Модели с одним дифференциальным уравнением

Известно [153], что при значениях параметров, равных бифуркационным, идеальный процесс, описываемый динамической системой, теряет свойство грубости , т. е. устойчивости к малым изменениям вида дифференциального уравнения или, иначе говоря, к.малым изменениям самой математической модели. Это означает, что при малых изменениях коэффициентов дифференциального уравнения (расходов фаз) изменяются основные свойства этого процесса. В нашем конкретном случае исчезает свойство иметь установившееся состояние движения частиц при заданных расходах фаз. Для того чтобы перейти в новое установившееся состояние, необходимо изменить один из расходов, а это в свою очередь приводит к нарушению принятого условия стационарности идеального процесса, описываемого динамической системой. [c.96]

Основное отличие упрощенной модели цепной реакции от примеров цепных процессов, данных выше, состоит в том, что реакция идет через один активный центр, и цикл состоит из одной стадии. Согласно схеме, дифференциальные уравнения, описывающие изменение концентрации А и накопления С, запишутся следующим образом [c.777]

Построение математической модели. Пусть, например, в реакции участвует один реагент, концентрация которого изменяется во времени. Требуется построить дифференциальное уравнение процесса, если известно, что скорость изменения концентрации реагента пропорциональна его концентрации в некоторой степени п. [c.59]

Возможны три сочетания корней характеристического уравнения третьей степени все корни действительные (вещественные) и разные два или три действительных корня равны между собой один корень действительный и два — комплексных сопряженных. С этими разновидностями корней связаны типы элементарных функций, входящих в решение дифференциального уравнения и характеризующих динамические свойства линейной модели следящего привода. При действительных корнях имеем показательные функции, отражающие апериодический характер переходного процесса. Комплексным корням соответствуют показательные и тригонометрические функции, свидетельствующие о колебательном переходном процессе. [c.216]

Передаточная функция (5.77) вместе со структурной схемой, приведенной на рис. 5.15, показывают, что замкнутая система описывается дифференциальным уравнением четвертого порядка, поэтому при составлении модели для расчета переходного процесса на АВМ указанным выше методом должны быть использованы четыре интегрирующих операционных усилителя. В модели можно выделить три блока, обведенных на рис. 5.16 штриховыми контурами. Один блок соответствует апериодическому звену первого порядка, он составляется как для системы первого порядка второй — интегрирующему звену, он представлен в модели интегрирующим операционным усилителем третий (колебательное звено) набирается как система второго порядка. Для согласования знаков переменных в модель включен инвертор. Все блоки охвачены отрицательной обратной связью, которая в структурной схеме имеет коэффициент передачи Ко. с- [c.153]

При моделировании процесса ионного обмена, по какому бы из указанных выше направлений не велось исследование, один из самых его ответственных этапов — это качественный и количественный учет неравновесности ионного обмена, обусловленный элементарными диффузионными процессами как в пограничном слое, окружающем зерно ионита, так и внутри самого зерна, а также собственно химическим актом между обменивающимися ионами и матрицей ионита (см. гл. И). Учет этот может быть осуществлен различными путями либо кинетическим анализом процесса и его механизма — путем использования экспериментальных данных и зависимостей для установления численных значений отдельных параметров модели и связи между ними, либо непосредственной оценкой перечисленных выше факторов неравновесности при составлении системы дифференциальных уравнений описывающих процесс. Широкое использование ЭВМ позволяет объединить эти пути, не упрощая при этом излишне модели, например, при описании переноса вещества через пограничный диффузионный слой. Так, модель массопереноса при ионном обмене включает в общем случае описание диффузии внутри ионита, переноса вещества на границе раздела взаимодействующих фаз, конвективной диффузии в сплошной фазе с учетом гидродинамической обстановки в слое ионита и т. д. [c.94]

Из-за недостатка места мы не даем здесь детального описания алгоритмов нахождения оценок при использовании обыкновенных дифференциальных уравнений и можем только обобщить некоторые полезные для практики результаты. Последовательное оценивание переменных состояния обычно называют нелинейной фильтрацией (для моделей, нелинейных по переменным состояния), независимо от того, являются ли измерения откликов системы непрерывными или дискретными. Один способ оценивания основан на точных или приближенных уравнениях, которые выводятся с использованием плотности вероятности результатов измерений и теоремы Байеса. [c.170]

Обсуждалась теоретическая основа уравнения (16.26). Можно показать, что, если приближение нулевого дифференциального перекрывания допустимо и если выполняется теорема Купманса (или при постоянном расхождении), для химических сдвигов энергий связей электронов оболочки [1, 49] получается уравнение, аналогичное уравнению (16.26). Уравнение (16.26) было также модифицировано различными способами. В одном случае для объяснения различных плотностей валентных электронов фактически был разложен член /сйд. Таким образом, для атома второго периода должен быть один член для 25-электронной плотности, к (2з) 6д (25), и один для 2р-электронной плотности, к (2р) 5д (2р). Нет необходимости говорить, что модель с большим числом параметров дает лучшее совпадение. [c.349]

Последние годы характеризуются интенсивным развитием напр авлений, связанных с применением современных математических методов в различных областях науки о химической технологии. Этот процесс математизации науки имеет два аспекта. Один из них заключается в том, что построение и исследование математических моделей химической технологии открывает математикам обширное поле деятельности, позволяющее им демонстрировать эффективность весьма тонких и изящных методов современного анализа. С другой стороны, стремление добиться наибольшей общности математического описания тех или иных процессов приводит к необходимости численного решения на ЭВМ систем нелинейных дифференциальных уравнений, разнородных по своей структуре, что порой затрудняет применение математических методов в иженерной практике при проектировании химических производстз. Пе является исключением в этом плане и раздел химической технологии, посвященный изучению кристаллизации в дисперсных системах. Добиться более широкого применения математических методов в инженерной практике возможно за счет разработки моделей, основанных на самых общих предпосылках, не требующих применения сложных вычислительных методов, допускающих простую физическую интерпретацию, и создания на их основе автоматизированных систем проектирования. Настоящая книга, как надеются авторы, в какой-то мере восполнит этот пробел. [c.6]

Наряду с этим достоинством имеется и один недостаток большие аналоговые вычислительные машины сравнительно трудно программировать подобное программирование сплошь и рядом приходится поручать группе специалистов в этой области, у которых обычно и без того много неотложной работы. Аналоговая вычислительная машина легче справляется с дифференциальными уравнениями, чем с алгебраическими система сложных алгебраических уравнений вскоре оказывается слишком большой даже для самой мощной аналоговой машины. При всем том не подлежит сомнению, что возможность работать на достаточно мощной аналоговой вычислительной машине больше всего поощряет инженеров и химиков использовать в своей работе методы моделирования. Весьма популярное описание основ подобной работы содержится в книге Райта и Нороны [114]. Ныне разработаны программы, позволяющие использовать цифровую вычислительную машину, так сказать, аналоговым способом. Однако эти программы занимают очень много машинного времени там же, где можно не считаться с затратами машинного времени, эти программы обеспечивают весьма эффективный аналоговый метод решения моделей, в особенности моделей отдельных аппаратов. [c.237]

Уравнение (8.7) необходимо использовать дважды один раз — для молекул А и другой раз — для молекул В. Аналитическое решение указанного уравнения пока не найдено, исключая особые случаи, которые, по счастливой случайности, представляют большой практический интерес. В общем с пользой могут быть применены цифровые вычислительные машины, дающие численные решения [12, 72]. Поскольку дифференциальные уравнения нелинейны, решение для модели Данквертса непосредственно не получено и по существу к нему обычно и не стремятся. Приближенные аналитические решения были найдены Ван-Кревеленом и Хофтицером [98] при использовании пленочной модели. [c.355]

Для численного анализа математической модели (2.231) С.Н. Пряловым и В.Е. Селезневым было построено несколько параметрических классов разностных схем (см., например, [1, 2, 6]). В качестве примера рассмотрим один из характерных вариантов данных классов, построенный интегральным методом на девятиточечном шаблоне (см. рис. 2.14) для численного анализа системы одномерных дифференциальных уравнений (2.54), описывающей неустановившееся неизотермическое течение вязкой газовой смеси по трубе круглого переменного поперечного сечения. Используемые обозначения соответствуют (2.248). [c.140]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология