Определение производных с помощью разностей

Из сказанного выше видно, что речь идет о вычислении частных производных некоторого критерия. Обычный способ определения производных (У,4) с помощью разностей имеет два крупных недостатка [c.204]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ С ПОМОЩЬЮ РАЗНОСТЕЙ [c.136]

Здесь рассмотрен один прием, который позволяет в ряде случаев существенно уменьшить количество вычислений при определении производных с помощью разностей. Этот прием основан на том, что при вычислении производных к схеме подходят не как к единому целому, а используют ее структуру. Поясним вначале указанный прием на примере схемы, изображенной на рис. 2. [c.136]

Будем считать, что частные производные вычисляются с помощью разностей. Поставим задачу определения наилучшей совокупности переменных (IV, 64). Обозначим через = х, к = 1, Л"), Т1, Тг соответственно, время расчета к-го блока, схемы и градиента критерия. Ясно, что Т1 = тЫ. Сделаем следующие допущения. [c.135]

Первый подход состоит в том, что схему рассматривают как единое целое и пользуются поисковыми методами оптимизации. Проанализируем в связи с этим перспективы применения поисковых методов для оптимизации больших систем. Ранее вследствие трудностей получения аналитических выражений для производных часто применялись методы поиска нулевого порядка [11, с. 121], не требующие вычисления производных. В настоящее время [1071 общепринятым является использование квазиньютоновских методов первого порядка, причем в случае трудности получения аналитических выражений для производных используются их разностные аппроксимации. Однако, способ вычисления производных с помощью разностей имеет большие недостатки. Действительно, вычисление производных с помощью разностей потребует (г -Ь 1)-го расчета схемы (г — размерность вектора поисковых переменных), т. е. вычислительные затраты на определение производных в этом случае, растут пропорционально размерности задачи, и при больших г могут стать чрезмерными. Следующий недостаток — неточность расчета производных, которая может существенно исказить направления поиска, а следовательно, понизить эффективность метода. И, наконец, еще один недостаток — трудоемкость подбора приращений аргументов Ах1. [c.167]

Безградиентные методы, кроме того, по характеру наиболее пригодны для оптимизации действующих промышленных и лабораторных установок в условиях отсутствия математического описания объекта оптимизации. Неизбежные погрешности при измерениях величин, характеризующих значение целевой функции для действующего объекта, могут привести к существенным ошибкам в определении направления движения к оптимуму с помощью градиентных методов, поскольку при расчетах производной как разности значений критерия оптимальности ошибка может достигать сотен процентов даже при небольшой относительной погрешности вычислений значения критерия оптимальности. В таких случаях целесообразнее выполнить несколько измерений критерия оптимальности в одной и той же точке (чтобы найти наиболее вероятное его значение), чем провести столько же замеров в различных точках, необходимых для расчета производных. [c.501]

Еще большие чувствительность и селективность имеет детектор электронного захвата (ДЭЗ), принадлежащей к тому же классу ионизационных детекторов. Как следует из самого названия этого детектора, он работает по принципу поглощения электронов анализируемым соединением, что выдвигает определенные требования к структуре этих соединений. В ДЭЗ молекулы газа-носителя ионизуются под действием /3-излучения. Ионизация порождает тепловые электроны, которые вызывают стабильный фоновый ток, если к ячейке ДЭЗ приложена разность потенциалов. Если элюируемые из колонки соединения способны захватывать электроны, величина фонового тока понижается и на самописце появляется соответствующий сигнал. ДЭЗ, которые первоначально были использованы для высокочувствительного обнаружения галогенированных углеводородов, прекрасно зарекомендовали себя и при обнаружении производных аминов, амино- и оксикислот и других подобных соединений. Галогенированные ацилирующие агенты, преимущественно перфторированные, служат для введения электронозахватных групп в амино- и оксикислоты путем образования летучих амидов и эфиров. Чувствительность ДЭЗ зависит главным образом от структуры анализируемого соединения. Основное требование — это способность соединения принимать отрицательный заряд вследствие электронного захвата. Соответственно при помощи этого детектора можно обнаруживать галогенированные и нитроароматические соединения, многоядерные ароматические углеводороды и сопряженные карбонильные соединения. [c.55]

Дифференциальные уравнения, записанные относительно двух компонент перемещений, заменяются разностными уравнениями, которые выводятся при помощи вариационного метода, основанного на минимизации полной потенциальной энергии. При этом граничные условия в напряжениях, обычно затрудняющие решение задачи, становятся естественными, они входят в выражение для энергии и автоматически удовлетворяются при ее минимизации. Полная потенциальная энергия тела равна сумме энергий для всех ячеек сеточной области. При этом можно считать, что все функции и их производные остаются постоянными в каждой ячейке. Сетка может быть как равномерной (регулярной), так и неравномерной. Конечно-разностные функции для ячеек имеют, кроме того, весовые коэффициенты для учета неполных ячеек, примыкающих к наклонной границе. Получающаяся система алгебраических уравнений относительно узловых значений перемещений оказывается симметричной и положительно определенной и имеет ленточную структуру. В работе [8] дополнительно к основной, сетке строится вспомогательная и перемещения определяются в точках пересечения этих сеток. В результате этого нормальные деформации и напряжения вычисляются в центре ячеек основной сетки только через центральные разности. [c.55]

Размер частиц входит в величину а. Для реализации математической модели процесса необходимо располагать информацией об изменении параметров а, Д и ф по высоте аппарата. Ее можно получить на основании независимых измерений гранулометрического состава дисперсной фазы и плотности ее отдельных фракций. Наибольшую трудность представляет определение коэффициентов диффузии О и коэффициента сопротивления а. Последний можно связать с эффективной вязкостью суспензии (Хэ. Если средний радиус частиц Гср и сила сопротивления выражается законом Стокса, то а = 4,5 1 г р. Коэффициент диффузии О можно определить по аналогии с турбулентной диффузией О = кт 1, где ш — пульсационная скорость частицы, I — длина пути, проходимая ею между двумя соударениями. Значение коэффициента пропорциональности к находится в пределах 0,05—0,1. Величины ш и I можно ориентировочно измерить с помощью специальных методов. Значения В я а можно найти, используя кинетическое уравнение (111.79). При этом производные заменяются конечными разностями, а эксперименты проводятся так, чтобы можно было измерять все величины, входящие в уравнение (111.79), кроме О и а. [c.249]

Современному аналитику часто приходится участвовать в проведении такой важной операции, так математическое моделирование, т. е. представление системы и всех ее подсистем (компонент) в математической форме. Тип модели, которая разрабатывается для представления какой-либо определенной физической системы, зависит от постановки задачи и налагаемых ограничений. После того как сформулирована базисная качественная модель, математические уравнения для модели могут быть выведены из фундаментальных физических принципов или из экспериментов, проводимых с компонентами системы. В общем случае математические уравнения, описывающие систему, могут иметь различную форму это могут быть линейные или нелинейные уравнения, обычные или дифференциальные уравнения в частных производных, интегральные уравнения, уравнения в конечных разностях и другие уравнения. Если информацию предполагается получить из модели, то уравнения, записанные одним из указанных выще способов, необходимо рещить. Однако многие из этих уравнений не имеют аналитического (в математическом смысле) рещения. Вследствие этого рассматриваемая область является именно той областью, где существенную роль играют численные методы ОД при помощи компьютера. Типичные примеры таких методов описаны в литературе [56— 59]. Так, в статье [59] обсуждаются численные методы решения уравнения диффузии — конвекции, описывающего дисперсию в цилиндрической трубке, которая играет важную роль в аналитических методах, основанных на весьма популярной в настоящее время методике анализа в потоке. [c.380]

Обычно частные производные критерия по варьируемым переменным определяются численно с помощью соответствующих разностей. Однако численное определение частных производных с помощью соответствующих разностей требует (Л1+1)-го вычисления целевой функции, т. е. (Л1-(-1)-го расчета всей схемы, где М — общее число управлений в схеме. При большом М задача расчета всех частных производных может потребовать очень больших затрат машинного времени. В связи с этим была предложена [4 5 J эффективная процедура вычисления частных производных целевой функции для сложной схемы, основанная на введении понятия сопряженного процесса. Эффективность совместного применения управлений основного и сопряженного процессов тем больше, чем больше число управлений. [c.371]

Следует упомянуть еще об одной задаче, которая должна решаться ПП и СПРФ. Известно, что наиболее эффективны такие программы минимизации функций многих переменных, которые учитывают производные минимизируемой функции. Метод их определения с помощью конечных разностей обладает двумя существенными недостатками. Во-первых, он неточен, а, во-вторых, не экономичен, поскольку для вычисления градиента требует т + 1)-го расчета минимизируемой функции (где т — число подбираемых переменных). Отсюда целесообразно иметь точные алгоритмы расчета производных. Таким образом, ставится задача, чтобы ПП формировала соответствующие программы, а СПРФ содержала бы не только алгоритм расчета скоростей реакций, но и их производных по кинетическим параметрам. [c.194]

Существенной чертой определения направления наискорейшего спуска является вычисление производных минимизируемой функции дЗ/дхи д31дх2, дЗ/охп. Для этой цели можно использовать два способа. Первый, аналитический способ состоит в том, что с помощью обычных правил дифференцирования находятся выражения для производных. Второй, чис.ценцын способ определения состоит в том, что производные подсчитываются с помощью соответствующих разностей [c.129]

Несмотря на эти и некоторые другие отдельные удачные демонстрации принципов аддитивности, можно утверждать, что в целом аддитивность вкладов структурных фрагментов в удерживание соблюдается редко. Поэтому расчеты удерживания по уравнениям типа (4.23) не нашли при хроматографии на силикагеле широкого применения. В то же время концепция адди-5 п тивности может служить в отдельных случаях эффективным инструментом выявления внутримолекулярных эффектов. Так, в уже упоминавшемся исследовании производных полиядерных аренов нами выявлены инкременты параметра Ь (табл. 4.30). С их помощью для соединений, не использованных непосредственно при определении ббг, найдены значения Ьрасч- Эти значения сопоставлены с Ьэксп в табл. 4.31. Видно, что типичная разность между расчетным и экспериментальным значениями не превыщает 0,2. Следовательно, постоянство и аддитивность вкладов структурных фрагментов в целом соблюдаются. Ярко выраженное исключение составляют соединения с оксихиноновым фрагментом. В результате внутримолекулярного взаимодействия между гидроксилом и карбонилом резко уменьшается вероятность взаимодействия этих групп с сорбентом. Поэтому расчетное удерживание оказывается завышенным в 600 ( ) раз по сравнению с экспериментальным в случае реализации одного внутримолекулярного взаимодействия и примерно в 160 000 раз при возможности двух таких взаимодействий. Этот эффект не может остаться не замеченным экспериментатором, несмотря на невысокую точность аддитивного расчета. [c.148]

НИИ производных полиядерных аренов нами выявлены инкременты параметра Ь (табл. 4.30). С их помощью для соединений, не использованных непосредственно при определении б ь найдены значения расч- Эти значения сопоставлены с эксп в табл. 4.31. Видно, что типичная разность между расчетным и экспериментальным значениями не превышает 0,2. Следовательно, постоянство и аддитивность вкладов структурных фрагментов в целом соблюдаются. Ярко выраженное исключение составляют соединения с оксихиноновым фрагментом. В результате внутримолекулярного взаимодействия между гидроксилом и карбонилом резко уменьшается вероятность взаимодействия этих групп с сорбентом. Поэтому расчетное удерживание оказывается завышенным в 600 ( ) раз по сравнению с экспериментальным в случае реализации одного внутримолекулярного взаимодействия и примерно в 160 000 раз при возможности двух таких взаимодействий. Этот эффект не может остаться не замеченным экспериментатором, несмотря на невысокую точность аддитивного расчета. [c.148]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология