбитали охарактеризованы четырьмя квантовыми числами. Первое — квантовое число п, введенное Бором. Второе квантовое число I соответствует квантовому числу, использованному Зоммерфель-дом для описания формы эллиптических орбит. Каждому значению / сопоставляют букву [c.44]

Проведенный анализ устойчивости такой системы позволил получить дисперсио-ное уравнение, связывающее скорость нарастания (затухания) бесконечно малых возмущений с основными физико-химическими параметрами задачи. Из условия равенства нулю скорости нарастания возмущений выведено уравнение нейтральной устойчивости, связывающее основной безразмерный параметр, определяющий условие потери устойчивости системой в процессе ее эволюции (число Марангони), с волновым числом возмуи(ения. С помощью этой зависимости найдены минимальное значение числа Марангони и соответствующее ему значение волнового числа, при которых возможно возникновение неустойчивости Проанализированы условия потери системой устойчивости в зависимости от величины константы скорости химической реакции, вязкости жидкости, коэффициента диффузии и т.д. [c.30]

При адиабатическом разделении электронных и ядерных переменных потенциал ядерного уравнения получается как собственное значение оператора Гамильтона для электронного волнового уравнения и графически представляется потенциальной поверхностью. Потенциальные поверхности как функции ЗМ-6 переменных, где М-число частиц в системе, имеют ряд общих черт для молекулярнь(х систем, о которых и пойдет речь в настоящем параграфе. [c.443]

I Tu-состояний, которые приведены на рис. 5.2 и 5.8. Это иллюстрирует рис. 6.1, где приведены значения волновых функций вдоль линии, соединяющей ядра, и дано их сопоставление с точными результатами. Из рисунка видно, что в 1ст-состоянии волновая функция, найденная в ЛКАО-приближении, имеет на ядрах значения, заниженные по сравнению с точными, а в I r - o-стоянии — завышенные. В действительности в ЛКАО-приближе-нии можно получить значительно более точные волновые функции для системы Ш, если допустить, что атомные 15-орбитали уравнение (б.З)] имеют переменный показатель экспоненты [c.91]

Из уравнения (13-21) следует, что сдвиг спектра поглощения основной формы на 1000 см 1 в сторону более низких значений волнового числа относительно спектра кислой формы соответствует уменьшению р/Са для диссоциации кислой формы на 2,1 единицы. Хотя положение О—0-полосы лучше определять одновременно по спектрам поглощения и флуоресценции, часто снимают лишь спектры поглощения и положение О—0-полосы определяют по положению максимума полосы поглощения. Так, для пиридоксамина сдвиг максимума поглощения от 34 ООО см в протонированной форме к 30 700 см в диссоциированной форме предполагает, что р/Са пиридоксамина, равное 3,4 в основном состоянии, при возбуждении уменьшится на 6,9 единицы, до значения —3,5 >. [c.34]

Для решения уравнения Шрёдингера применяется метод разделения переменных, используемый обычно при решении дифференциальных уравнений. Исходное уравнение преобразуют таким образом, чтобы в одной из его частей оставалась всего одна переменная, после чего обе части уравнения полагают равными некоторой постоянной величине. Этот процесс повторяют до тех пор, пока не получится ряд уравнений, каждое из которых содержит всего по одной переменной. Таким образом, приходится ввести всего три постоянные, называемые квантовыми числами и обозначаемые п, I и т. Каждое из этих квантовых чисел может принимать множество различных значений и каждой разрешенной (особыми правилами) комбинации этих значений соответствует одно из решений волнового уравнения (уравнения Шрёдингера), называемое волновой функцией. [c.74]