Макроскопические уравнения сохранения

Дифференциальные уравнения сохранения массы и импульса могут быть получены либо феноменологически, т. е. исходя из общих соображений и известных физических законов, либо путем осреднения уравнений сохранения, описывающих однофазное движение на уровне отдельных частиц. Методы осреднения, используемые для вывода макроскопических уравнений сохранения, различны осреднение по времени, по физически малому объему, статистическое или ансамблевое осреднение. Как правило, уравнения, полученные различными методами, имеют в основном один и тот же вид. Число публикаций, посвященных выводу уравнений сохранения достаточно велико. Читатели, интересующиеся данным вопросом, могут воспользоваться библиографией, приведенной в работах [95-98]. [c.59]

На каждой ступени анализа Чепмена — Энскога получается соответствуюш ая система уравнений законов сохранения. Например, как будет показано, решение низшего порядка не содержит тепловых потоков и напряжений. Если эту функцию подставить в уравнение Больцмана и образовать три первых момента, то вследствие структуры получаемые в результате макроскопические уравнения будут содержать только гг, и и Г. Это уравнения Эйлера. Они описывают газ, который не содержит ни тепловых потоков, ни напряжений идеальная жидкость). Такое свойство присуш е состоянию жидкости, близкому к равновесию. Чтобы описать состояния, более удаленные от равновесного, где суш е-ствуют напряжения и тепловые потоки, необходимо использовать следующие члены разложения . Например,уже содержит Q [c.274]

В принципе задачу ВЭВ экструдата можно решить, используя макроскопические уравнения сохранения массы и сохранения момента движения в объеме, ограниченном плоскостью выхода капилляра и плоскостью, расположенной ниже по потоку в сечении с прямоугольным профилем скоростей [28]. Этот метод был успешно применен для решения проблемы разбухания струи ньютоновских жидкостей (см. Задачу 13.4). Результаты, полученные при помощи таких уравнений для полимеров, не согласуются с экспериментальными данными. [c.473]

МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СОХРАНЕНИЯ 549 [c.549]

МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СОХРАНЕНИЯ 551 (36), получим уравнение [c.551]

Фактически мы следуем методу, развитому для одноатомного газа, поэтому подчеркнем лишь некоторые новые моменты. Прежде всего рассмотрим макроскопические уравнения сохранения. Они получаются обычным образом — умножением уравнения Больцмана на аддитивные инварианты и интегрированием в пространстве скоростей. В данном случае мы должны еще взять сумму по внутренним состояниям молекул. [c.312]

Макроскопические уравнения сохранения [c.356]

Макроскопические уравнения сохранения можно вывести способом, совершенно аналогичным примененному в 4.1. Умножая уравнение Энскога (12.1.8) на аддитивный инвариант у) и интегрируя по с, получаем [c.356]

МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СОХРАНЕНИЯ [c.357]

Определяющие уравнения, в том числе уравнение переноса тепловой энергии, получаются при этом либо из соответствующего условия баланса для макроскопического объема, либо путем интегрирования общих уравнений сплошной среды [24]. Уравнения сохранения массы, количества движения и энергии вместе с линейным законом изменения плотности в конечном [c.365]

Уравнения газодинамики (10,1), если отвлечься от уравнения состояния, представляют собой макроскопические законы сохранения массы, количества движения и энергии. Уравнения переноса Максвелла также выражают законы сохранения некоторой макроскопической величины < , отнесенной к одной молекуле. Поэтому уравнения газодинамики содержатся [c.58]

Феноменологические соотношения, определенные в подразделе 1.1, играют важную роль в термодинамике необратимых процессов. Общую основу макроскопического описания необратимых процессов составляет неравновесная термодинамика, которая строится как теория сплошной среды и параметры которой, в отличие от равновесной термодинамики, являются функциями пространственных координат и времени. Центральное место в неравновесной термодинамике играет уравнение баланса энтропии [10]. Это уравнение выражает тот факт, что энтропия некоторого элемента объема сплошной среды изменяется со временем за счет потока энтропии в рассматриваемый объем извне и за счет положительного источника энтропии, обусловленного необходимыми процессами внутри объема. При обратимых процессах источники энтропии отсутствуют. В этом состоит локальная формулировка второго закона термодинамики. Поэтому основной задачей в теории необратимых процессов является получение выражения для источника энтропии. Для этого необходимо использовать законы сохранения массы, количества движения и энергии в дифференциальной форме, полученные в разделе 1. В уравнения сохранения входят потоки диффузии, тепла и тензор напряжений, которые характеризуют перенос массы, энергии и импульса. Важную роль играет термодинамическое уравнение Гиббса (5.49), которое связывает скорость изменения энтропии со скоростями изменения энергии и состава смеси. Оказывается, что выражение для интенсивности источника энтропии представляет собой сумму членов, каждый из которых является произведением потока, характеризующего необратимый процесс, и величины, называемой термодинамической силой. Термодинамическая сила связана с неоднородностью системы или с отклонением параметра от его равновесного значения. Потоки, в свою очередь, в первом приближении линейно зависят от термодинамических сил в соответствии с феноменологическими соотношениями. Эти линейные законы отражают зависимость потока от всех термодинамических сил, т. е. учитывают перекрестные эффекты. Так, поток вещества зависит не только от градиента концентрации, но и от градиентов давления, температуры, электрического потенциала и т. д. Неравновесная термодинамика ограничивается в основном изучением линейных феноменологических соотношений. [c.83]

При рассмотрении уравнений сохранения используются два различных способа представления гидродинамических переменных. Во-первых, их можно вычислять в фиксированной системе координат, где скорость равна Такая формулировка приводит к так называемой нормальной консервативной форме уравнений сохранения. Переменные р, и, д — это абсолютные макроскопические переменные. Их определения через функцию и уравнения, которым они удовлетворяют, представлены следующими равенствами [c.218]

Интересное различие между уравнениями сохранения для относительных и для абсолютных переменных заключается в том, что в уравнении относительной энергии не проявляется какое-либо непосредственное действие силового поля К (см. уравнение (4.136)). В уравнение Больцмана макроскопическая сила К входит в виде члена [c.221]

В разделе 3.3 было показано, что из уравнения сохранения количества движения, полученного в разделе 3.2, путем соответствующих преобразований можно вывести новое уравнение, которое позволяет описывать взаимные переходы между различными формами механической энергии, а также возможные случаи потерь механической энергии вследствие ее необратимого превращения в тепло. Над уравнением (7.5) аналогичных преобразований в общем случае провести не удается. Однако оказывается возможным [1] проинтегрировать уравнение (3.33) по всему объему системы, изображенной на рдс. 7-1, и получить для изотермического течения следующее макроскопическое уравнение неустановившегося баланса механической энергии [c.201]

Какова связь между уравнениями сохранения количества движения, массы и энергии, с одной стороны, и уравнениями макроскопических балансов, с другой стороны [c.425]

Следует заметить, что записывая уравнения сохранения для смеси в целом, мы пользовались приближенной аддитивностью соответствующих фазовых величин. Однако это не всегда справедливо. На практике встречаются случаи, когда массой, импульсом и энергией межфазных границ пренебречь нельзя. При этом вводят понятие поверхностных фаз и формулируют для них соответствующие уравнения сохранения [132-140]. Кроме того, факт присутствия в гетерогенных средах фаз в виде включений, имеющих вполне макроскопические (по отношению к молекулярным) размеры, приводит к смещению межфазных поверхностей внутри выделенного объема смеси. Поэтому определение тензоров напряжений аг в континуумах требует привлечения условий совместного деформирования и движения фаз. Наиболее часто встречающимся на практике типом такого рода условий является равенство давлений фаз или несжимаемость одной из фаз [132]. [c.228]

Газовзвесь с фракциями падающих и отраженных от твердой поверхности частиц. Если при обтекании твердого тела дисперсные частицы подходят к поверхности тела с ненулевой нормальной скоростью, то в результате соударения они могут отскочить в поток. Особенно это может быть характерно для взвесей твердых частиц. Появление в потоке фракции отраженных частиц, имеющих отличную от падающих частиц среднюю или макроскопическую скорость, требует, как выше отмечалось, введения в модель третьей фазы. В свою очередь фракция отраженных частиц может под действием газового потока снова упасть на обтекаемую твердую границу. Отражение этой фракции, аналогично предыдущему, должно привести к появлению четвертой фазы, или третьей фракции частиц, претерпевших два отражения, и т. д. В результате анализ течения неоправданно усложнится. В этом случае целесообразно ограничиться, например, трехскоростной схемой с двумя фракциями дисперсной фазы (падающие — вторая фаза и отраженные — третья фаза). Для того чтобы выполнялись уравнения сохранения массы, импульса и энергии дисперснои фазы, необходимо ввести в соответствующие [c.93]

В предьщущей главе (см. 4.1) была получена система уравнений, подобная уравнениям гидродинамики, а именно уравнения сохранения массы, импульса и энергии. Однако эти уравнения не являются замкнутыми, поскольку входящие в них тензор напряжения и вектор теплового потока не выражаются через макроскопические переменные. Более того, всякая попытка вывести точные выражения такого рода непосредственно из уравнения Больцмана обречена на неудачу. Если, например, попытаться получить такие выражения, беря более высокие моменты уравнения Больцмана относительно скоростей, то, кроме [c.116]

Структура главы такова. В 13.1 мы напоминаем некоторые результаты гл. 3 и формулируем обобщенное уравнение Больцмана. Затем с помощью вывода макроскопических законов сохранения и определения векторов потоков (т. е. тензора напряжения и вектора теплового потока) мы устанавливаем связь между кинетической теорией плотных газов и гидродинамикой. Чтобы решить обобщенное уравнение Больцмана с точностью до первого порядка по пространственным градиентам, в 13.2 мы развиваем метод, похожий на метод Чепмена—Энскога, и выводим выражения для коэффициентов переноса. Результаты этого параграфа все еще носят общий характер, поскольку при их выводе не используется никакая конкретная форма функциональной зависимости двухчастичной функции распределения от одночастичной. В 13.3 эти результаты развиваются применительно к сне- [c.369]

Обобщенное уравнение Больцмана и макроскопические законы сохранения [c.370]

Если подставить выражения (13.2.60) и (13.2.62) в макроскопические законы сохранения, получим уравнения гидродинамики Навье— Стокса, коэффициенты переноса в которых определяются формулами (13.2.61), (13.2.63) и (13.2.64). [c.392]

Теперь мы переходим к развитию метода Чепмена—Энскога рассмотрение, которое будет дано здесь, тесно связано с работой Маршалла [141]. Нам, разумеется, потребуются макроскопические законы сохранения. Как и в случае смеси газов нейтральных частиц, эти законы выражаются в сохранении числа частиц каждого сорта, полного импульса и полной энергии смеси. При выводе законов сохранения из уравнения (14.2.4) появляется лишь одна новая особенность, связанная с наличием силы Лоренца, и поэтому специального внимания требует лишь один этот член. [c.419]

Рассмотренные выше свойства больцмановского оператора столкновений приводят нас к выводу, что из уравнения Больцмана вытекают макроскопические уравнения сохранения. Все кинетические уравнения должны удовлетворять этому требованию-Однако то свойство оператора /, которое мы хотим сейчас обсудить, не обязательно должно выполняться для всех кинетически уравнений. Это свойство подразумевает существование динамЯ ческой функции, убывающей со временем. Из трех свойств оператора столкновений Больцмана это свойство исключительно ва кЯО [c.224]

Если с помощью соотношения (11.3.18) вычислить тензор напряжения и вектор теплового потока, то получим Р=пкТТ=р1 и =0, т. е. в нулевом приближении макроскопические уравнения сохранения снова сводятся к уравнениям Эйлера. [c.315]

Не рассматривая вид функции распределения, а учитывая только некоторые основные свойства оператора усредаения (2.31), можно от исходных микроскопических уравнений сохранения и соответствующих условий на N поверхностях частиц перейти к макроскопическим уравнениям, описывающим усредненное движение сплошной и диспер сной фаз. [c.69]

Полученные уравнения сохранения принципиально не отличаются от уравнений (2.3) (2.4). Однако усреднение микроскопических" реоло гических соотношений позволяет получить конкретные выражения для среднего тензора эффективных напряжений в дисперсной смеси 2 и средней силы межфазного взаимодействия Д .д. При этом оказывается, что макроскопические реологические соотношения, получаемые [c.69]

Это не что иное, как уравнение сохранения момента количества движения для сплошной среды [32, 33] при отсутствии моментных напряжений, когда влиянием внутренних макроскопических моментов количества движения можно пренебречь (последние по происхождению инер-циальны). В соответствии с реологическим уравнением моментных напряжений, предложенным Кондиффом и Дах- [c.31]

В разделе 3.1 мы показали, что все гвдродинамические переменные можно получить, зная функцию i. Отсюда следует, что из верного кинетического уравнения доляшы получаться уравнения движения для гидродинамических переменных (уравнения гидродинамики). Таким образом, первое испытание , которое должно пройти предлагаемое кинетическое уравнение, состоит в том, что оно должно привести к уравнениям гидродинамики. Их также называют макроскопическими уравнениями, гидродинамическими уравнениями и уравнениями сохранения. Для того чтобы получить их из уравнения Больцмана, необходимо сначала ввести понятие сумматорных инвариантов. [c.216]

Казалось бы, что решить уравнение Больцмана для функции а потом вычислить коэффициенты переноса и получить замкнутую систему гидродинамических уравнений — все равно, что стрелять из пушки по воробьям . Если функция известна, то может показаться, что и все макроскопические переменные известны. И какой тогда смысл решать уравнения сохранения, чтобы определить эти макроскопические переменные, коль скоро одночастичная функция распределения известна Однако, зная мы не можем определить гидродинамические переменные, так как они могут входить в в виде параметров. Прекрасным примером этого является локальный максвеллиан [c.270]

Все модели, рассмотренные до сих пор, основывались на балансах массы, количества движения и энергии. Менее распространенная, но весьма полезная группа моделей базируется на балансе элементов некоторого дискретного ансамбля. Такие модели называют моделями баланса элементов ансамбля. Принцип, лежащий в основе этих моде лей, — сохранение числа элементов в ансамбле. Применение моделей баланса элементов ансамбля включает анализ распределения времен пребывания в аппаратах с неполным перемешиванием по Левен шпилю и Бишоффу [8] и Бишоффу [1], моделирование различны процессов, в которых принимают участие частицы, т, е. таких про цессов, в которых происходит кристаллизация [12], уменьшени размера частиц [11], агломерация частиц [7], ферментация [13] экстракция в системе жидкость —- жидкость [9], полимеризация [4] Рандольф [10] дает обзор литературы по этому вопросу, а такж выводит общие микро- и макроскопические уравнения ( уравнени изменения ) для балансов элементов ансамбля, соответствующи [c.92]

Уравнение (14.3) носит название уравнения нестационарного макроскопического баланса энергии. По существу, оно является выражением первого начала термодинамики для систем с движущимися сплошными средами. Знаки, стоящие в этом уравнении при Qv.W, отвечают обозначениям, общепринятым в термодинамике. Нетрудно убедиться, что уравнение (14.3) может быть получено также интегрированием дифференциального уравнения сохранения энергии (уравнения о в табл. 10-2) по всему объед1у системы. [c.401]

Системы из двух или большего числа фаз называют гетерогенными (от гр. heterogenes — разнородный) или многофазными. Смежные фазы гетерогенной системы отделены межфаз-ными поверхностями раздела, на которых свойства системы (состав, плотность, вязкость и т. д.) меняются скачком. Реально свойства фаз меняются на границе не скачком, а на протяжении слоя конечной толщины, составляющем обычно несколько межмо-лекулярных расстояний [134]. Поэтому иногда говорят об отдельной поверхностной фазе, характеризуемой специфическими свойствами (например, вязкостью), обладающей собственной массой и, следовательно, имеющей собственную динамику [134-141]. Однако в макроскопической гидродинамике гетерогенных систем обычно используют представление о разделяющей поверхности, не имеющей толщины. При этом, как правило, пренебрегают сингулярным распределением избыточных (по Гиббсу) величин, так что уравнения сохранения вырождаются в систему граничных условий на поверхности раздела объемных фаз. Примерами гетерогенных систем являются смесь воды со льдом, смесь практически не растворимых друг в друге жидкостей (например, вода-бензол), влажный пар (смесь кипящей жидкости и сухого насыщенного пара), композиционные материалы. [c.215]

Отношение между рассмотренным в данном параграфе подходом, связанным с осреднением более элементарных уравне-яий, и рассмотренным в 1 феноменологическим подходом аналогично известному отношению между статистической физикой и механикой сплошной среды. В отличие от чисто феноменологического подхода, при осреднении микроуравнений для макроскопических параметров таких, как макрос1 опические тензоры напряжений в фазах, величины, определяющие межфазные взаимодействия, получаются выражения, которые позволяют конкретнее представить их структуру и возможные способы их теоретического и экспериментального определения. С этой целью ниже рассмотрен вывод уравнений сохранения массы, импульса и энергии фаз для гетерогенных сред методом осреднения соответствующих уравнений однофазных сред с учетом граничных условий на межфазных поверхностях. [c.40]

Помимо макроскопических законов сохранения, из уравнения Больцмана можно вывести другое важное соотношегае. Оно имеет форму неравенства и впервые было получено Больцманом [7] в 1872 г. Больцман назвал его Е-теоремой Е — обозначение для энтропии) позже его стали называть Я-теоремой Это неравенство количественно выражает тот факт, что кинетическая теория описьшает процессы, необратимые во времени. Проиллюстрируем это, рассмотрев операцию обращения времени применительно к уравнению Больцмана. [c.79]

Уравнение (2-5) описывает реакцию карбоната кальция, СаСОз (известняка), и хлористоводородной кислоты, НС1, с образованием водного раствора хлорида кальция, a lj, и диоксида углерода, СО2. Это уравнение полное, так как число атомов каждого сорта в его левой и правой частях одинаково. Смысл этого уравнения на макроскопическом (молярном) уровне таков 1 моль, или 100,09 г, карбоната кальция требует для осуществления полной реакции 2 моля, или 72,92 г, хлористоводородной кислоты, в результате чего получается по 1 молю хлорида кальция (110,99 г-моль ), диоксида углерода (44,01 г-моль ) и воды (18,02 г-моль" ). По этим численным данным нетрудно убедиться, что в данной реакции выполняется закон сохранения массы. Интерпретация уравнения (2-5) на микроскопическом (молекулярном) уровне не столь очевидна, поскольку карбонат кальция представляет собой соль, а не молекулярное соединение. Уравнение (2-5) нельзя понимать в том смысле, что 1 молекула карбоната кальция реагирует с 2 молекулами НС1. Хотя НС1 существует в газовой фазе в виде дискретных молекул, в растворе молекулы НС1 диссоциируют на ионы и СР. Более правильное описание того, что происходит в этой реакции на молекулярном уровне, дает уравнение [c.73]