Поворотная ось с перпендикулярной плоскостью симметрии

Поворотная ось с перпендикулярной плоскостью симметрии [c.41]

Поворотная ось с пересекающимися плоскостями симметрии и перпендикулярной плоскостью симметрии [c.42]

С2 . Две перпендикулярные плоскости симметрии, линия пересечения которых является поворотной осью второго порядка. Примеры см, на рис. 3-14, д. [c.103]

Рис. 24. Фигура обладает не только двумя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии, но и двойной поворотной осью, возникающей в результате пересечения этих плоскостей. Формула симметрии

Такие две действующие совместно и нераздельно плоскости отражения Вульф называл нереальными (плоскости двойной симметрии, двойного отражения). Отметим, что если в фигуре действительно имеются две взаимно перпендикулярные плоскости симметрии, то прямая, по которой они пересекаются, является поворотной осью 2-го порядка. [c.33]

Общая форма ромбическая пирамида. Частные формы 1) ромбическая призма (заданная грань параллельна поворотной оси), 2) пинакоид (грань параллельна плоскости симметрии), 3) диэдр (грань перпендикулярна плоскости симметрии), [c.63]

Другие элементы симметрии — поворотные и винтовые оси, плоскости скользящего отражения, центры инверсии — можно выделить путем наложения этих простейших комбинаций. Так, поворотная ось 2, параллельная оси Z, может быть получена путем наложения функции, имеющей две взаимно-перпендикулярные плоскости симметрии т х)-т у) (а следовательно, и ось симметрии по линии их пересечения) и функции, имеющей две взаимно-перпендикулярные плоскости антисимметрии ui x)-w y) (а также ось 2 по линии пересечения). При наложении сохраняется лишь их общий элемент симметрии — ось второго порядка, параллельная оси Z (рис. 97 а). Таким образом, 2 г) = т х)-m y) + iu х)-ш (у). Аналогичным образом центр инверсии можно получить путем сочетания четырех функций, обладающих инверсией [c.346]

Приведем обозначения некоторых из элементов симметрии с конечной кратностью плоскость симметрии (Р или т), ось симметрии Сп или и), зеркально-поворотная ось симметрии (<5 ), сочетающая поворот около оси п с отражением в перпендикулярной к ней плоскости т (рис. П.З), инверсионная ось симметрии (п), сочетающая поворот около оси п с инверсией в центре симмет- [c.42]

Трансляция в1, перпендикулярная к оси симметрии, размножает эту ось в бесконечный одномерный периодический ряд эквивалентных поворотных осей симметрии. В пересечении с перпендикулярной плоскостью эти оси образуют линейный ряд точек. . Aj,. . . с периодом а . Последовательные повороты около осей С па элементарный угол а образуют на плоскости бесконечные параллельные аналогичные ряды точек. . А Тс,. . ., пересекающие исходный ряд под углом а . В результате получим двумерное семейство идентичных осей Сп, около каждой из которых возможны в свою очередь циклические преобразования симметрии. Задача заключается в том, чтобы найти значения углов а , при которых точки. . ., Aj, [c.55]

Ось С , горизонтальная плоскость сг , перпендикулярная оси, центр симметрии 1 Ось и две вертикальные плоскости ст , проходящие через ось Три взаимно перпендикулярные плоскости ст, пересекающиеся по трем осям второго порядка С2, центр симметрии / Зеркально-поворотная ось 5 , две перпендикулярные к ней оси и две плоскости ст[c.173]

В структурной кристаллографии принята совсем иная система обозначений точечных групп, основанная на приведенных выше обозначениях элементов симметрии. Точечные группы, содержащие операции только одной поворотной оси, обозначаются, как и сами элементы симметрии, цифрами 1, 2, 3, 4,. .. группы с единственной инверсионной осью — цифрами с черточками 1, 2, 3, 4,.... Здесь 1 — группа только с центром инверсии 2 —группа с единственной плоскостью симметрии для нее предпочтительно обозначение т. Группы с осями симметрии второго порядка, перпендикулярными главной оси, обозначаются цифрами, стоящими подряд (например, 422 соответствует D4) добавление к главной оси плоскостей, ей параллельных, обозначается дополнением символа буквами т, стоящими подряд за цифрой (например, 4mm соответствует iv) а добавление плоскости, перпендикулярной главной оси, обозначается буквой т, стоящей за косой чертой (например, 4/т соответствует ih). [c.21]

Поэтому предпочтительно не обсуждать этот вопрос, а оговорить способ проведения кристаллографических координатных осей для решеток каждой сингонии по отдельности. Соответствующие требования сформулированы в табл. 2 в колонке Выбор осей . Так, например, в пространственных группах, относящихся к ромбической сингонии, всегда содержащих взаимно перпендикулярные поворотные, винтовые или инверсионные оси второго порядка, координатные оси направляются параллельно этим элементам симметрии. Следовательно, в группах ромбической сингонии кристаллографическая координатная система всегда ортогональна. То же относится, естественно, и к группам с более высокой симметрией — средней и высшей категории. Наоборот, в группах моноклинной сингонии ось симметрии 2, 2ь или 2 (т. е. т) фиксирует направление только одной из кристаллографических осей. Две другие располагаются в узловой сетке решетки, перпендикулярной оси симметрии (параллельной плоскости симметрии). Выбор узловых рядов этой сетки, принимаемых за координатные оси, вообще говоря, неоднозначен. Требуется лишь, чтобы наименьшие трансляции вдоль этих рядов образовали пустой параллелограмм (параллелограмм, в площади которого нет дополнительных узлов). [c.29]

Аналогичным образом поворотные оси симметрии создают максимумы, расположенные в координатной плоскости паттерсоновского пространства, перпендикулярной оси симметрии. Определенные правила размещения максимумов вызываются и другими элементами симметрии. [c.95]

Для класса симметрии тетраэдра существуют два эквивалентных способа описания 3/2-ш или же 3/5. Наклонная линия, связывающая две оси, показывает, что они не ортогональны. Символ 3/2 т обозначает две не ортогональные поворотные оси 3 и 2, а также включающую их плоскость симметрии. Эти три элемента симметрии показаны на рис. 2-74. Класс симметрии 3/2 т эквивалентен паре осей третьего порядка и четверной зеркально-поворотной оси. В обоих случаях тройные оси проходят через вершину тетраэдра и центр его противоположной грани. Четверные зеркально-поворотные оси совпадают с осями второго порядка. Наличие четверной зеркально-поворотной оси хорошо видно, если тетраэдр повернуть на 90° относительно оси второго порядка, а затем отразить в плоскости, перпендикулярной этой оси. Таким образом, операции симметрии, выбранные в качестве основных, порождают остальные элементы симметрии. Это доказывает эквивалентность обоих описаний. [c.86]

Обозначение (а)-а т. Симметрия этого узора может быть охарактеризована комбинацией плоскости скользящего отражения с поперечными зеркальными плоскостями симметрии. Здесь присутствуют также ось трансляции и поворотные двойные оси, перпендикулярные плоскости чертежа. Последние элементы порождены элементами, упомянутыми ранее. Можно было бы дать и такое описание этого класса симметрии комбинация плоскости скользящего отражения с двойными осями,-и соответствующее этому обозначение было бы (а) 2- а. [c.368]

Так называемые координатные или согласованные международные обозначения относятся к взаимной ориентации координатных осей и элементов симметрии [2]. Обозначение всегда начинается с буквы р, относящейся к трансляционной группе. Ось а направлена вдоль цепи, ось Ь лежит в плоскости чертежа и ось с располагается перпендикулярно этой плоскости. Первая, вторая и третья позиции символа после буквы р указывают на взаимную ориентацию элементов симметрии по отношению к координатным осям. Если ни поворотная ось, ни нормаль к плоскости симметрии не совпадают с координатной осью, то в соответствующей позиции символа ставится 1. Совпадение поворотной оси (2 или 2,) или нормали к плоскости симметрии (т или а) с одной из координатных осей указывают, помещая символ этого элемента в соответствующей позиции. Кроме приведенных выше обозначений здесь даны два других, относящихся к двусторонним лентам, показанным на рис. 8-11. [c.370]

В качестве примера несобственной операции симметрии в кристаллах можно привести инверсионно-поворотные оси п и плоскости скольжения. Инверсионно-поворотные оси соответствуют вращению на 2тг/п с последующей инверсией относительно точки (центра симметрии), лежащей на данной оси вращения. Это приводит к инверсии конфигурации, что отмечено запятыми в кружках для соответствующей позиции (рис. 11.2-3). Как видно из рисунка, операция симметрии 2 эквивалентна отражению в плоскости симметрии т, перпендикулярной оси вращения. Это привело к широкому использованию символа т при описании кристаллических структур. Плоскости скольжения [c.393]

К моноклинной системе относятся кристаллы, имеющие только одну ось (поворотную или инвep иo нyю) второго порядка. Эта система содержит три класса. Первый из них обозначается символом 2, второй — символом т (плоскость симметрии). К третьему классу относятся кристаллы, обладающие поворотной осью симметрии второго порядка и перпендикулярной ей плоскостью симметрии. Этот класс обозначается символом 2/т. Из аналогичных рассмотрений прочих систем следует, что ромбическая система содержит три класса, ромбоэдрическая и кубическая — по пяти классов, гексагональная и тетрагональная — по семи классов. Обозначение этих классов приведено в табл. 1. Символ 222 обозначает три взаимно перпендикулярные оси симметрии второго порядка, ттт — три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии, п ттт — сочетание поворотной оси п-та порядка, перпендикулярной ей плоскости симметрии и двух параллельных ей плоскостей симметрии. [c.19]

Из сказанного следует, что элементы симметрии находятся не в произвольных сочетаниях друг с другом, а только в определенных. Так, например, нет такой фигуры, которая обладала бы только двумя взаим-но -перпендикулярными плоскостями симметрии и не обладала бы од но-временно и двойной поворотной осью. На рис. 24 изображена такая фигура, обладающая двумп плоскостями симметрии, расположенными перпендикулярно к пло скости чертежа, и осьЮ второго порядка, являющейся линией их пересечения. Не может быть фигуры, имеющей 2 и одну из нлоско стей — / или II. В результате сложения оси 2 с проходящей через нее плоскостью симметрии возникает вторая плоскость,, перпендикулярная к первой и проходящая также через ось. Таким, образом, фигура (рис. 24) всегда имеет три элемента симметрии.. [c.25]

Примером одной из 28 пространственных групп ромбической сингонии является группа Стст (рис. 3.30). В этой группе с кристаллографической осью 2 совпадают двойные винтовые оси симметрии, перпендикулярные плоскостям симметрии (001), с направлением оси X — двойные поворотные и винтовые оси симметрии, перпендикулярные зеркальным плоскостям симметрии т) и плоскостям скользящего отражения типа Ь, с направлением оси У — двойные оси симметрии 2 и 2ь перпендикулярные плоскостям [c.77]

Равновесные конфигурации молекул принято относить к тем или иным точечным группам симметрии. При этом молекулу рассматривают как систему точечных атомов. Перемещения точек в системе, сохраняющие неизменными ее конфигурацию и свойства, называют операциями симметрии. Операции, оставляющие нетронутыми по крайней мере одну точку (центр тяжести), называются точечными. Для молекулярной системы точечными операциями являются операции отражения и вращения. Симметрию системы характеризуют следующие элементы а) плоскости симметрии, обозначаемые буквой а. Отражение в таких плоскостях не изменяет свойств системы операция отражения называется операцией а б) оси вращения или оси симметрии. При повороте вокруг такой оси на 360 /п получается конфигурация, не отличаемая от первоначальной. Здесь п— целое число, его называют порядком оси симметрии. Символ оси симметрии п-го порядка С так же обозначают и операцию вращения в) центр симметрии, обозначаемый символом г. При отражении в центре симметрии (инверсии) молекула, обладающая таким центром, преобразуется сама в себя (операция инверсии ) г) зеркально-поворотная ось п-го порядка, обозначаемая Молекула, имеющая такую ось, преобразуется сама в себя при повороте на угол 360°//г с последующим отражанием в плоскости, перпендикулярной оси. Зеркальноповоротная ось второго порядка эквивалентна центру симметрии (Зг = г) д) тождественный элемент симметрии, обозначаемый символом Е. Им обладают все молекулы. Соответствующая операция симметрии Е оставляет молекулу неизменной. Элемент тождества введен на основе чисто математических соображений. [c.47]

Рис. П.З. Стереографические проекции пучков эквивалентных прямых (нормалей к плоскостям), порождаемых зерка,пьпо-поворотными осями симметрии Направления осей перпендикулярны к плоскости проекции, для проекций с нечетными и = 1, 3, 5,... жирные линии кругов показывают наличие экваториальной плоскости симметрии. Пересечение прямых со сферой в северном и южном полушариях отмечены соответственно крестиками и кружками/ Обозначения на чертежах осей симметрии и других элементов симметрии см. в [5].

Символ Р32 означает, что группа относится к триго иальной подсингонии гексагональной сингонии и пмее-примитивную гексагональную решетку. Главные оси— поворотные третьего порядка. Плоскостей симметрии, перпендикулярных главным осям, нет. Отсутствуют и плоскости симметрии, перпендикулярные осям X и У. В наличии имеются только поворотные оси второго порядка, параллельные этим осям. [c.44]

Для покоящейся круглой пластинки любая перпендикулярная п юскость. содержащая поворотную ось, будет одновременно и плоскостью симметрии. Если же пластинка вращается, то отражение в такой плоскости должно изменить направление вращения на противоположное, т.е. вращающаяся иластинка лишается плоскостей симметрии. Таким образом, появление у предмета новых физических качеств (в данном случае это движение) способно повлиять на его симметрию. - Прим. персе. [c.35]

Общее обозначение такого смешанного типа симметрии и т, где двоеточие указывает на ортогональность поворотной оси -го порядка к плоскости симметрии. Простейший случай с = 1 соответствует зеркальной симметрии. Другой крайний случай-это оо т, т.е. плоскость симметрии перпендикулярна поворотной оси бесконечного порядка. Такова симметрия вращающегося биконуса и вращающегося цилиндра, показанных на рис. 2-34. Вращение уничтожает плоскости симметрии, совпадающие с поворотной осью. Такие плоскости не позволили бы биконусу и цилиндру иметь только поворотную симметрию. [c.41]

При рассмотрении кристаллохим. задач более распространена международная символика точечных групп (или символика Германа-Могена). В ней плоскость симметрии обозначается буквой т, ось симметрии-цифрой, указывающей ее порядок зеркально-поворотная ось-соответствующей цифрой с чертой над ней, причем в качестве операции зеркального поворота рассматривается поворот с послед. инверсией (а ие отражением в перпендикулярной плоскости, как то было выше). Кроме того, перпендикулярность оси вращения и плоскости симметрии отмечается символом дроби / . Так, гитша (4/т)тт, обозначение к-рой обычно упрощают до 4/ттт, включает повороты вокруг оси четвертого порядка С4, отражения в плоскости и отражения ст и в двух неэквивалентных плоскостях, т. е. это группа в обозначениях Шёнфлиса. Все остальные операции, входящие в группу, определяются как те или иные произведения указашых операций. [c.348]

При обсуждении несобственного вращения в гл. 13 использовались операции поворота и отражения, однако в кристаллографии обычно применяют сложную операцию поворота с инверсией. Кристаллографические поворотно-инверсионные оси обозначают цифрами Г, 2, 3, 4 и 6, которые показывают число эквивалентных положений при вращении на 360 Ось Г эквивалентна инверсии i, ось 2 — зеркальной плоскости, осьЗ — трехкратному вращению плюс инверсия, а ось 6 —оси третьего порядка и зеркальной плоскости. Важно отметить, что поворотно-инверсионная операция превращает предмет в его зеркальное изображение. Поэтому предмет, который не может быть совмещен со своим зеркальным изображением, не имеет ни одного элемента поворотно-ин-версионной симметрии. В системе Германа — Могена зеркальные плоскости обозначаются буквой т. Зеркальная плоскость, перпендикулярная оси /г-го порядка, обозначается л/т. [c.568]

Теперь мы подошли ко второй особенности, касающейся плоских узоров. Изолированная фигура (например, многоугольник) может обладать поворотной симметрией с любым п, но для плоского повторяющегося узора в целом на порядок осей вращеппя накладываются существенные ограничения. Присутствие поворотной симметрии /г-го порядка в двумерной решетке приводит к образованию системы поворотных осей п-го порядка, перпендикулярных плоскости (илн, строго говоря, узора из точек поворота л-го порядка в плоскости), поскольку двумерный узор состоит из повторяющихся точек. Допустим, что через точку Р на рис, 2.4 проходит поворотная ось п-го порядка, перпендикулярная плоскости чертежа, а че- р (,. 2.4. Осевая симмет-рез точку (3 — другая поворотная ось рпя, возможпяя в пло-п-го порядка, ближайшая к ней. По- узорах (см, текст), [c.55]

В трехмерных решетках присутствует гораздо большее число элементов симметрии, чем в двумерных. Кроме инверсии (центра симметрии), отражения (зеркальной плоскости) и простой поворотной симметрии (простых поворотных осей /г-го порядка, где п=1, 2, 3, 4 или 6) могут присутствовать инверсионные оси и два вида операций, включающих перенос, а именно плоскости скользящего отражения и винтовые оси. Инверсионная ось п сочетает операцию поворота на угол 360°1п с одновременным отражением в центре инверсии. Например, ось 4 (перпендикулярная плоскости чертежа) превращает точку xyz) в набор четырех точек, как показано на рис. 2.8, а, на котором точки, расположенные выше и ниже плоскости чертежа, обозначены заполненными и свободными кружками соответственно. Поворот на 90° по часовой стрелкес последуюп й инверсией превращает Л в yxz), В ъ С (xyz), а С в D (yxz). Следует подчеркнуть, что две операции, которые включают в себя ось п, неразделимы, т. е. ось 4 не эквивалентна наличию поворотной оси 4 и центра симметрии. Такая комбинация образует набор из 8 точек, показанных на рис. 2.8, б, в то время как под действием Оси 4 получают только четыре точки. Легко убедиться, что Ось 1 эквивалентна центру симметрии, 2 — плоскости симметрии (обозначаемой также т), 3 — совокупности обычной поворотной [c.59]

Теперь остается согласовать элементы симметрии всех четырех типов простые поворотные оси, инверсионные и винтовые оси и плоскости скользящего отражения — с соответствующими решетками. С первой решеткой Бравэ на рис. 2.7 (триклинная решетка) совместимы только оси симметрии 1 и 1 первая не вносит в решетку какой-либо симметрии, вторая делает решетку центоосимметричной. Наиболее высокая симметрия, совместимая с решетками 2 и 3, имеющими два угла между осями по 90° и один угол р (отсюда название моноклинные), соответствует наличию осей 2 или 2, совпадающих с осью Ь решетки. Вместо этого или в дополнение к оси симметрии возможна плоскость симметрии, перпендикулярная оси Ь. Это может быть зеркальная плоскость (ш или иначе 2) или плоскость скользящего отражения. Найдено, что всего существует 14 видов трехмерной симметрии (пространственных групп), соответствующих этим двум моноклинным решеткам. Стоит отметить, что чрезвычайно важная проблема определения общего числа пространственных групп, возникающих с участием всех 14 решеток Бравэ, была решена независимо в один и тот же период (1885—1894 гг.) Федоровым в России, Шёнфлисом в Германии и Барлоу в Англии. Было установлено, что существует всего 230 пространственных групп. [c.62]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология