Способ множителей Лагранжа

Протекание одной или нескольких побочных реакций, приводящих к потере сырья, значительно усложняет проблем технической оптимизации. Основной причиной этого является необходимость использования более чем одной переменной концентрации для определения состава смеси и применение нескольких взаимосвязанных уравнений материального баланса. К математическому аппарату, посредством которого можно решить задачу оптимизации, относится способ множителей Лагранжа (см. стр. 223). [c.216]

Способ множителей Лагранжа [c.223]

Применяя способ множителей Лагранжа, можно составить линейную комбинацию функции М уравнений (VI,20) — (VI, 22) [c.225]

Явный вид функций фг предполагается известным. Наличие ограничений вида (П.П. 4.1) означает, что из N исходных аргументов. .., х независимыми являются лишь К — п аргументов при этом все прочие переменные можно выразить через независимые аргументы. В связи с этим при решении таких, например, задач, как отыскание максимумов и минимумов функции Х, . .., Хц), необходимо, вообще говоря, выразить функцию / через ее независимые аргументы. Однако последняя задача часто оказывается весьма трудоемкой, а получаемые из (П.П. 4.1) соотнощения для тех аргументов, которые не являются независимыми, очень громоздки. Поэтому при отыскании экстремума функций, значения аргументов которых связаны между собой некоторыми соотношениями (т. е. при отыскании условного, или относительного, экстремума), обычно используют другие методы, в рамках которых указанные выше трудности, как правило, не возникают. Здесь, следуя [35], кратко изложим один из наиболее распространенных методов отыскания условного экстремума, называемый обычно способом множителей Лагранжа. [c.374]

В данном разделе предлагается простой способ вывода необходимых условий оптимальности первого и второго порядков для общих дискретных задач управления циклическими адсорбционными процессами. Он основан на известных результатах нелинейного программирования и в отличие от традиционных подходов [62] предъявляет минимальные требования гладкости к данным задачи оптимизации. Доказательство принципа максимума, как и необходимых условий оптимальности второго порядка, проводится по одной схеме [63, 72] по части ограничений задачи строится варьированное семейство, содержащее исследуемый допустимый процесс по остальным ограничениям формируется вспомогательная задача нелинейного программирования с известным решением для данного решения записываются и потом расшифровываются локальные условия экстремума первого или второго порядка и затем устанавливается существование универсальных множителей Лагранжа, не зависящих от способа построения варьированного семейства. [c.185]

Возможны различные способы нахождения множителей Лагранжа. Рассмотрим один из них. Пусть определена экстремальная точка и. Ясно, что в этой точке должны выполняться соотношения (У,61). [c.106]

Для отыскания наибольшей области асимптотической устойчивости необходимо использовать теорию оптимизации. Это становится ясным при формализации процедуры поиска и-контура, который касается кривой и = 0. Такой и-контур может быть установлен двумя способами 1) нахождением минимума при условии, что и = О, и 2) нахождением максимума при условии, что V = К и К увеличивается до тех пор, пока не будет достигнут максимум V = 0. Оба указанных способа можно выразить в формулах классического исследования экстремума с помощью множителей Лагранжа. [c.100]

Мы здесь остановимся на другом способе решения этой задачи. На уравнения (И) можно смотреть, как на связи, которые наложены на переменные х , и поэтому можно воспользоваться правилом множителей Лагранжа и заменить поиск экстремума функции а = Хп поиском экстремума функции [c.30]

Существует простой способ решения подобной проблемы, включающий ограничения на область изменения переменных. Этот способ был открыт великим французским математиком Жозефом Луи Лагранжем (1736 — 1813) и носит название метода неопределенных множителей Лагранжа. Рассмотрим функцию [c.802]

Функция желательности. Задачу оптимизации процессов, характеризующихся несколькими откликами, обычно сводят к задаче оптимизации по одному критерию с ограничениями в виде равенств или неравенств. В зависимости от вида поверхности отклика и характера ограничений для оптимизации предлагается использовать методы неопределенных множителей Лагранжа, линейного и нелинейного программирования, ридж-анализ [10] и др. К недостаткам этих способов решения задачи оптимизации следует отнести вычислительные трудности. В частности, при описании поверхности отклика полиномами второго порядка решение задачи на условный экстремум с применением неопределенных множителей Лагранжа приводит к необходимости решать систему нелинейных уравнений. Поэтому одним из наиболее удачных способов решения задачи оптимизации процессов с большим количеством откликов является использование предложенной Харрингтоном [23] в качестве обобщенного критерия оптимизации так называемой обобщенной функции желательности О. Для построения обобщенной функции желательности О предлагается преобразовать измеренные значения от- [c.207]

Керр [54] описывает способ проверки пересечения эллипсоидов, который включает последовательное нахождение единственной общей для обоих эллипсоидов точки X, что является достаточным и необходимым условием пересечения. Способ проверки сводится к поиску точки X, удовлетворяющей задаче нелинейной оптимизации, просто решаемой, если известен связанный с этой задачей скалярный множитель Лагранжа. Для определения множителя Лагранжа намечена последовательная аппроксимационная итеративная процедура. Такой, использующий доверительную область, подход к определению [c.176]

Рассматриваемая система считается отказавшей, если в момент отказа работающего элемента -го типа все 5 запасных элементов этого же типа находятся в ремонте. Поставленная задача может решаться двумя способами. Первый из них является параметрическим обобщением метода множителей Лагранжа на случай дискретных переменных 143]. Второй основан на применении метода динамического программирования 130]. Второй способ более общий, может применяться при наличии нескольких линейных ограничений, полностью формализуется и дает приемлемую точность результатов. Наличие этих факторов позволяет применять модель определения оптимального уровня запасов резервных элементов на химических предприятиях различных типов, поэтому выбираем метод решения задачи, основанный на принципах динамического программирования. [c.100]

Использование принципа вложения эквивалентно расширению объема и области приложения исходной задачи, что приводит к соответствующему увеличению информации. Подобно методу множителей Лагранжа, который также увеличивает объем задачи, принцип вложения позволяет получить информацию и решение, которое нельзя найти другим способом. [c.17]

К каждой задаче с изопериметрическими ограничениями можно обычным способом применить метод динамического программирования. Существо этого метода будет рассмотрено в разд. 19 гл. 5 в связи с методом множителей Лагранжа. [c.163]

В предыдущем разделе с помощью множителя Лагранжа была решена задача с одним ограничением теперь воспользуемся этим методом применительно к многомерным задачам. В этом случае каждому изопериметрическому ограничению соответствует свой множитель Лагранжа, определяемый способом, аналогичным описанному в разд. 19 и 20. [c.226]

Независимо от используемого метода линейного программирования при нахождении численных результатов исключительно важное значение имеет сокращение размерности. Остановимся здесь на двух способах сокращения размерности задачи. Один из них основан на использовании свойства однородности линейных уравнений, а другой состоит в применении, как и раньше, множителей Лагранжа. [c.256]

Часто известно решение исходной задачи х еО, найденное тем или иным способом, не обязательно с применением метода Лагранжа. Для того чтобы воспользоваться приведенными выше соотношениями и оценить эффективность усредненного расширения НП, необходимо найти множители Лагранжа, соответствующие х. Рассмотрим сначала простой случай, когда задача имеет вид [c.51]

Существует несколько способов решения этой задачи, но лучший подход к задаче на условный максимум был предложен Лагранжем и называется методом неопределенных множителей. В этом методе уравнение составляется вычитанием из уравнения (17.12) уравнения [c.529]

Часто решение исходной задачи х бЬ, найденное тем или иным способом (не обязательно с применением метода Лагранжа), известно. Множители Я,, соответствующие этому решению, можно найти из системы уравнений [c.92]

В зависимости от способа минимизации штрафных функций МАВ или МП вычислительные методы идентификации делятся на две группы прямые и косвенные. Первую группу составляют методы непосредственной минимизации штрафной функции на каждом шаге интервала наблюдения. К ним относится градиентный метод и его многочисленные модификации, метод стохастической аппроксимации и др. Второй подход к решению задачи идентификации состоит в применении принципов теории оптимального управления на каждом шаге итерации. В частности, для минимизации штрафных функций применяется принцип максимума Понтрягина, метод неопределенных множителей Лагранжа и др. При этом соответствуюш ая система канонических уравнений с необходимыми граничными условиями образует характерную нелинейную двухточечную (начало и конец интервала наблюдения) краевую задачу (ДТКЗ), решение которой представляет искомую оценку для заданного интервала наблюдения. Вычислительные методы решения указанной ДТКЗ образуют группу так называемых непрямых вычислительных методов решения задач идентификации. К ним можно отнести метод квазилинеаризации, метод инвариантного погружения, метод прогонки и др. [c.494]

При решении предложенным. методом задачи условной оптимизации становятся известными не только значения независимых переменных г, , при которых функция / достигает условного экстремума, но и значения множителей Лагранжа Л(t, соответствующие найденному экстремуму. Фактически знэ.чен.и.я мно.жмтелей ьЧагранжа не н .. -кны в окончательном ответе и поэтому задача может ставиться и как задача не только нахождения условного экстремума, но и как задача исключения из окончательного ответа множителей Лагранжа. Один из способов, который может теоретически обеспечить исключение из окончательного ответа множителей, /Тагранжа, состоит в том, чтобы посмотреть на соотношения (38) как на уравнения для определения 1,-в виде некоторых функций от неопределенных множителей Лагранжа. Р1, если это в конце когщов удается сделать, представить [c.30]

Функция желательности. Задачу оптимизации процессов, характеризующихся несколькими откликами, обычно сводят к задаче оптимизации по одному критерию с ограничениями в виде равенств или неравенств. В зависимости от вида поверхности отклика и характера ограничений для оптимизации предлагается использовать методы неопределенных множителей Лагранжа, линейного и нелинейного программирования, ридж-анализ и др. К недостаткам этих способов решения задачи оптимизации следует отнести вычислительные трудности. В частности, при описании поверхности отклика полиномами второго порядка решение задачи на условный экстремум с применением неопределенных множителей Лагранжа приводит к необходимости решать систему нелинейных уравнений. Поэтому одним из наиболее удачных способов решения задачи оптимизации процессов с большим количеством откликов, является использование предложенной Харрингтоном в качестве обобщенного критерия оптимизации так назьгааемой обобщенной функции желательности В. Для построения обобщенной функции желательности Г) предлагается преобразовать измеренные значения откликов в безразмерную шкалу желательности й. Построение шкалы желательности, которая устанавливает соотношение между значением отклика у и соответствующим ему значением с1 (частной функцией желательности), является в своей основе субъективным, отражающим отношение исследователя (потребителя) к отдельным откликам. [c.205]

В данной задаче локальный потенциал далеко не единственный, и тем же способом, используя ранее рассмотренные множители, можно построить несколько лагранжианов. Например, в задаче теплопроводности, кроме лагранжиана (10,8), можно рассмотреть следующие выражения [c.130]