Собственного значения кратность

Теорема 11.2. Если Л — собственное значение кратности п оператора и. определенного включением и е Е Е т. е. еслп п — размерность соответствующего обобщенного собственного пространства), то — нуль порядка п целой функции z Det(l — zu). [c.201]

При этом каждое собственное значение повторяется столько раз, какова его кратность как корня уравнения (12), а г-ый столбец матрицы Р равен собственному вектору е,-, соответствующему Я,-. [c.264]

Спектр оператора Ь есть объединение спектров радиальных операторов. Каждое его собственное значение / вырождено с кратностью 4/ + 2. Набор функций [c.120]

Н, всегда имеет полную систему собственных функций . Каждому собственному значению Е соответствует собственная функция Ч г( )- Если одно собственное значение Ег соответствует одновременно нескольким собственным функциям Ч ,-и[,(1ц=1 -М, + 2,. ... .., 1 + т), то состояние называется вырожденным с кратностью вырождения, равной т. Любая линейная комбинация вырожденных функций, соответствующих вырожденному состоянию, также будет удовлетворять уравнению (1.27) с тем же самым собственным числом Ei. [c.13]

Во многих случаях одному собственному значению Ei, отвечает не одна, а несколько линейно независимых волновых функций Ji2,. .. (в этом случае любая линейная комбинация функций а )г1,... также описывает возможное состояние системы). Число gt линейно независимых волновых функций (число квантовых состояний), отвечающих заданному значению энергии, называют кратностью вырождения данного уровня. [c.150]

Пусть г таково, что существует лишь конечное число собственных значений А оператора С (каждый из которых имеет конечную кратность) с А > г. Точная нижняя грань этих г есть существенный спектральный радиус и сущ. спектральный радиус = Иш — [c.205]

Кроме того, нули функции z Det(l — z ) в указанной области — это в точности обратные величины по отношению к собственным значениям оператора L, причем они имеют те же самые кратности (пример рассматривается в следующей главе). [c.205]

Тогда функция 1/С, г) аналитична прп г < 0 и ее нули имеют вид где А — собственные значения трансфер-матрицы С, причем кратности нулей и соответствующих ьш собственных значений совпадают. [c.235]

Кратность собственного значения А оператора — это размерность обобщенного собственного пространства. [c.243]

Наконец, согласно предложению 9.12, все трансфер-операторы, полученные в результате последовательного применения предложений 9.1, 9.4, и 9.3, 0-эквивалентны и, следовательно, имеют одинаковые собственные значения с Л > 0, кратности которых также совпадают. [c.244]

В некоторых случаях одному собственному значению оператора соответствует несколько линейно независимых собственных функций тогда соответствующая физическая величина имеет определенное значение в каждом из состояний, описываемых этими. волновыми функциями. Число независимых собственных функций, соответствующих данному собственному значению, называют кратностью вырождения этого собственного значения. [c.35]

Теперь покажем, что выведенные выше собственные функции связи являются собственными функциями 8 и, далее, что собственные функции связи, отвечающие различной кратности связей, имеют различные собственные значения для 8 . Согласно уравнению (9.3), спиновые операторы 8 8 и спиновые собственные функции аир подчиняются отношениям [c.313]

Приравнивание этого определителя нулю дает уравнение степени для р, а его корни дают собственных значений fi, что согласуется с поставленными условиями. Каждому из этих корней принадлежит собственное состояние р, лежащее полностью в подпространстве, характеризуемом а. Кратному (кратности й аф ) корню Р будет принадлежать /р/ линейно независимых собственных состояний, лежащих в этом подпространстве. Поскольку все собственные состояния р даются (2.15) и поскольку ясно, что мы нашли полную систему решений (2.15), то отсюда следует, что мы нашли полную систему состояний ф (а р )> которые являются одновременно собственными состояниями и р. Если все же в этих состояниях продолжает существовать вырождение, тогда можно выбрать третью наблюдаемую у (не зависящую от а и в том смысле, что у не есть функция а и ), коммутирующую как с ас, так и с С помощью процесса, аналогичного описанному выше, мы можем найти полную систему собственных состояний у, являющихся одновременно собственными состояниями и р, т. е. имеющих вид ф(а Р )- продолжаем вводить независимые коммутирующие наблюдаемые до тех пор, пока не перестанем находить вырождение в состоянии, являющемся одновременно собственным для них всех. Число таких наблюдаемых есть квантово-механическая аналогия классического числа степеней свободы. Например, мы найдем, что для атома кальция, состоящего из 20 электронов и закрепленного ядра, необходимо 80 квантовых чисел для полного описания его состояния. Система наблюдаемых, скажем, Ти Та > с помощью общих собственных состояний которой мы можем описать полностью состояние системы, называется полной системой. Для краткости мы обозначим эту систему наблюдаемых через Г и будем записывать состояние, характеризуемое квантовыми числами ч Т виде ф (Г ) ). [c.25]

Этот определитель, хотя и имеющий обыкновенно бесконечный порядок, часто бывает таким, что неисчезающие его элементы лежат в квадратах, расположенных по диагонали, так что бесконечный определитель распадается на бесконечное произведение конечных определителей, каждый из которых может быть исследован уже обычными методами алгебры. Приближенное его решение в случае, когда можно пренебречь некоторыми из его недиагональных элементов, будет рассмотрено в следующем разделе. Корни уравнения (2.64), которое называется вековым уравнением, дают собственные значения а. Для корня кратности уравнения (2.63) дают систему й - линейно независимых коэфициентов [c.36]

Обозначим попарно различные собственные значения а через а -,. .. Если при этом значение а имеет вырождение кратности то мы должны будем ввести новый индекс для обозначения различных состояний, относящихся к тому же самому собственному значению. Мы можем обозначить эти состояния через где /=1, 2,. . ., Поскольку система ф для данного п определена только с точностью до унитарного преобразования, то желательно выбрать функции этой системы в наиболее удобном для рассматриваемой проблемы виде. Выберем таким образом, чтобы псе матричные элементы типа (а I V а ) были равны нулю, за исключением случая I — I. Это возможно, поскольку преобразование, которое диагонализирует часть матрицы V, относящейся к уровню а для какой-нибудь заданной системы 4 (а ), преобразовывает эту систему ф к системе, удовлетворяющей только что поставленным условиям. [c.38]

Обозначим различные собственные значения а буквами а , а ,. . . и пусть а будет вырождено с кратностью Выберем собственных состояний ф(а ) (/ = 1,2,. .., dft) таким образом, чтобы ) равнялось нулю за исклю- [c.41]

Имеются также и некоторые другие положения классической теории, нуждающиеся в изменении. В классической статистической механике принимается возможность непрерывных изменений энергии, в то время как по квантовой теории молекула может обладать лишь некоторыми определенными значениями энергии. В ряде случаев каждый энергетический уровень соответствует одному собственному состоянию и обладает одной собственной функцией. Однако иногда оказывается, что по какой-либо причине данный уровень является вырожденным (см. параграф 6а), т. е. что с одним и тем же (или приблизительно с одним и тем же) собственным значением энергии связано несколько собственных функций. Число собственных состояний, связанных с данным энергетическим состоянием, равно в этом случае вырождению. Если кратность вырождения, соответствующая энергии равна то число собственных состояний, соответствующих этой энергии, также равно . Для невырожденного состояния число собственных состояний, естественно, равно единице. Поскольку было постулировано, что каждое собственное состояние имеет одинаковую вероятность, вырождение часто называется априорной вероятностью или статистическим весом данного энергетического уровня. [c.383]

Аналогично в первой группе возбужденных уровней должно быть тридцать два состояния. В табл. 14 приведены волновые функции всех этих уровней, а также собственные значения оператора перестановки и предсказанные кратности вырождения. Функции сгруппированы по собственным значениям полных волновых функций в отношении оператора перестановки, в верхней половине таблицы приведены функции полностью антисимметричного типа, а в нижней половине—полностью симметричного типа. [c.239]

ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ОПЕРАТОРА ПЕРЕСТАНОВКИ И КРАТНОСТИ ВЫРОЖДЕНИЯ УРОВНЕЙ ЭНЕРГИИ ГЕЛИЯ [c.240]

Если же некоторое собственное значение X вырождено, то что получится тогда Вырождение собственного значения означает, что имеется несколько линейно независимых функций г ) , принадлежащих этому собственному значению, которые можно считать к тому же ортонормированными. Будем пока предполагать, что кратность вырождения, равная к (т.е. максимальное число таких линейно независимых функций), конечна /=1,2,..., к. Поступая так же, как и в невырожденном случае, при действии оператора В найдем Л(Вг ),) = Х(Вг ),). Очевидно, Дг ), - функция, собственная для оператора Л с собственным значением X, но уже не обязательно совпадающая с г ),. Единственно, что можно утверждать, так это следующее есть линейная комбинация функций, собственных для А с собственным значением X, так что [c.59]

В силу теоремы 3.2 кратность собственного значения сейчас равна единице N1 = 1 р-почти для всех к. Таким образом, одномерное пространство 91 (Р (к)) лежит в з. л. о. векторов (3.58), причем каждое 91 (Р (кп)) также одномерно. Отсюда следует, что для соответствующих индивидуальных обобщенных собственных векторов справедливо равенство [c.293]

Геометрическое место собственных значений Х(к[) для п 5 и к = представлено на рис. 1.6. При Л = О матрица К имеет одно ненулевое собственное значение Л == -1 кратности 4, которое при малых а > О распадается на 4 комплексных корня. При дальнейшем увеличении а две ветви кривой jP(a, Ь) = О уходят вправо от точки (-1, 0), а две — влево. При а 0,25 собственные числа Л начинают двигаться влево. Наибольшее значение Re Л, отвечающая а, составляет -0,622. При а == 1 все корни пересекают единичную окружность с центром (-1,0), а при а = 2,168 левые корни сливаются и порождают два расходящихся в разные стороны от -2,651 действительных корня. При а->ооЛ ->-1 г,а левые Л стремятся — один к -00, другой к -2. [c.115]

При определении числа точек множества О (Г), лежащих в данной области, каждое собственное значение считается столько раз, какова его кратность. [c.18]

Размерность корневого многообразия, соответствующего данному значению Х Д(Г), будем называть рангом собственного значения X. Так как собственное подпространство есть часть корневого многообразия, то кратность каждого собственного значения не превосходит его ранга. [c.18]

При этом слагаемые в правой части последнего равенства могут пересекаться. В частности, собственные значения бесконечной кратности всегда принадлежат непрерывной части спектра. [c.19]

Пусть Kq (Г), Если Х0 П(Г), то некоторая окрестность точки Xq также принадлежит П(Г) и, следовательно, не пересекается с С (Г), Если же Х П (Г), то число Xq является собственным значением оператора Т конечной кратности. Пусть тогда О есть собственное подпространство, соответствующее значению а F есть пересечение [c.20]

Собственные значения энергий могут- образовывать либо дискретную последовательность уровней анергии, либо непрерывную последовательность (сплошной спектр), либо и то и другое вместе. Это — первая особенность квантовой статистики по сравнению с классической механикой, в которой величина II, являясь непрерывной, всегда образует сплошной спектр. Вторая особенность состоит в том, что каждому уровйю энергии может соответствовать не одна, а несколько собственных функций. В этом случае число собственных состояний частиц, связанных с данным значением энергии, характеризует вырождение уровня. Если кратность вырождения, соответствующая некоторой энергии например, равна gi, то и число собственных состояний, соответствующих этой энергии, равно и в этом случае говорят о --кратном вырождении -го энергетического уровня. Для невырожденного состояния, естественно, число собственных состояний g = I. Поскольку каждое собственное состояние (первый постулат) имеет одинаковую вероятность реализации, то вырождение 1 нагзывается также априорной вероятностью или статистическим весом данного энергетического уровня. [c.59]

Здесь Г - индекс неприводимого представления, например квантовое число I для случая движения электрона в центрально-симметричном поле. Собственное значение (иГ) выписывают столько раз, какова его кратность (т.е. размерность оболочки). Верхние индексы у чисел Г указывают, что среди них могут быть и совпадающие. При заданных значениях (п. Г) задача может быть вырожденной, при этом следует выбрать порядок следования функплй в пределах выделенной оболочки. Если базисные функции р являются собственными функщ1ями оператора S , то можно условиться, что первыми, например, располагаются функции со спином вверх (5 = +1), а затем - со спином вниз (S = -1). Важно лишь общее утверждение о возможности нумерации состояний упоря- [c.104]

Делая всевозможные выборки пофункций из ряда (3.13), получаем весь набор Линейно независимых собственных функций оператора (33) и весь спектр его собственных значений. Нетрудно подсчитать их кратность. Действительно, пусть в построении определителя (3.14) участвует одноэлектронных функций из оболочки и,/,, N2 одноэлектронных функций из оболочки П2/2 и тд. Собственное значение, которому отвечает такой определитель, равно Оно зависит [c.122]

Когда к собсгвеншл х функций соответствуют о щому и тому же собственному значению, говорят, что они принадлежат набору с кратностью вырождения к. Пусть функции q>i я (р2 — [c.12]

Рассмотрим произвольный двудольный граф с множеством вершин V = у , г = 1,. .., ге. Разобьем это множество на два непе-ресекающихся подмножества попарно несмежных вершин и 7г, т. е. V = 6 Уг. Пусть множество У1 содержит 1 элементов, а Уз — 2, т. е. и = к, + щ. Упорядочим вершипы следуюш им образом. Сначала перенумеруем вершины из множества У,, а затем из множества Уг- Назовем такой способ нумерации естественным. Несложно показать, что спектр 2 двудольного графа симметричен относительно нуля. Кратность нулевого собственного значения не меньше, чем ге — Пг. Если с+ = (с ,. .Сп +1,. .., — [c.49]

Каждому графу для которого выполнены свойства 1—5, можно сопоставить периодическую матрицу смежности А1, которая может быть записана в блочном виде с элементами (А,)у, причем (А,) = А, (А,)(,,+1 = В, (А,) -1,,-= В , (А1) . = 0 при I/ —г >1. Здесь А — матрица смежности подграфа , В — матрица, описывающая отношение инцидентности для графов и 4.1, В — транспонированная матрица. А и В не зависят от номера I (г = О, 1, 2,. ..). Граф удовлетворяющий свойствам 1—5, назовем периодическим графом. Аналогичным образом может быть определен и полунериодический граф (в этом случае = 1, 2,. ..). В отличие от конечных графов, спектры которых состоят из конечного числа изолированных собственных значений конечной кратности, спектры периодического и полупериодического графов, вообще говоря, состоят 1ИЗ отрезков вещественной прямой. Спектр полупериодического графа может иметь, кроме того, и дискретную компоненту. [c.60]

Тогда функции l/ ,siz), 1/С(-г) аналитичны ири г < 0 и их нули в этой области имеют вид где Л — собственные значения трансфер-операто-ра , причем кратности нулей и соответствующих собственных значений одинаковы . [c.243]

Собственные функции для одномерного гамильтониана, как и для любого эрмитова оператора, ортогональны, если они относятся к разным собственным значениям. Более того, в одномерных задачах функции, отвечающие финитному движению, всегда невырождены, т.е. каждому собственному значению прина длежит лишь одна собственная функция. Если же энергия такова, что она отвечает непрерывному спектру, то кратность вырождения не превышает двух. Эти два утверждения (как, впрочем, и ряд других, представленных ниже) следуют из теории линейных дифференциальных уравнений второго порядка, и на доказательстве их мы останавливаться не будем, т.е. будем принимать как должное. [c.70]

При наличии вырождения собственные функции, соответствующие одному собственному значению, приходится снабжать вторым индексом, пробегающим значения 1, 2,. .. вплоть до числа, равного кратности вырождения. Например, при трехкрат. ном вырождении имеются три функции т11 ч, соответст- [c.35]

Таким образом, вне [vthv, оо) оператор Л может иметь лишь изолированные собственные значения конечной кратности. Поэтому условие [c.316]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология