Макроскопическое уравнение

Дифференциальные уравнения сохранения массы и импульса могут быть получены либо феноменологически, т. е. исходя из общих соображений и известных физических законов, либо путем осреднения уравнений сохранения, описывающих однофазное движение на уровне отдельных частиц. Методы осреднения, используемые для вывода макроскопических уравнений сохранения, различны осреднение по времени, по физически малому объему, статистическое или ансамблевое осреднение. Как правило, уравнения, полученные различными методами, имеют в основном один и тот же вид. Число публикаций, посвященных выводу уравнений сохранения достаточно велико. Читатели, интересующиеся данным вопросом, могут воспользоваться библиографией, приведенной в работах [95-98]. [c.59]

Комбинируя соотношения (II. 1), (II.2) и (П.З), получаем макроскопическое уравнение Клаузиуса—Мосотти [c.39]

Неравновесные реакции (слабая неравновесность). Макроскопическая скорость реакции много меньше макроскопической скорости всех релаксационных процессов. Однако макроскопический коэффициент скорости (см. (2.57)) есть среднее из всех микроскопических коэффициентов скорости молекул, находящихся на разных уровнях, и может случиться так, что микроскопические скорости реакций для некоторых квантовых состояний окажутся больше микроскопических скоростей релаксации. В этом случае Макроскопическое уравнение для скорости реакции, содержащее концентрации, построить все же можно, однако оно не будет иметь обычной Аррениусовой формы (1.77). Объясняется это тем, что макроскопическая скорость определяется лишь скоростью активации, а поскольку вблизи порога активации имеет место обеднение высокоэнергетической части распределения, то средняя энергия активных молекул (т. е. молекул, имеющих запас энергии выше энергии активации Е > Ед и в принципе способных к реакции) меньше средней энергии активных молекул для случая равновесного распределения Е < Е . Это вызывает повышение эффективной энергии активации, причем величина повышения определяется механизмом активации (сильные столкновения либо многоступенчатая активация — дезактивация). [c.97]

При исследовании кинетических уравнений таких процессов в ряде случаев оказывается возможным упростить общую задачу и свести ее к макроскопическим уравнениям, описывающим изменения не только коицептрации, но и других параметров неравновесной функции распределения, например температур, соответствующих разным видам степеней свободы. По этому вопросу мы отсылаем читателей к книге [108] и работам [75, 76]. [c.51]

Это всего лишь решение макроскопического уравнения (2.27). [c.48]

В принципе задачу ВЭВ экструдата можно решить, используя макроскопические уравнения сохранения массы и сохранения момента движения в объеме, ограниченном плоскостью выхода капилляра и плоскостью, расположенной ниже по потоку в сечении с прямоугольным профилем скоростей [28]. Этот метод был успешно применен для решения проблемы разбухания струи ньютоновских жидкостей (см. Задачу 13.4). Результаты, полученные при помощи таких уравнений для полимеров, не согласуются с экспериментальными данными. [c.473]

МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СОХРАНЕНИЯ 549 [c.549]

МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СОХРАНЕНИЯ 551 (36), получим уравнение [c.551]

Полученные в ре. ультате дифференциальные уравнения являются макроскопическими уравнениями. Примеры уравнения для скоростей химических реакций, уравнение затухающих колебаний гармониче- [c.62]

Следовательно, в этом случае мы находим точное макроскопическое уравнение, описывающее эволюцию величины у(/), определенной соотношением (5.8.1). Однако если ui (г/) не является линейной функцией у, то уже нельзя больше утверждать, что (5.8.4) совпадает с (5.8.3). Но, раскладывая a iy) вблизи <К>, получаем [c.128]

Получив уравнение (5.8,91 для дисперсии, включим в рассмотрение второй член в (5.8.5) и получим поправку к макроскопическому уравнению [c.130]

ГЗ гл, 9 будет показано, что это уравнение совместно с (5.8.9) в самом деле дает следующее приближение после макроскопического уравнения (5,8,6). [c.130]

Пояснение. Макроскопическое уравнение (5.8.6) является дифференциальным уравнением для у, которое однозначно определяет у(/), когда задано начальное значенне у(0). В следующем приближении (5.8,12) эволюция у зависит также от дисперсии флуктуаций. Причиной этого является то. что у флуктуирует относительно у и вследствие этого чувствует значение О] не только в у, но также и в его окрестности,. Этот эффект пропорционален кривизне Оу. наклон О] несуществен, поскольку флуктуации в этом приближении симметричны, Однако уровень флуктуаций определяется вторым уравнением (5.8.9). которое все же содержит наклон ау. [c.130]

Упражнение. Найдите моменты перехода и макроскопическое уравненне для процесса распада и процесса Пуассона. [c.131]

Те же самые предположения, на которых основано макроскопическое уравнение (7.2,2) (кроме небольшой, но существенной модификации), приводит к основному кинетическому уравнению для Р определенного вида . В (7.2.1) вероятность столкновения, включающего Sj молекул Xj, взята пропорциональной ti J точнее, этот множитель должен иметь вид [c.175]

Упражнение. Определите первый момент перехода аУ ( " ) для nj. Запишите макроскопическое уравнение для П). [c.176]

Это уравнение отождествляется с макроскопическим уравнением движения системы, которое предполагается известным. Таким образом, функция А (у) определяется из наших сведений о макроскопическом поведении. Затем получаем В (у), отождествляя (8.1.4) с равновесным распределением, которое, по крайней мере для замкнутой физической системы, известно из обычной статистической механики. Таким образом, для вывода уравнения Фоккера — Планка и, следовательно, для вычисления флуктуаций достаточно знать макроскопический закон и равновесную статистическую механику. [c.198]

Упражнение. Вращение частицы, имеющей форму эллипсоида и взвешенной в жидкости, описывается макроскопическим уравнением движения [c.207]

Макроскопическое уравнение, связанное с (8.5.3) имеет вид [c.209]

Это макроскопическое уравнение (9.1.2), и оно удовлетворяется поскольку с самого начала мы поставили условие, что в качеств функции ф берется макроскопическое решение. [c.235]

Тогда (9.3.1) является макроскопическим уравнением. [c.243]

Примечание. Уравнение (9.3.1) не полностью совпадает с (5.8.6), которое мы раньше называли макроскопическим уравнением, поскольку оно также содержит члены порядка Возникает вопрос какое же из этих уравнений правильно, так как члены порядка Й (и даже порядка 0 /-) могут переходить из макроскопической части (9.3.2) во флуктуационную часть И если что сформулировать по-другому, положение пика Р(Х, I) нельзя определить точнее его ширины, которая имеет порядок Конечно же, можно договориться определять положение как <Х> или по максимуму пика. Однако для этого нет логической необходимости и в случае нелинейных процессов это к тому же и затруднительно. И все же практика дает формуле (9.3.1) некоторое преимущество перед формулой (5.3.6). Так, например, в случае химической реакции О — объем, а уравнения, описывающие скорость химической реакции, применимы в случае бесконечного объема и не содержат членов порядка В случае рэлеевской частицы можно было бы попытаться включить высшие по т М члены в макроскопический закон затухания, но их физическая значимость сомнительна, поскольку они много меньше всегда присутствующих флуктуаций. [c.243]

Их может быть любое число. Из того факта, что основное кинетическое уравнение (если только оно не является разложимым или расщепляющимся) имеет единственное стационарное решение Р1, нельзя сделать выводы о том, что макроскопическое уравнение не может иметь более одного стационарного макроскопического состояния, как это было видно в 11.1. [c.243]

Рис. 25. Устойчивое стационарное решение макроскопического уравнения (а) неустойчивое стационарное решение (б) еще один вид неустойчивости (в)

Упражнение. Найдите оба варианта (9.3.1) и (5.8.6) макроскопического уравнения, относящегося к основному кинематическому уравнению (6.9.5). Убедитесь в том, что первое из них дает правильное уравнение для скорости реакции. [c.245]

Упражнение. Функция V удовлетворяет даже более сильному условию V" (1р) > 0. Эти свойства V совместно означают выполнение (9.3.4). Упражнение. Для одношагового процесса макроскопического уравнения в обозначениях (9.2.6) имеет вид [c.245]

Решаем макроскопическое уравнение (9.3.1) с начальным условием (9.3.2), обозначаем решение ф(т/д о). [c.246]

Первая строка описывает производство атомов X из заданного резервуара А с постоянной скоростью Вторая строка описывает -объединение атомов X в молекулы У за единичное время упх . Третья строка описывает потерю молекул У с вероятностью Рлу вследствие дальнейшей реакции или какого-нибудь другого механизма. Макроскопические уравнения имеют вид [c.251]

Эти уравнения представляют собой макроскопические уравнения (9.5.2). Их можно решить явно, и, как нетрудно заметить, все решения стремятся к [c.252]

Не рассматривая вид функции распределения, а учитывая только некоторые основные свойства оператора усредаения (2.31), можно от исходных микроскопических уравнений сохранения и соответствующих условий на N поверхностях частиц перейти к макроскопическим уравнениям, описывающим усредненное движение сплошной и диспер сной фаз. [c.69]

В этом случае приближение к химическому ранповесию описывается макроскопическим уравнением [c.52]

Один из наиболее привлекательных аспектов теории устойчивости — ее промежуточное положение между детерминистическим описанием с помощью макроскопических уравнений (типа уравнения Навье — Стокса) и теорией случайных процессов. Само существование са.мопроизвольных флуктуаций является следствием того, что рассматриваемые системы состоят из большого числа частиц. Однако, когда система устойчива, флуктуации не важны, так как они затухают они влияют только на усредненное поведение статистических шумов. Положение радикально меняется, когда возникает неустойчивость. Тогда флуктуации растут и достигают макроскопических размеров. Как только достигнуто новое устойчивое состояние (стационарное или нестационарное), макроскопическое описание вновь становится справедливым. Однако даже здесь статистический аспект временного поведения остается существенным, так как характер нового устойчивого состояния может [c.108]

Это соотношение уже не является самосогласованным уравнением, содержащим только величину уже не определяется самим средним <К>, но подвержена действию флуктуаций относительно этого среднего. Макроскопическое приближение состоит в пренебрежении этими флуктуациями и учете только первого члена в разложении (5.8.5). В этом приближении уравнение (5.8.4) справедливо, даже если функция а у) нелинейна. Тогда получаем макроскопическое уравнение [c.128]

Упражнение. Докажите следующую теорему . Макроскопическое уравнение Аинейно тогда и только тогда, когда функция Q (у) у — у является левьш собственны.м вектором матрицы W. [c.131]

Для основных кинетических уравнений, которые нельзя решить точно, вместо интyиtивныx приближений Фоккера — Планка и Ланжевена необходимо иметь систематический приближенный метод. Такой метод—степенное разложение по параметру й—мы рассмотрим в этой главе. Этот метод позволяет также понять, каким образом макроскопическое уравнение получается из стохастического описания в терминах основного кинетического уравнения. [c.233]

В том случае, когда имеется не одна, а несколько флуктуирую щих величин, способ, которым можно провести Q-paзлoжeниe, во многом совпадает с одномерным случаем. Основное различие состоит в том, что макроскопические уравнения в том случае более сложны и обычно их не удается решить явно в квадратурах. Вместо того чтобы дать общую формулировку, мы лучше продемонстрируем многомерное й-разложение на конкретном примере. [c.250]

Эти уравнения также совпадают с уравнениями для вариациГй, связанными с макроскопическими уравнениями (9.5.5). [c.252]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология