Лапласа сферических

Все рассмотренные в настоящем разделе результаты получены для сферических частиц. Сферическая форма частицы, находящейся под действием сил поверхностного давления, соответствует минимуму свободной энергии. Величина поверхностного давления, определяемая формулой Лапласа, прямо пропорциональна поверхностному натяжению о и обратно пропорциональна радиусу капли Р1 а1К. Если частица обтекается потоком, то сила лобового давления Рг стремится ее [c.17]

Массо- и теплообмен при наличии циркуляции внутри капли. При промежуточных и больших значениях критерия Пекле необходимо учитывать циркуляцию внутри капли. Уравнение конвективной диффузии (4,17) с учетом выражения для оператора Лапласа в сферических координатах для осесимметричного течения (4.18) имеет в безразмерной форме, д . [c.180]

Мы опускаем математические выкладки с целью экономии места. Если читатель пожелает проделать все вычисления самостоятельно (что было бы очень полезно), то ему следует учесть, что оператор Лапласа в сферических координатах имеет вид [c.70]

Здесь Д — осесимметричный сферический оператор Лапласа, получающийся из Д заменой Ор на р. [c.254]

Из изложенного выще ясно, что в принципе и г) нельзя однозначно определить из В Т) и необходимо с самого начала ввести некоторую дополнительную информацию о величине и г). Если даже этот вывод в принципе неверен, он должен оказаться справедливым на практике, так как для прямого определения и(г) из В Т) требуется осуществить обратное преобразование Лапласа [1, 2]. Для этого необходимо знать не только В Т), но и все производные от В(Т) по температуре [4]Все это гораздо больше того, что может быть получено из эксперимента. Таким образом, даже в самом благоприятном случае сферически симметричных молекул определить и г) из данных по второму вириальному коэффициенту без дополнительной информации практически не представляется возможным [5]. Для вириальных коэффициентов более высокого порядка возникают дополнительные трудности из-за недостаточной точности их экспериментального определения и проблемы парной неаддитивности межмолекулярных сил (см. разд. 2.5). [c.170]

Принимая во внимание первый закон Лапласа для избыточного капиллярного давления (для капли сферической формы) и гидростатическое давление, находим [c.120]

В операторе Лапласа А переменные х, у, г — это координаты точки, Б которой концентрация равна с, в системе координат с началом, расположенным в центре сферы радиусом Так как рассматриваемая система обладает сферической симметрией и частицы до момента ( = О были распределены равномерно (см. ниже), то концентрация в данном месте зависит только от его расстояния р до начала системы координат. Поэтому в выражении для А в полярных координатах члены, зависящие от полярных углов, исчезают, и закон Фика приобретает вид [c.199]

В случае сферической симметрии оператор Лапласа Д имеег вид [c.233]

Величина р"—р ) в случае сферической поверхности называется поверхностным давлением или давлением Лапласа. Уравнения (ХИ1.98) и (ХП1.99) показывают, что разность статических давлений в смежных фазах равна произведению межфазного поверхностного натяжения на кривизну поверхности. Очевидно, для плоской поверхности [c.345]

Если электрод имеет конечные размеры, то решение уравнений нестационарной диффузии усложняется, так как из-за наличия краевых эффектов приходится учитывать потоки диффузии также вдоль координат у к г. Практический интерес представляет нестационарная диффузия к сферическому электроду радиусом г . При этом удобно воспользоваться сферической системой координат, в которой оператор Лапласа имеет вид [c.177]

Оператор Лапласа в уравнении (1.7) может быть представлен не только в прямоугольных, но также в цилиндрических или сферических координатах. Соответственно наиболее простые решения уравнения (1.7) будут иметь вид не плоских, а цилиндрических или сферических волн. Гармоническая сферическая волна, распространяющаяся из начала координат, имеет вид [c.18]

Как было показано при рассмотрении атома водорода, энергия входит только в радиальное уравнение, поэтому следует принимать во внимание радиальную часть оператора Лапласа. В сферических координатах эта часть равна [c.140]

В сферических координатах оператор Лапласа (1.19) принимает вид [c.26]

Задача 2.1. Получить выражение оператора Лапласа (1.19) в сферических координатах. [c.26]

Поскольку распределение зарядов в ионной атмосфере сферически симметрично относительно начала координат, то удобно использовать сферическую систему координат (см. рис. VII. 15), в которых оператор Лапласа принимает вид [c.433]

W --Ttr 7С/-. При очень точных измерениях учитывают отклонение формы, мениска от сферической (особенно, когда применяются широкие капилляры). С этой целью используют результаты численного интегрирования дифференциального уравнения Лапласа (см. с. 32), которые приводятся в таблицах. Метод капиллярного поднятия может давать точность определения поверхностного натяжения до десятых и сотых долей мН/м. [c.37]

В работе [П показано, что через очень короткое время (да 5 сек) после начала фильтрации (оттока) через конусообразное перфорационное отверстие поток становится квазистационарным. Сложный поток можно заменить полусферическим, пренебрегая влиянием ствола скважины. Все это позволяет при решении задачи использовать уравнение Лапласа вместо уравнения Фурье. Однако для этого необходимо перейти от конусообразного источника к эквивалентному сферическому источнику, т. е. ввести понятие приведенного радиуса сферического источника — г р. Тогда дебит конусообразного источника можно записать в виде [2]. [c.117]

Здесь Ар — осесимметричный сферический оператор Лапласа, получающийся из А заменой г на р. [c.209]

Найти выражение для оператора Лапласа в сферических координатах. [c.92]

При рассмотрении поведения границы двух жидкостей при ее искривлении и разрыве по границе с образованием сферической полости с одинаковыми значениями главных радиусов кривизны, когда в уравнении Лапласа для равновесия фаз [c.72]

Оговоренные ранее условия задачи, определившие модель индикаторного электрода и приэлектродного пространства, фактически соответствуют условиям сферической диффузии, для которой уравнение (8.7) наиболее просто представить в сферических координатах с начальной точкой в центре электрода, заменив оператор Лапласа на соответствующее выражение для случая, когда скорость изменения концентрации является функцией расстояния г от начала координат [c.273]

В условиях сферической диффузии и произвольной степени обратимости электрохимической реакции интегральное уравнение, аналогичное (8.98), может быть получено подобным же образом -подстановкой зависимости < [/(0] в уравнение Батлера-Фольмера. Однако в общем случае нахождение такой зависимости с учетом сферичности электрода представляет определенные трудности. Для стационарных электродов эту зависимость можно найти из уравнения (8.74) с помощью прямого и обратного преобразования Лапласа [c.294]

На рис. 16 приведено полушаровое днище, изготовленное нз сферического сегмента а и боковых секторов в. Напряжения растяжения для полушарового днища можно определить из уравнения Лапласа (для тонкостенных сосудов вращения) [c.82]

В основе количественного анализа — уравнение Фурье — Кирхгофа для твердого тела в отсутствие Источников и Стоков теплоты в форме (7.30) с выражением лапласиана в сферических координатах по (1.266) [c.578]

Мы получим уравнение фильтрации, которое является уравнением Лапласа в сферических координатах. [c.306]

Найдем условие того, что капля слабо деформируется. Тогда можно принять форму капли сферической. Уравнение Лапласа в сферической системе координат при условии сферической симметрии имеет вид [c.272]

Рассмотрим две проводящие сферические частицы с радиусами Н, и Кг, несущие заряды <7, и <72 и помещенные в однородное внешнее электрическое поле напряженности Ед (рис. 12.1). Обозначим через 0 угол между линией, соединяющей центры частиц, и вектором Ед. Пространство между частицами заполнено покоящимся однородным изотропным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е, частицы не движутся относительно диэлектрика. Так как вне сфер свободные заряды отсутствуют, то потенциал электрического поля ф в этой области удовлетворяет уравнению Лапласа [c.280]

В гл. 3 мы уже записывали оператор Лапласа в сферических полярных координатах [см. выражение (3.13)]. Подставляя его [c.90]

Заканчивая рассмотрение метода Дэвидсона, следует отметить, что последний приложим не только к сферическим или круглым пузырям. Скоростные потенциалы твердых частиц и ожижающего агента удовлетворяют также уравнению Лапласа, и в случае двухмерной системы их можно рассматривать как действительнвге части функции комплексного переменного г = х + где х иг/ — координаты точки в прямоугольной системе координат, центр которой совпадает с центром пузыря, а ось х направлена вертикально вверх. Это комплексные потенциалы для полей потоков твердых частиц и ожижающего агента, и их мнимые части дают соответствующие функции тока. В соответствии, с методом Дэвидсона, комплексные потенциалы можно представить как [c.101]

В случае жидкой подложки второе выражение (7), определяющее неподвижность капли в вертикальном направлении, одновременно означает и полную компенсацию сил, действующих на обе поверхности капли. Действительно, согласно уравнению Лапласа, для сферической поверхности капиллярные давления со стороны верхней и нижней поверхностей капли соответственно равны 2oJRi = 2o2IR2- Равенство этих двух давлений при равновесии означает, что о i/o, = RJRo- В то же время для капли со сферическими поверхностями г = а, = R sin а2, г следовательно, [c.254]

Уравнение (14.9) отражает равновесие поверхностей пленки и свидетельствует о наличии в дисперсной частице избыточного по сравнению с окружающей средой давления, называемого лапласо-вым давлением. В случае сферической поверхности получаем уравнение Лапласа—Юнга [c.271]

Для сферических частиц б5=8ягбл и ЬУ=Апг дг. Подставляя эти выражения в (I—23), получаем закон Лапласа [c.31]

В противоположность методу капиллярного поднятия группа методов, основанных на изучении формы капель и пузырьков в поле силы тяжести, принципиально включает учет отклонения их формы от сферической, т. е. требует интегрирования уравнения Лапласа. При измерении поверхностного натяжения этими методами обычно находят какие-либо характерные геометрические параметры, показывающие степень отклонения поверхности от сферической (например, для капли, изображенной на рис. I—12, ее максимальную ширину max И расстояние И от вершины до максимального сечения ,иах)- Сопоставляя результаты измерений с табулированными значениями этих параметров, полученными численным интегрированием уравнения Лапласа, находят величину поверхностного патя- [c.37]

Для сферических частиц 5S=inrSr и 5V=4nr Sr. Подставляя эти выражения в (1.11), получаем закон Лапласа [c.35]

Оптическая картина текстур в каплях при различных условиях также отличается от классических ЖК. Поэтому были проведены исследования структуры капель с помощь поляризационной микроскопии и с учетом особенностей оптических свойств мезофаз ВМКН. Результатом этнх исследований является утверждение, что все многообразие наблюдаемых оптических картин — следствие возникновения дисклинацин на поверхности сферических капель. Причем, при низких температурах (400 — 550°) чаще наблюдается две дисклинацин — полюса сферы, но при высоких температурах типично образование сфер с четырьмя и более количеством дисклинаций. Реализация таких дисклинаций — следствие решения уравнения состояния директора на сфере, т. е. решение уравнения Лапласа в сферических функциях, но их устойчивость имеет топологическую природу. [c.99]