Ранг тензора

Дальнейшее обобщение состоит в том, что всем этим трем величинам присваивается название тензоров с указанием ранга в соответствии с показателем степени, т. е. скаляр будет тензором нулевого ранга, вектор — тензором первого ранга и тензор — тензором второго ранга (тензоры могут быть и более высоких рангов — третьего и т. д.). [c.365]

Из (2,2) и (2,4) видно, что произведение двух тензоров есть тензор, причем внутреннее умножение приводит к понижению ранга тензора на два, для всякой пары совпадающих контра- и ковариантных значков. Это позволяет рассматривать скаляр как частный случай тензора нулевого ранга, полученный из тензора более высокого ранга путем внутреннего умножения тензоров или просто приравниванием верхних и нижних значков тензора друг другу, если число их одинаково [c.19]

Дифференцирование, как мы видели, повышает ранг тензора на единицу в сторону ковариантности. Поэтому антисимметричный тензор вихря (6,1) может быть образован, как это легко видно, только дифференцированием нова-риантного вектора В евклидовых пространствах можно ввести еще более узкий класс тензоров, определенных только по отнощению к преобразованиям (1,14) и (1,15) прямоугольных декартовых координат. Такие тензоры называются аффинными ортогональными. Для них разница между кова-риантными и контравариантными составляющими исчезает. Действительно, согласно (1,12) —А -= [c.29]

В этом случае квантовое число/и = —/, —/-(-1,..., +/можно отождествлять с когерентностью порядка р. Ранг тензоров может принимать значения / = О, 1,..., 2Ь, где дается выражением (5.1.3). Индекс к служит для обозначения различных операторов с одними и теми же трансформационными свойствами. По аналогии с выражением [c.327]

Коэффициенты генерации второй гармоники (элементы тензора df ) нелинейных кристаллов приведены в табл. 34.18. Элементы тензора связаны с линейными оптическими восприимчивостями сред через тензор третьего ранга (тензор Миллера) [c.780]

МОЖНО представить в виде скалярного произведения неприводимых, тензорных операторов второго ранга. Тензор [c.213]

Для каждого элемента тензора магнитной восприимчивости нужны два индекса (отметим, что число индексов равно рангу тензора). Рассмотрим сначала случай, когда поле приложено вдоль одной из главных осей. Тогда намагниченность возникнет в том же направлении. Если кристалл вращать в магнитном [c.443]

Чтобы применять на практике физическое свойство кристалла, нужно знать, изотропно оно или анизотропно если анизотропно, то установить характер его анизотропии, а если возможно тензорное описание, то найти ранг тензора, характеризующего это свойство. Далее надо установить связь этого тензора с симметрией кристалла. [c.194]

Таким образом, в общем случае напряженное состояние тела определяется системой из 9 компонент 3 нормальных и 6 сдвиговых. В теории упругости доказывается, что эти 9 компонент образуют тензор второго ранга — тензор механических напряжений [c.245]

Теперь каждый из компонентов вектора д определяется суммой всех трех компонентов градиента температуры. В эту сумму указанные слагаемые входят с определенными весами Я,./. Коэффициенты Кц связывают между собой два вектора и образуют тензор второго ранга — тензор теплопроводности [c.122]

Ранг тензора равен числу индексов у его компонент. Скаляр можно рассматривать как тензор нулевого ранга, а полярный вектор — как тензор первого ранга. [c.27]

В соответствии с определением, бинарные корреляционные функции представляют собой тензоры ранга 2N, где N — ранг тензора (вектора), для которого определяется данная корреляционная функция. Поскольку корреляции находятся для двух точек г и Го, то, вообще говоря, корреляционная функция второго порядка должна зависеть от двух переменных г и Го или г — Го и г+Го. Однако в случае статистической однородности из условия инвариантности относительно преобразования переноса следует независимость корреляционных функций от г + Го. При этом имеет место условие эргодичности, когда пространственное среднее совпадение со средним по ансамблю эквивалентных систем. [c.328]

Сколькими числами они описываются Как связано число индексов при коэффициенте с рангом тензора [c.419]

Обозначим компоненты тензора напряжения Оц, а компоненты тензора деформации е,-/, индексы I, / могут независимо принимать значения 1, 2, 3. В самом общем линейном случае компоненты одного тензора второго ранга могут быть выражены линейно через компоненты другого тензора второго ранга. Напомним, что рангом тензора называется число индексов при компонентах. В данном случае тензоры напряжения и деформации имеют по девять компоненто . Следовательно, девять компонентов тензора напряжений линейно выражаются через девять компонентов тензора деформаций. Это дает девять уравнений, которые содержат 81 коэффициент. [c.78]

Четвертое правило формулируется как принцип локального действия [18, 22] при определении напряжения в материальной точке движением среды вне произвольно малого участка вокруг этой точки можно пренебречь. Инвариантность относительно преобразований координат реологических уравнений состояния обеспечивается одинаковым рангом тензоров, входящих в эти уравнения [34]. Обычно постулируют, что реологические уравнения состояния для стационарно реологических жидкостей имеют вид [11] [c.111]

Все три перечисленные задачи для тензоров первого ранга (векторные параметры) и второго ранга (тензор деформации) подробно исследовались разными авторами [2- ], и результаты сведены в таблицы. Для тензоров высших рангов, свойства которых, как отмечалось выше, в последние годы стали интенсивно исследоваться, соответствующие таблицы находятся в стадии разработки. Ниже мы кратко сформулируем основные принципы решения трех сформулированных задач. [c.140]

Ранг тензоров коэффициентов линейной удельной проводимости и их полярный или аксиальный характер указаны в следующей таблице [c.130]

Число индексов, характеризующих компоненту тензора, называется рангом тензора. Вот некоторые примеры [c.479]

Если молекулы жесткие, то отклонения атомов — это результат колебательного движения целых молекул, которое, согласно Крукшенку [159], описывается (для центросимметричной позиции молекул) двумя симметричными тензорами второго ранга — тензором трансляционных колебаний Т и тензором либрационных колебаний Ь. Связь тензоров и,г, Т Ь выражается соотношением [c.170]

В дальнейшем под тензорами будут подразумеваться тензоры второго ранга. Тензоры второго ранга обозначаются жирными прописными буквами, например А. Отметим, что в рассмотренном выше случае возникала компонента намагниченности только в направлении магнитного поля. Если поле приложено последовательно в направлении х или у либо в любом другом произвольном направлении, то величина нэхмагничен-ности (М будет та же в направлении, совпадающем с направлением Н. [c.442]

Тензор рассеяния не единственный. В технике и физике применяют другие тензоры, такие, как тензоры деформации и напряжения, тензор моментов инерции, тензор g-факторов (в атомной физике). Тензоры деформации и напряжения встречаются при изучении деформации тел под действием внешних сил. Деформация не всегда параллельна направлению приложенной силы, поэтому возникающие при деформации тела силы сопротивления, вообще говоря, анизотропны. Тензоры или диады могут быть очень простыми наиболее простым тензором, тензором нулевого ранга, является скаляр. Векторы также служат примерами тензоров. Обычный вектор представляет собой тензор первого ранга. Тензор рассеяния и тензор напряжения — тензоры второго ранга. Такие тензоры также называют диадами. Полиады — тензоры высших рангов, например тензор гиперкомбинационного рассеяния света. При рассмотрении свойств тензоров используется аппарат векторной алгебры. [c.40]

Итак, тензор нулевого ранга определяется одним числом, которое не зависит от выбора координат. Тензор первого ранга — тремя числами, каждое из которых относится к одной из осей. Тензор второго ранга — девятью числами, каждое из которых относится к одной из двух осей и которые комбинир тотся попарно. Число индексов при коэффициенте соответствует рангу тензора при ранге О — индексов нет при ранге 1 —индексов 1 при ранге 2—индексов 2. [c.403]

Ашкенази предложила соотношения, свободные от указанных недостатков. Исследуя симметрию механических свойств древесины и фанеры [88, 94], она ввела до пущение о тензариальности характеристик прочности, т. е. предположила, что зависимость прочности от ориентации главных осей тензора напряжений аппроксимируется формулами преобразования компонент тензора при повороте осей координат. Сравнив полученные экспериментально фигуры зависимостей модуля упругости и предела прочности от угла ф, она установила, что эти фигуры обладают одинаковой симметрией. На основании этого Ашкенази предположила, что тензор прочности есть тензор четвертого ранга(именно таков ранг тензора упругих постоянных). [c.217]

Пусть Оу - векторное представление, описьйающее симметрию полярного вектора (тензора первого ранга). Тензор ранга г преобразуется как произведение компонент г векторов, и его трансформационные свойства поэтому описываются тензорным представлением 2)/=... X X Оу. Интересующие нас физические характеристики кристалла описываются тензорами, симметричными относительно перестановок некоторых индексов. Наиболее употребительные тензоры приведены в табл. 6.1 [c.140]

П2.1. Напряженно-деформированное состояние в некоторой точке тела описывается симметричными второго ранга тензорами напряжений с компонентами Зу и деформаций с компонентами е . Для каждого симметричного тензора второго ранга можно выбрать оси координат таким образом, чтобы все составляющие с различающимися индексами г Фу обращались в нуль. Такие оси координат называются главными. В результате приведения тензора напряжений (деформаций) к главным осям ненулевыми остаются только диагональные компоненты Стц, СТ22, СГ33 ( ц, 22, зз) соответствующих тензоров. Обычно эти компоненты нумеруются в порядке убывания Ст1 > Ст2 Стз (8] > 82 > 83). Если около рассматриваемой точки тела выделить бесконечно малый прямоугольный параллелепипед с гранями, перпендикулярными главным осям тензора напряжений, то на него будут действовать только нормальные напряжения Ст1, Ст2, СТ3. Прямоугольный параллелепипед с гранями, перпендикулярными главным осям тензора деформаций, удлиняется (укорачивается) в направлениях главных осей в отношениях [c.20]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология