Определение величины случайной ошибки

Интегрирование функции Гаусса дает гауссов интеграл ошибок. Площадь, получаемая при интегрировании в пределах — со < х < + со, равна единице (рис. 2.1). Если интегрируют в пределах от —иа до + ыа, то находят только часть этой площади. Тогда внутри этих пределов находятся 100-Р % от бесконечного числа результатов измерения. Для единичного результата величина Р одновременно представляет собой вероятность, с которой вследствие случайной ошибки р отклоняется от истинного значения. Для средней величины х из Пр, параллельных определений разброс результатов составит [c.22]

Это свойство метода наименьших квадратов объясняется тем, что при его использовании для определения а случайные ошибки измерения отфильтровываются. Действительно, входящие в систему ( -20) коэффициенты Ъц, есть средние арифметические некоторых выражений из наблюденных случайных величин х], uf, а поэтому дисперсия этих оценок значительно меньше дисперсий х], щ. Даже при существенных разбросах Х/, и относительно своих истинных значений оценки Ы , я] , оказываются достаточно близкими к точным величинам Ъц, и если матрица В хорошо обусловлена, то и близки к истинным коэффициентам а,, математической модели. Здесь и далее под близостью двух векторов понимается малость нормы их разности. [c.281]

Случайные ошибки — ошибки измерения, остающиеся после устранения всех выявленных грубых и систематических ошибок. При таком определении к случайным факторам, порождающим случайную ошибку, не относят факторы с постоянным действием (систематические ошибки) и факторы с однократным, но очень сильным действием (грубые ошибки). Случайные ошибки вызываются большим количеством таких факторов, эффекты действия которых столь незначительны, что их нельзя выделить в отдельности (при данном уровне техники измерения). При этом распределение случайных ошибок симметрично относительно нуля ошибки, противоположные по знаку, но равные по абсолютной величине, встречаются одинаково часто. Из симметрии распределения ошибок следует, что истинный результат наблюдения есть математическое ожидание соответствующей случайной величины. Так как из (П.28) Х = а + Х п при отсутствии грубых и систематических ошибок [c.30]

УП .Г. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ СЛУЧАЙНОЙ ОШИБКИ УП1.Г.1. Среднее отклонение [c.514]

Ошибки. I. На какой стадии изложения экспериментально определенных данных следует указывать степень их точности Случайные ошибки должны быть определены с использованием соответствующей стандартной методики. Однако -)Т0 всего лишь составная часть анализа возможных ошибок, и она не может служить основанием для вывода о надежности эксперимента. Труднее выяснить другие потенциальные источники ошибок. Но именно эта оценка надежности результатов более важна, так как расхождение между данными, полученными азными исследователями, часто больше величины случайной ошибки. [c.339]

Все остальные методы локальны и уточняют положение какого-то минимума, который иногда может не быть глобальным. Их успешно применяют лишь в случае, когда известно достаточно хорошее приближение к структуре исследуемой молекулы. Это методы поочередного уточнения параметров, наибыстрейшего спуска и др. Наиболее распространен среди них метод минимизации функционала (6.15) по схемам Ньютона—Гаусса и Ньютона—Рафсона. При этом после разложения в ряд Тейлора выражения (6.15) для 8М(з) и пренебрежения всеми членами, начиная с квадратичного, возникает система линейных уравнений относительно искомых параметров. Эту систему решают известными методами, что позволяет, применяя итерационную процедуру, уточнять значения структурных параметров. Достоинством данного метода наряду с уточнением геометрических параметров является возможность оценить величину случайной ошибки при их определении. [c.150]

Случайную ошибку Су можно уменьшить надлежащей методикой измерений. Если вместо единичного измерения располагают средней величиной у из д параллельных определений, то случайная ошибка уменьшается в соответствии с приведенной формулой [c.17]

У всех студентов случайный разброс определений один и тот же 0,05 мг-экв/л (Са +, М +), но у второго студента результаты определений совпадают с действительной (проверенной) жесткостью воды, равной 2,60 мг-экв/л (Са +, Mg +). У первого же студента результаты занижены, а у третьего завышены. Очевидно, сказалась калибровка используемой измерительной посуды, или концентрация раствора комплексона — 3, или же личные особенности работающих студентов (зрение, точность отсчета по бюретке), т. е. выявились систематические ошибки, которые значительно повысили величину случайной ошибки. Поэтому систематические ошибки должны быть устранены. [c.299]

Величина случайной ошибки определяется приемами математической статистики. Основной задачей здесь является нахождение наиболее вероятного значения результата и рациональная оценка распределения ошибок, их величины и частоты появления. Это делается заранее, при разработке методики. Оказывается, что если по сравнению с измеряемой величиной ошибки достаточно малы, то при многократных определениях (более 20, причем, казалось бы, в одинаковых условиях) они распределяются симметрично относительно среднего значения и по [c.157]

Описанные ранее границы разброса, особенно средняя квадратичная ошибка (ср. разд. 2.2.4), позволяют найти определенную характеристику случайной ошибки метода анализа. Поэтому необходимо исследовать, как можно высчитать эти величины в специальных условиях аналитической химии (малое число параллельных определений проб различного содержания). Далее, интересно обсудить вопрос об устойчивости полученных данных, о возможности их обобщения и рассмотреть условия, при которых должны производиться измерения. [c.93]

Распределение результатов определений со случайными ошибками разной величины в соответствии с законом нормального распределения [c.18]

Из формулы (8) следует,-что для данной генеральной совокупности величина а, характеризующая меру изменчивости, является величиной постоянной и по своей природе совершенно не совпадает с понятием случайной ошибки отдельного определения или результата, среднего из нескольких измерений (аналогичное заключение справедливо и для величины 5 — выборочной средней квадратичной ошибки). Между величиной сг (или 5) и случайными ошибками существует лишь зависимость чем больше а (или 5), тем чаще попадаются большие ио абсолютной величине случайные ошибки (см. рис. 3). Если частоту появления случайных ошибок выразить в долях а (или х), то между ней и значением а (или з) существует связь, представленная в табл. 1 и на рис. 1. С учетом этого надо признать термин средняя квадратичная ошибка не совсем удачным, так как он невольно ассоциируется с понятием о величине ошибки, а не о распределении ошибок. Более правильно было бы применять отличный термин, например средняя квадратичная характеристика (см. также примечание на стр. 9). [c.22]

Если МОЖНО предполагать, что ошибки, сделанные при измерении четырех величин Ар Аг, 2> независимы одна от другой и совершенно случайны, то ДА А — ожидаемая обш ая ошибка в определении величины Ад будет равна [c.83]

Загружаемые угли сушили в промышленных условиях с доведением остаточной влажности до 1—3%. Для получения индекса производительности на сухую массу /о экспериментальные величины корректировали, принимая относительное изменение индекса производительности равным 2,5% на каждый процент влажности. Выше говорилось, что этот коэффициент вариации, по-видимому, зависит от природы угля, поэтому получается систематическая ошибка в определении /ц, но она не превышает 1%. Напомним, что случайная ошибка средней загрузки (из шести) обычно составляет 2%, тогда общая ошибка — порядка 3%. [c.439]

Оценим случайную ошибку определений величины в". Ее источниками являются следующие факторы [c.115]

Генеральная совокупность и выборка в известном смысле соотносятся между собой так же, как исследуемый объект и анализируемая проба. Так же как проба должна представительно отражать состав материала, выборка должна представительно отражать генеральную совокупность результатов измерений. Это достигается оптимальной величиной выборки (числом опытов п). Значения стандартного отклонения 5 и среднего арифметического, например, у, рассчитанные для ограниченного числа определений, называют оценочными величинами для (7 и л генеральной совокупности. Проще можно рассчитать более грубые оценочные величины для стандартного отклонения — это так называемый диапазон значений Я = ут х — —г/тш, представляющий собой разность между наибольшим и наименьшим результатом выборки, а для среднего арифметического — так называемое серединное значение или медиану у. Если результаты измерений расположить в порядке возрастания, то при нечетном числе измерений медиану определяют как центральный результат, при четном числе измерений — как среднее арифметическое двух средних результатов выборки. При небольшом числе измерений на медиану не оказывают влияния отдельные случайные ошибки результатов больше или меньше среднего, так как она определяется только средним (или двумя средними) результатами. Но по этой же причине при большом числе измерений (п>10) медиана непригодна, нужно рассчитывать среднее арифметическое. [c.438]

В количественном анализе интенсивность сигнала у оценивают при заданном 2 (рис. 1.1). Это измерение сопровождается случайной ошибкой Оу. Цель рассмотрения методики измерений заключается в определении наиболее благоприятных соотношений между измеряемой величиной и ошибкой измерения, а также в установлении используемого интервала измерений уи — Уо интенсивности сигнала у. Предварительно следует оценить влияние необходимой эмпирической калибровки на получаемый результат. [c.16]

Оценка средней квадратичной ошибки. Для характеристики случайной ошибки метода анализа используют величину средней квадратичной ошибки в. Обычный прием аналитической химии заключается в исследовании серии проб с различным содержанием определяемого вещества при некотором ограниченном числе параллельных определений. При наличии т проб и некоторого числа Лд параллельных определений для средней квадратичной ошибки получаем следующую формулу [c.23]

Каждую найденную среднюю квадратичную ошибку следует рассматривать как статистически случайную величину, т. е. при повторении опыта для 3 будет получено несколько отличающееся численное значение. Поэтому для достаточно уверенного вывода в основу определения средней квадратичной ошибки должно быть положено 25—30 степеней свободы. Если, исходя из достаточно обоснованных соображений, этого достигнуть нельзя, то в каждом случае следует учитывать число соответствующих степеней свободы. Параллельные определения в отдельных пробах следует выполнять независимо одно от другого, т. е. они не должны быть непосредственно связанными. Лучше всего их выполнять в разное время. [c.24]

Систематическая ошибка оказывает постоянное и направленное воздействие на результаты всех определений. По отношению к истинному содержанию они оказываются смещенными в одну сторону более, чем это было бы обусловлено случайной ошибкой. Если все результаты анализа искажены на одну и ту же величину (например, неизвестный результат холостого опыта), то говорят о постоянной ошибке. Отклонения, изменяющиеся пропорционально величине результата измерения, называют линейно изменяющейся ошибкой (например, неправильная установка характеристик титранта в титриметрии). Постоянная и изменяющаяся ошибки могут проявляться одновременно. В идеальном случае отсутствия ошибок постоянная ошибка Со = О, а линейно изменяющаяся ошибка Ьо — 1,000. [c.35]

Интегрирование. Для уменьшения временных случайных ошибок результата измерения, обусловленных самим прибором, наиболее эффективно интегрирование измеряемой величины по определенному небольшому промежутку времени. При интегрировании постоянного во времени среднего значения измеряемой величины по времени Т относительная случайная ошибка измерения уменьшается почти пропорционально 1/j/Т. То Hie имеет силу при интегрировании измеряемых величин, среднее значение которых изменяется во времени (например, при регистрировании спектров [А.2.4]). Для интегрирования измеряемой величины можно применять механический интегратор, соединенный с самописцем (фрикционный или дисковый интеграторы), или автономные электронные интеграторы. В простейшем случае пригодна / С-цепь с большой постоянной времени т = R при / [c.449]

На приборах можно производить прямые и косвенные измерения. При прямом измерении экспериментатор сразу получает числовое значение измеряемой величины. Например, при отсчете по шкале бюретки находят объем раствора в миллилитрах по отсчету на шкале барабана фотоколориметра находят оптическую плотность. Измеренная величина может включать случайную ошибку. Косвенным называют измерение, на основании которого вычисляют новую величину по определенной формуле. Вычисленная величина — функция непосредственно измеренной величины. [c.281]

Общая ошибка анализа складывается из систематической и случайной ошибок определения. Систематическая ошибка зависит от постоянных причин и повторяется при повторных измерениях она связана с постоян ными методическими ошибками анализа, например, с загрязнениями применяемых реактивов, с потерями осадка вследствие его некоторой растворимости и т. п. Все это может быть учтено при анализе. Величина систематической ошибки характеризует правильность метода. Случайные ошибки анализа вызваны неопределенными причинами и изменяются при повторных измерениях (или при повторных анализах) в ту или другую сторону. Если повторить измерение несколько раз, и вгл-числить среднее арифметическое значение из полученных данных, то средний результат будет точнее, чем отдельные измерения. Отклонение отдельных результатов измерений от среднего значения измеряемой величины характеризует воспроизводимость ( точность ) метода. [c.15]

Расчет количества вводимой добавки проводят по предварительным измерениям или по каким-либо другим априорным данным. Для получения более точного результата анализа количество добавки должно составлять 50-100% от исходного количества аналита в пробе. При этом, с одной стороны, превышается погрешность определения высоты (площади) хроматографического пика, которая обычно составляет от трех до двадцати процентов, в зависимости от типа детектора, колонки, прибора и т.д., и, с другой стороны, остается возможность предположить, что величины Аа и А , остаются неизменными, т.е. при внесении добавки влияние матричного эффекта и линейность детектора не нарушаются (если количество добавки значительно превышает количество аналита в пробе, то результат анализа приобретает большую случайную ошибку и повышается вероятность систематической ошибки). [c.6]

Бушмакин [98] предложил оценивать данные по графику зависимости относительной летучести а от состава раствора. По определению а = у — х)/х (1 — у). Этот метод удобен тем, что величина а весьма чувствительна к погрешностям в составе равновесных фаз, особенно к случайным ошибкам в области малых концентраций одного из компонентов бинарной системы. Кроме того, при подобном построении сказываются только ошибки в составах фаз, погрешности измерений температуры и давления роли не играют. Это обстоятельство делает проверку менее полной, но более удобной для чисто практических целей — при расчетах процессов ректификации необходимы именно составы фаз, значения а. Этот простой метод получил признание, он используется на практике. [c.123]

Оценка истинных значений и случайных ошибок (дисперсий) при многократном повторении измерений может быть выполнена стандартными методами [116]. Однако экспериментальное исследование равновесия жидкость — пар трудоемко, данные обычно приводятся для единичных измерений в каждой точке фазовой диаграммы. Оценка истинных значений величин, когда в каждой точке имеется по одному измерению, представляет собою задачу регрессионного анализа и выполнима только тогда, когда есть точная модель, способная скоррелировать зависимость истинных значений измеряемых свойств. Моделью здесь и далее будем называть некоторую аналитическую зависимость, аппроксимирующую экспериментальные данные. Нужна также определенная информация о случайных ошибках. [c.141]

Интенсивность линий зависит также от режима работы источника возбуждения, скорости испарения пробы, освещения щели спектрального прибора и других причин. При случайных изменениях этих условий меняется интенсивность линий, в связи с чем количественный анализ, основанный на измерении абсолютной интенсивности, недостаточно точен. Для получения количественных определений с меньшей ошибкой пользуются отношением интенсивности линий определяемого элемента и элемента сравнения (внутреннего стандарта), вводимого специально в анализируемую пробу в определенном количестве. Пару линий, используемую в количественном спектральном анализе, — линию определяемого элемента и линию элемента сравнения — называют гомологической или аналитической парой. Для измерения относительной интенсивности линий аналитической пары спектр исследуемой пробы фотографируют на пластинку. При этом получают ряд линий, степень почернения которых на фотопластинке зависит от их интенсивности. Количественно почернение фотопластинки принято измерять величиной плотности почернения (5), которую вычисляют по, формуле [c.324]

Целый ряд аналитических методов известен своей склонностью к более или менее положительным или отрицательным систематическим ошибкам. Примером этому может служить гравиметрическое определение кремниевой кислоты, при котором постоянно занижаются истинные значения. Однако это занижение можно выявить, только если, например, потери, возникшие из-за растворимости осадка, выше, чем колебания из-за случайной ошибки анализа. Вообще систематические ошибки можно обнаружить только в том случае, когда смещение измеряемых величин больше, чем случайная ошибка применяемого метода анализа. [c.27]

Полученную функцию у = а + Ьх можно использовать, чтобы для заданных, а значит почти безошибочных значений х вычислять предсказанные значения зависимой переменной. Одному заданному значению х соответствует одно значение Уц . Вследствие неизбежных ошибок при определении констант а и 6 надо и У рассматривать как случайную величину. Зная ошибки д и в/,, можно найти доверительный интервал для вычисленного значения У [c.168]

Регрессионный анализ следует применять только тогда, когда во всех тп опытах наблюдается случайная ошибка примерно одинаковой величины. Для проверки этого условия из одинакового числа параллельных определений П] рассчитывают т строчных дисперсий по формуле [c.199]

Интервал измерения сигнала у определяется верхней У2 и нижней границами уи Часто абсолютная величина Оу случайной ошибки для всего интервала измерений постоянна (например, капельная ошибка бюретки 0,03 см ) или близка к постоянной (как для аналитических весов). При выполнении обычных технических измерений стремятся получить относительную ошибку 0,1%, т. е. ау1у2 = 0 . При этом для обнаружения сигнала нижней границы интервала измерений с вероятностью более 99% необходимо, чтобы он был по крайней мере в три раза больше случайной ошибки У Зоу-, в этом случае относительная ошибка для у равна Оу1у =0,33 (33%). Из изложенного следует, что при постоянном значении Оу интервал измерения у охватывает два-три порядка (ау = у2-Ю и = г/1 0,33). Точность определения у вблизи нижней границы интервала измерения нез/довлетворительна. [c.452]

Ценные указания о возможности использования метода анализа иногда дает зависимость средней квадратичной ошибки 0у от измеряемой величины у. Наибольшей эффективностью методы анализа обладают в том случае, если абсолютная и относительная средние квадратичные ошибки малы.Поэтому методы, отличающ,иеся постоянной абсолютной ошибкой Оу = onst, предпочитают использовать при определении больших содержаний искомых веществ, а методы с постоянной относительной ошибкой Oyly = onst — при определении малых количеств. Подобно тому как Оу является мерилом случайной ошибки, t/u играет важную роль как критерий возможности обнаружения сигнала, В общем случае, если относительную ошибку предела обнаружения принять равной Оу/у = 0,33, то, выполняя Пд параллельных определений, минимально обнаруживаемую интенсивность сигнала можно уменьшить в раз. С учетом уравнения (2.2.3) получим [c.18]

Как это объяснить Любая случайная ошибка вызывается причиной, которая действует не в одну какую-нибудь сторону, а произвольно меняет зеличнну и направление отклонения от одного измерения к другому. Так как нет определенной направленности, то при достаточно большом числе измерений ошибки, то увеличиваюш,ие измеряемую величину, то уменьшающие ее, взаимно компенсируются. Поэтому, если много раз измерять одну и ту же величину и потом брать среднее значение, то оно окажется близким к истинному, так как случайные ошибки измерения при этом взаимно исключаются. [c.226]

Ошибки подразделяют на систематические, случайные и грубые. Грубые ошибки зависят от неверных отсчетов и недостаточной тщательности в работе. Величины, полученные с грубыми ошибками, отбрасывают. Систематические ошибки зависят от постоянно действующих причин и повторяются при всех отсчетах. К ним относятся ошибки инструмента, например весов, бюретки, пипетки, индивидуальные ошибки наблюдателя, ошибки принятого метода определения и др. Случайные ошибки определяются случайными причинами, помехами и зависят от несовершенства приборов и органов чувств наблюдателя. Теория ошибок позволяет уменьшить влияние случайных ошибок на окончательный результат измерений и довольн(5 точно установить возможную ошибку. [c.281]

Выше уже отмечалось, что набор из п параллельных результатов химического анализа следует рассматривать как выборочную со вокупнрсть неравномерно распределенной случайной величины Однако неравномерность распределения результатов обнаружи вается лишь при достаточно большом числе параллельных анали зов и проявляется в том, что для отдельных групп значений, за ключенных внутри промежутков равной ширины, частота их появ дения оказывается разной. В предельном случае, когда выбранная ширина промежутков равна естественному пределу точности метода анализа, а объем выборки хотя и конечен, но достаточно велик,, все результаты разбиваются на группы дискретных значений, и неравномерность распределения результатов анализа ста-ловится очевидной. Выборочную совокупность результатов такого анализа можно представить двояким образом 1) в виде набора отдельных, отличных друг от друга значений случайной величины, характеризующихся неравномерным распределением в силу своей разнократности 2) как выборочную равномерно распределенную совокупность отдельных результатов, часть.из которых совпадает друг с другом. Очевидно, что математическое ожидание такой выборочной совокупности совпадает со средним арифметическим всех результатов. Следовательно, среднее арифметическое ряда параллельных анализов наилучшим образом характеризует центр рассеяния полученных результатов и отягощено минимальной случайной ошибкой. Естественно, что конечный результат химического анализа, по данным ряда параллельных определений, должен в качестве оптимальной оценки содержать именно среднее арифметическое. Вполне очевидно также, что единицы измерения этой величины совпадают с единицами измерения результатов отдельных анализов. [c.75]

Максимальная вероятность = 1 — Р того, что ошибка превзойдет некое предельное (критическое) значение Aj kp, т. е. такое значение, что появление этой ошибки можно рассматривать, как следствие значимой (неслучайной) причины, называется уровнем значимости. Соответственно событие, которое вызвало действие этой причины и привело к появлению такой ошибки, следует считать значимым (а не случайным). Вполне очевидно, что для заданной выборки при известном характере распределения между величинами Aj kp и должно существовать однозначное соответствие, опосредованное через выборочные параметры п, х я S. Но если эти параметры полностью определены конкретным видом выборочной совокупности, то в основание выбора уровня значимости не может быть положено какое-либо внутренне присущее (имманентное) выборке свойство. Чем выше уровень значимости, тем он жестче , поскольку позволяет рассматривать как неслучайные большую часть событий от их общего числа (под событием можно понимать, например, конкретный результат анализа). По образному выражению Е. И. Пустыльника, уровень значимости — это как бы размер ячеек сита, сквозь которое отсеиваются неслучайные события . Вместе с тем необходимо отчетливо сознавать, что назначая тот или иной уровень значимости, мы заведомо обрекаем себя на отождествление определенной части случайных событий со значимыми или заведомо неслучайными событиями. Уровень значимости, выраженный в процентах, показывает, сколько раз в каждых ста испытаниях мы рискуем ошибиться, принимая случайное событие за зна чимое. [c.99]

Вместо того чтобы провести по три определения трех проб одного и того же вещества тп = 3-, = 3 п = 9), целесообразно взять четыре пробы и анализировать каждую только по два раза (т = 4 П = 2 п = 8). Из рис. 4.6 следует, что, хотя объем работы при этом сокращается, уменьшается и случайная ошибка. При одинаковой величине ошибок отбора проб и ошибок анализа можно уменьшить общую ошибку анализа и при п = 5, беря пять проб тп = 5 и анализируя каждую только по одно-му разу. НесмотрЛ на значительно меньшие затраты времени, воспроизводимость не ухудшается. Правда, надо иметь в виду, что при одном анализе в какой-нибудь пробе появляется опасность пропустить грубую ошибку. [c.82]

Не всегда заранее можно утверждать, что предполагаемая линейная зависимост действительно имеет место. Для решения этого вопроса нужно для каждой иг т заданных величин х, провести по параллельных определений. Найденная при этом случайная ошибка 8уу [уравнения (5.1) и (5.2)] не должна — есл1-имеет место линейная зависимость — находиться в противоречии с разбросом результатов измерений вокруг выравнивающей прямой вд. Таким образом, строят критерий [c.169]

Как правило, случайные ошибки вызваны неточностями в измерении величины потенциала, углового коэффициента, объемов Kj и Кд и концентрации с . Обычно ошибки в определении объемов и концентрации малы. Точность определения велршины потенциала должна быть < 0,1 мВ. [c.725]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология