Стационарная точка неустойчивая

В работе [31] был предложен удобный алгоритм для выписывания в явном виде коэффициентов Я в (У.2). Машинная его реализация позволяет достаточно эффективно решать вопросы, связанные с анализом различного рода критических явлений — как множественности стационарных состояний, так и автоколебаний. Для поиска последних полезны следующие соображения если младший коэффициент ап-т характеристического многочлена сохраняет положительный знак в любой стационарной точке инвариантной области, то система (У.З) имеет единственную стационарную точку если один из коэффициентов Р(Х) отрицателен при некоторых значениях параметров, то стационарная точка неустойчива. Если оба условия выполняются одновременно, то система имеет автоколебания. [c.136]

Оказалось, что при разных соотношениях параметров система. может обладать двумя или тремя особыми точками. Одна из них находится в начале координат х, =0, 2 =0 и всегда является седлом. Две другие могут быть седлом либо устойчивым или неустойчивым фокусом и узлом. Если стационарная точка - неустойчивый фокус, то вокруг него могут существовать предельные циклы - устойчивые периодические колебательные решения (рис. 5.4). Одна из построенных моделей описывает динамику численности популяций хищник-жертва с учетом эффектов насыщения хищников и внутривидовой конкуренции жертв и хищников. После замены переменных эта система уравнений имеет вид [c.61]

Для анализа автотермического процесса можно воспользоваться графиком, представленным на рис. 111-60. График аналогичен применявшемуся при исследовании устойчивости реактора. 5-образ-ная кривая а характеризует выделяющееся тепло, прямая Ь — отводящееся. Стационарное состояние в точке / неустойчиво. Малое увеличение температуры вызывает быстрый рост выделяющегося тепла, и только в точке 5 наступает устойчивое равновесие. Прямая Ь характеризует состояние, в котором выделение тепла мало по сравнению с теплоотводом, поэтому автотермическая реакция невозможна. [c.298]

Если v то стационарное состояние неустойчиво при v, меняющем знак, возможно как устойчивое, так и неустойчивое стационарное состояние. Только в немногих случаях знак v постоянен или его можно определить. [c.165]

Прп некоторых значениях параметров в системе (8) и при достаточно малом е в системе (7) возникают автоколебания. Динамическая спстема (8) имеет довольно сложный фазовый портрет, может иметь до пяти стационарных точек, допускает существование устойчивых и неустойчивых периодических решений. Для определения констант предложен следующий метод. Прп некоторых значениях параметров стационарное решение теряет устойчивость, и из него зарождается устойчивое периодическое решение. При дальнейшем изменении парциального давления это решение опять переходит в устойчивую стационарную точку. Таким образом, можно выписать четыре уравнения для определения стационарных точек, два условия на линеаризованную задачу, характеризующие зарождение и исчезновение колебаний, четыре уравнения для скоростей реакции (измеряемых в эксперименте) и их производных, два уравнения для периодов зарождающихся колебаний. Как показывают расчеты, эти уравнения позволяют определить все константы, входящие в уравнения. При [c.88]

В работе [73] вопросы существования нескольких стационарных состояний анализируются на основе теории графов. Механизму многостадийного химического процесса ставится в соответствие так называемый двудольный граф, состоящий из вершин двух типов. 1-й тип вершин соответствует веществам, 2-й тип — элементарным стадиям. В предположении справедливости закона действующих масс получено достаточное условие единственности положительной стационарной точки системы, связанное со структурой графа, соответствующего механизму реакции. Сформулированы условия, выделяющие область параметров, для которой положительное стационарное состояние единственно и неустойчиво. Предлагаемый алгоритм реализован в виде программы для ЭВМ. [c.236]

Пусть при удалении от равновесия а увеличивается. Допустим, что исходно а = соответствует стационарной точке устойчивый узел системы (18.17) (область I на рис. 18.1). При увеличении а мы проходим по некой ветви стационарных состояний л == л (а). Эта ветвь состояний будет устойчивой, т.е. включать устойчивые стационарные точки до тех пор (участок / кривой), пока а не достигнет бифуркационного (бифуркация — раздвоение) значения а. При а = а система теряет устойчивость (например, за счет того, что функционал Ляпунова перестает быть положительно определенным) на рис. 18.1 это означает переход системы из области I Б одну из неустойчивых областей Н или V. При дальнейшем увеличении а движение пойдет вдоль неустойчивой ветви (участок 2 кривой х(а) , где также возможны переходы между областями неустойчивости. Основной критический момент в изменении свойства системы достигается, таким образом, при бифуркационном значении а = а, когда система теряет устойчивость. Существенно, [c.370]

В 30] доказано следующее утверждение если на границе инвариантной области, задаваемой (У.4) и условиями неотрицательности 0, в фазовом пространстве x = (x ,. .Хп) нет стационарных точек системы (У.З) (или есть нечетное число устойчивых стационарных точек или любое конечное число неустойчивых точек покоя), то для единственности внутренней стационарной точки (а > 0) достаточно, чтобы для любой совокупности С г (г веществ и г реакций), где г —ранг матрицы ( 1)1 имело место неравенство [c.135]

На границе тетраэдра (У.9) есть только одна стационарная точка (1, О, 0), которая неустойчива. Все траектории системы (У.8) входят внутрь этого тетраэдра. Коэффициенты аг и а характеристического полинома Р к) в стационарной точке 23, 24) имеют вид [c.136]

Если точка неустойчивости еще не достигнута, то стационарное состояние устойчиво и частоты нормальных мод комплексны (этот случай схематически изображен на рис. 9.2). По общепринятой терминологии, мы имеем дело с устойчивым фокусом . Выше предельной точки стационарное состояние неустойчиво и возникает стационарный периодический процесс, называемый предельным циклом. В этом случае система из любого состояния приближается со временем к такому периодическому решению, характеристики которого — период и амплитуда — определяются однозначно самим нелинейным дифференциальным уравнением ). [c.220]

Если условие (15.4) не выполняется, то стационарное состояние неустойчиво и возможно усиление флуктуаций, приводящее к возникновению динамического порядка. Порядок через флуктуации возможен, очевидно, лишь в такой открытой системе, поведение которой существенно нелинейно. [c.485]

Если не пренебречь скоростью реакции при начальной температуре, то начальное состояние нельзя считать стационарным. Допустив же, что скорость реакции обращается в нуль точно при начальной температуре, мы пришли бы к выводу, что начальное состояние должно быть стационарным, но неустойчивым, так как равновесие нарушится от сколь угодно малого начального импульса. Поэтому для построения теории горения необходимо пренебречь скоростью реакции не только при начальной температуре, но и в конечном интервале температур выше нее. К этому вопросу мы еще вернемся подробнее в главе VIH. [c.290]

Современные представления о взвешенном слое строятся на предположении о том, что слой можно рассматривать как сложную диссипативную структуру, которая возникает в результате диссипации части энергии, подводимой к системе сплошной фазой. Гидромеханическая неустойчивость системы, как правило, связана с неравномерным подводом энергии, что и приводит к возникновению различного рода флуктуаций. Причинами флуктуаций могут быть неравномерность скорости жидкости на входе в слой, пристеночные эффекты, каналообразование — все эти факторы претерпевают непрерывное изменение во времени. По существу, мы имеем дело со статистическими диссипативными структурами. Однако рассматриваемые системы являются статистически стационарными, то есть случайные процессы изменения во времени основных гидродинамических параметров относятся к классу стационарных в широком смысле случайных процессов [36]. [c.195]

Эта система имеет положительную стационарную точку (1,1,1), которая неустойчива. [c.156]

Поскольку первый сомножитель в (5.1.16) положителен при >а. устойчивость определяется знаком производной д ( о). Если q и ) 0, то д/1ди)щ О и возмущение 8и нарастает со временем, если же д ( о) < О то 8и уменьшается и условие устойчивости выполнено. Графиком функции д (и) является изоклина й = О (см. рис. 5.2 а — в). Таким образом, при медленном движении точка указывающая состояние системы, может перемещаться на фазовой плоскости лишь по тем участкам изоклины й О, которые имеют отрицательный наклон д (и) < 0. На участке АВ (см. рис. 5.2, пунктирная линия) медленное движение невозможно. Из приведенных выше рас-суждений также следует, что если стационарная точка оказывается лежащей на этом участке, то она неустойчива. [c.147]

Рассмотрим, наконец, волновые режимы в средах, способных к однородным осцилляциям, для которых единственная стационарная точка бездиффузионной модели принадлежит неустойчивому участку нуль-изоклины (см. рис. 5,2, б). [c.173]

Далее можно показать, что на границе области устойчивости режим нейтрально устойчив, причем на той части границы которая образована- первым листом поверхности (3.19), возмущения стационарного режима носят характер нейтральных колебаний с ненулевой частотой. Необходимо отметить, что це все точки (мь 2, соз) имеют физический смысл, т. е. соответствуют некоторым значениям 2, Яз. Рассмотрим поэтому условия устойчивости в параметрах Я. Воспользовавшись формулами (3.17-), можно показать, что стационарный режим неустойчивый в области [c.155]

Рассмотрим вначале кривую Р3. Когда она пересекает кривую Ь, тепловыделение и потери тепла равны. Такие точки пересечения называются стационарными. Наблюдаются две стационарные точки (Тзд и Т ,2)- Если система имеет температуру Т < Тз,х, то преобладает выделение тепла и температура системы возрастает до тех пор, пока выделение тепла не будет скомпенсировано потерями тепла, т.е. пока не будет достигнута температура Тз,1- Для температур Тз,1 <Т < Тз,2 преобладают потери тепла система остывает до тех пор, пока не достигнет стационарного состояния Т = Г5Д. Точка Т = Гяд называется устойчивой стационарной точкой, а точка Г = = Тз — неустойчивой стационарной точкой. [c.166]

Различным значениям скорости притока субстрата Т соответствует семейство прямых, параллельных оси абсцисс. График функции Т(с) может иметь две или одну точку пересечения с прямой а или не иметь ни одной. Это соответствует наличию двух или одного стационарных состоянии в системе или отсутствию таковых. При наличии двух стационарных состояний в системе особая точка 01 является устойчивой, а а2 — неустойчивой. В этом нетрудно убедиться путем следующих рассуждений. Пусть в результате некоторого отклонения Да < О от стационарной точки 01 величина а стала меньше стационарного значения. В области а < 01 скорость притока субстрата больше скорости его оттока (а > г ) и, следовательно, переменная а будет расти, приближаясь к 01. Если же отклонение от стационарной точки Да > О, скорость расхода субстрата больше его притока и а будет уменьшаться, вновь приближаясь к стационарному значению 01. Таким образом, при любом отклонении от стационарного состояния 01 система будет в него возвращаться и, следовательно, состояние устойчиво. Аналогичные рассуждения в отношении стационарной точки 02 приводят к выводу, что она имеет неустойчивый характер. Этот вывод легко сделать, определив знак производной по <7 правой части функции /(а, а) выражения (П1.1.10), который отрицателен для о < Скр и положителен для с > Окр (см. исследование на устойчивость стационарного состояния для одного уравнения — 2, гл. I) [c.67]

Предположим, что исходному состоянию системы соответствует стационарная точка А, лежащая на верхней ветви кривой ст(ос). Будем понижать скорость притока субстрата а, при этом система начнет перемещаться влево вдоль верхней устойчивой ветви стационарных состояний. При достижении бифуркационного значения параметра ai система покинет неустойчивую точку В и, совершив скачкообразный переход В D, попадет на нижнюю ветвь устойчивых стационарных состояний. Увеличивая снова значения управляющего параметра от ai до аг, можно перевести систему вдоль устойчивой ветви D до бифуркационной точки С, после достижения которой система самопроизвольно вернется в исходное состояние А. При обратимом изменении управляющего параметра а (уменьшении, а затем увеличении до прежних значений) осуществится замкнутый цикл состояний рассматриваемой системы. [c.68]

При определенных значениях параметров уравнение (П1.2.7) имеет три корня, что соответствует трем различным стационарным состояниям рассматриваемой системы. В зависимости от расположения стационарной точки на кривой 1 (S) она может носить устойчивый или неустойчивый характер. [c.71]

Анализ термодинамических критериев эволюции и стабильности подтверждает напратвлепный характер и устойчивость конечного состояния про-цесса селекции в модели Эйгена. Анализ термодинамических свойств автока-талитических уравнений, описывающих динамику превращений в гиперциклах Эйгена, провести труднее в силу нелинейного характера кинетики. Оказывается, что для двух- и трехчленных циклов стационарное состояние асимптотически устойчиво, в то время как стационарная точка четырехчленного цикла представляет собой центр , т. е. находится на грани устойчивости. Пятичленный цикл дает неустойчивое стационарное состояние с возможностью выхода из него на траекторию предельного цикла [85]. [c.312]

Пусть при удалении от равновесия а увеличивается. Допустим, что в начальный момент времени а = ао, что соответствует стационарной точке устойчивый узел (область I на рис. VI.1) системы (VI.2.1). При увеличении а получается некая ветвь стационарных состояний х = (а), которая будет устойчивой, т. е. включать устойчивые стационарные точки до тех пор (участок 1 кривой), пока а не достигнет в конечном итоге бифуркационного значения а. При значении а = а система теряет устойчивость, а на диаграмме (см. рис. VI.1) это означает переход из области I в одну из неустойчивых областей III или V. При дальнейшем увеличении а движение пойдет вдоль неустойчивой ветви (участок 2 кривой ж (а), где также возможны переходы между областями неустойчивости. Основной критический пункт достигается, таким образом, при бифуркационном значении а = а, когда система теряет устойчивость. С точки зрения развитых выше термодинамических представлений, стационарные состояния, расположенные на участке 1 кривой при малых а = ао, устойчивы в силу теоремы о минимуме скорости продуцирования энтропии [c.153]

Согласно эволюционному термодинамическому критерию (VI. 1.16), потенциальная функция D[x) принимает минимальное значение, при этом ее вторая производная положительна в устойчивом стационарном состоянии. В этом же случае, согласно (VI.2.16), знак первой производной правой части (VI.2.6) в стационарной точке отрицателен, но, согласно математическому критерию, это и означает устойчивый характер стационарного состояния. Наоборот, в неустойчивых стационарных состояниях потенциал D принимает максимальное значение, его вторая производная отрицательна, а знак первой производной / (ж,а) в точке ж(а) положителен. [c.155]

Качественный анализ модели. Основной подход в современной кинетике и математическом моделировании биологических процессов заключается в отказе от нахождения точных аналитических решений дифференциальных уравнений. Идея состоит в получении качественных характеристик динамического поведения системы устойчивые и неустойчивые стационарные состояния, переходы между ними, колебательные режимы, качественная зависимость поведения системы от критических значений параметров. Многие из этих вопросов решаются методами качественной теории дифференциальных уравнений, которые позволяют выявить важные общие свойства модели, не прибегая к нахождению в явном виде неизвестных функций. Наиболее важным свойством стационарного состояния является его устойчивость. Эта устойчивость определяется способностью системы самопроизвольно возвращаться в стационарное состояние после внесения внешних возмущений, отклоняющих систему от исходной стационарной точки. [c.12]

Пространственно-временные диссипативные структуры типа бегущей волны возникают в связи с образованием предельного цикла, когда концентрации компонентов системы не только колеблются во времени, но и одновременно изменяют свои координаты в пространстве. Такая система допускает волнообразное движение, при котором локальные колебания не организуются для образования стоячей волны, а принимают участие в общем продвижении волновых фронтов. Диссипативная структура в этом случае реализуется по типу бегущей волны во времени и пространстве. Система может обладать несколькими стационарными состояниями, которые соответствуют одному и тому же значению параметра. Типичный пример такой ситуации показан на рис. 7.1, на котором кривая зависимости / (X, а) =0 стационарных значений концентраций X (а) от параметра а имеет три стационарных точки при одном фиксированном значении параметра ц. Если, например, а = о, то а, с — устойчивы, а Ь — неустойчивое состояние. Тогда части кривой АВ и ОС представляют собой ветви устойчивых, а ВС — ветвь неустойчивых стационарных состояний. При достижении бифуркационных значений параметра (а, а") происходят скачкообразнью переходы С А и ВО в экстремальных точках В 11 С кривой f (X, а) = О так что неустойчивые состояния на участке ВС практически никогда не реализуются в действительности. Таким образом, реализуется замкнутый гис-терезисный цикл АВОСА, в котором в результате изменения параметра система проходит ряд стационарных состояний, отличающихся друг от друга при одних и тех же значениях а в зависимости от направления движения. Системы, обладающие способностью функционировать в одном из двух устойчивых стационарных состояний, принято называть триггерными. Последние работают по принципу все или ничего , переключаясь из одного устойчивого режима в другой в результате изменения управляющего параметра а. [c.282]

Таким образом, исследование функции V дает однозначный ответ только в том случае, когда выражение для V знакоопределенно если V отрицательно-определенна, то стационарное состояние устойчиво, если же и положительно-определенна, то стационарное состояние неустойчиво. Наконец, если и знакопеременна, то стационарное состояние может быть или устойчивым, или неустойчивым. Иными словами, рассмотренное здесь условие устойчивости является достаточным, но не необходимым. Причина этого понятна выбор в качестве критерия для сравнения системы окружностей накладывает слишком жесткие ограничения на форму подходящих траекторий. Из рис. IV-16 ясно, что система эллипсов в этом смысле не накладывает излишних ограничений. Более строгому изучению данных утверждений посвящены два следующих раздела. [c.75]

В области гетерогенных равновесий диаграммы систем жидкость-пар и жидкость - твердое тело характеризуются наличием особых точек различной компонентности, что налагает определенные ограничения на процессы ректификации и кристаллизации. Синтез сложных технологических схем, как однородных, так и неоднородных, позволяет выявить оптимальные схемы. Все перечисленные объекты исследования нелинейны, зачастую имеют прямые и обратные связи, и их моделирование впрямую исключает возможность обобщения полученных результатов. Привлечение различных топологических приемов и методов, основанных на топологических инвариантах, позволяет создать общую качественную теорию в области колебательных химических реакций, где в параметрическом пространстве наряду со стационарными точками наблюдают, устойчивые, неустойчивые, а также устойчиво-неустойчивые предельные циклы. В области гетерогенных равновесий появляется возможность создать общую теорию распределения стационарных точек и сепаратрических многообразий, ограничивающих развитие процессов ректификации и кристаллизации и разработать алгоритмы синтеза оптимальных схем разделения. [c.57]

РР5>. Если разл. эквивалентные минимумы на поверхности потенциальной энергии оказываются разделенными потенц. барьерами (напр., равновесные конфигурации для право- и левовращающих изомеров сложных молекул), то адекватное описание реальных мол. систем достигается с помощью локализованных волновых пакетов. В этом случае пара дело-кализованных в двух минимумах стационарных состояний неустойчива под действием очень малых возмущений возможно образование двух состояний, локализованных в том или ином минимуме. [c.18]

Исследование уравнений (17.37) показывает, что характер стационарных точек на фазовых портретах существенно зависит от запаздывания. Для эффективного подавления быстро размножающегося АГ время должно быть ле слишком малым и не слишком большим. Можно было бы ожидать, что увеличение fm должпо всегда приводить к увеличению времени, требуемого Д.ИЯ элиминации АГ, В действительности, однако, нарастание неустойчивости с ростом запаздывания может привести к сокращению времени реакции благодаря уменьшению числа обходов стационарной точки. [c.581]

Изоклиной г == 0 служит прямая V = Ъи, наклон которой можно менять, варьируя параметр Ь. Пересечение двух изоклин дает стационарные точки уравнений (5.1.11). Кроме тривиальной точки и V = О, являющейся всегда неустойчивой, существует еще одна < тационарная точка, для которой и а. [c.146]

ВЫВОД, что При описании в приближении белого шума случая цветного шума с большой спектральной шириной у два перехода в модели Ферхюльста, первый — когда стационарная точка 0 = 0 становится неустойчивой, и второй — когда наиболее вероятное значение сдвигается в сторону от нуля, почти совпадают. Это происходит благодаря тому, что изменение коэффициента дрейфа, обусловленное членом [c.311]

Если на всем интервале О с 1 будем иметь ср (с) 0, то функция /2(1, Со) будет монотонно изменяться при изменении концентрации Со и уравнение (III. 52) будет иметь единственное решение. Если же на рассматриваемом интервале производная ф (с) изменяет знак, то функция /2(1, Со) является немонотонной и об-Со ладает двумя стационарными точками (кривая 2 на рис. III. 2). В этом случае уравнение (111.52) для некоторых значений модуля Ч обладает тремя решениями, соответствующими трем стационарным режимам процесса, из которых один будет неустойчивым. Переход от одного стационарного режима к другому будет происходить скачкообразно в стационарных точках функции /2(1, Со). Переход из стационарного режима, соответствующего одной из точек стационарпостн кривой 2, к другому стационарному режиму будет происходить скачкообразно и сопровождаться явлением гистерезиса. [c.70]

Ясно, что в простейшем случае при i оо во всех точках системы (IV. 2.13) могут установиться одинаковые концентрации х г) = onst, у г) = onst, соответствующие однородному в пространстве устойчивому стационарному состоянию (затухающие возмущения в IV.2.11). Однако, если однородное стационарное состояние неустойчиво, то при t оо могут реализоваться другие режимы. Как и в случае одного уравнения, исследование устойчивости проводится на основе анализа линеаризованной системы и поведения малых отклонений и ф,г) [c.94]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология