Устойчивость в малом

В книге излагаются основы исследования устойчивости режимов работы химических реакторов идеального смешения. Описывается процедура составления математических моделей реакторов. Для исследования устойчивости в малом и в большом используются методы качественной теории дифференциальных уравнений и методы Ляпунова. Применение различных методов иллюстрируется конкретными примерами. [c.4]

Чтобы объяснить смысл понятия устойчивость в малом , необходимо привести некоторые сведения о фазовом пространстве и связанных с ним понятиях. [c.23]

Устойчивость в малом. Первый метод Ляпунова [c.24]

Рассмотрим некоторые способы исследования стационарных состояний реакторов, а затем устойчивость в малом математических моделей, составленных в предыдущей главе. [c.62]

Это дифференциальное уравнение хотя и нелинейно, но в нем, так же как и в уравнении (И1,9), можно разделить переменные. Не будем останавливаться на его решении, а выясним устойчивость в малом с помощью первого метода Ляпунова. [c.68]

Исследование положений равновесия химического реактора позволяет получить представление об устойчивости в малом, т. е. о том, как ведет себя реактор, если возмущения приводят к малым отклонениям от того или иного стационарного режима. Не меньший практический интерес представляет вопрос о том, к какому режиму будет приближаться реактор при произвольных возмущениях, т. е. какова его устойчивость в большом. [c.121]

В некоторых случаях для построения фазового портрета системы достаточно знать, какова ее устойчивость в малом и каков характер поведения фазовых траекторий в удаленных частях фазовой плоскости. Рассмотрим подобные случаи, встречающиеся при исследовании моделей неизотермических реакторов. [c.125]

Рис. 1У-2—1У-6 представляют собой фазовые портреты химических реакторов, которые удается построить, зная только устойчивость в малом и устойчивость на бесконечности. [c.133]

Некоторые нелинейные системы не обладают асимптотической устойчивостью в малом, но в окрестности положения равновесия имеется некоторая область (может быть и достаточно большая), внутри которой система обладает асимптотической устойчивостью. В таком случае говорят об устойчивости си-сте.мы в большом. [c.157]

Если применить условие (V.21) к инженерным задачам, то в качестве х можно рассматривать время осуществления процесса. Тогда условие х->оо означает переход процесса к установившемуся (стационарному) состоянию, и асимптотическая устойчивость есть устойчивость стационарного состояния. В теории регулирования такую устойчивость называют локальной, или устойчивостью в малом. [c.163]

Численные исследования нелинейной системы уравнений моментов показали [2], что из устойчивости в малом следует асимптотическая устойчивость в целом а в случае неустойчивости в малом в системе устанавливается колебательный процесс одной определенной конечной амплитуды. На рис. 4.2 показаны рассчитанные на ЭВМ [2] при различных значениях m переходные процессы изменения концентрации в кристаллизаторе в устойчивой (кривые /, 2) и неустойчивой (3—5) зонах. Из формы кривых 4, 5 видно, что в случае неустойчивости состояния стационарности вне зависимости от начальных условий в системе самопроизвольно устанавливались нелинейные колебания определенного периода и амплитуды. Изменение характеристик процесса в автоколебательном режиме изображено на рис. 4.3. [c.334]

При исследовании устойчивости в малом процессов, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями, обычно используется система уравнений, полученная линеаризацией в окрестности стационарного режима первоначальной нелинейной системы. При этом необходимо решить две задачи 1) найти критерий устойчивости нулевого решения линеаризированной системы 2) показать, при каких условиях из устойчивости нулевого решения линеаризированной системы следует устойчивость стационарного режима первоначальной системы. Ниже обсуждается только первая задача в предположении, что за исключением каких-либо критических случаев, по-видимому, для большинства физических систем при изучении устойчивости в малом достаточно ограничиться исследованием первой задачи. Конечно, это не снимает необходимости строгого решения второй задачи. [c.230]

УСТОЙЧИВОСТЬ в МАЛОМ ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ [c.72]

V = К.. Однако поскольку и этот контур целиком лежит внутри е, то траектории никогда не смогут пересечь границы е. Следовательно, устойчивость в малом по Ляпунову установлена из ее определения. [c.76]

Доказательство Ляпунова существования устойчивости в малом является неконструктивным, так как оно не содержит алгоритма построения функции V (х). Поэтому для решения прикладных задач разработаны методы исследования устойчивости, основанные на более конкретном выборе функции Ляпунова. [c.77]

Предполагается, что соответствие точному динамическому режиму будет улучшаться по мере приближения к стационарному состоянию. Можно поэтому ожидать, что граница устойчивости в малом для уравнения (IV, 21) будет определена из анализа уравнения (IV, 22). [c.79]

Изложенные выше рассуждения окажутся неверными, если линеаризованная система имеет равные нулю собственные значения. Этот предельный случай не может быть, строго говоря, назван неустойчивым. Однако теперь (IV, 29) удовлетворяется только при ц = 0. Следовательно, у-область по (IV, 33а) оказывается равной нулю. Полная нелинейная система может быть в этом случае устойчивой или неустойчивой, ее нельзя исследовать С помощью линеаризации. Таким образом, нелинейная система (IV, 23) имеет устойчивое в малом стационарное состояние, если решение аппроксимированного уравнения (IV, 22) асимптотически устойчиво и если применимо условие (IV, 24). [c.81]

Нетрудно видеть, что матрица А отрицательно-определенна, но имеет нулевое собственное число (к = О, —1). Следовательно, линеаризованная система устойчива в малом, однако асимптотической устойчивости нет, и основная теорема линеаризации к этому случаю неприменима. Тем не менее, устойчивость в малом можно доказать с помощью круговой функции Ляпунова (IV, 3), для которой [c.83]

Из четырех условий (IV. П), которые подтверждают, что выбранная V является функцией Ляпунова, точность третьего условия (IV, Пв) обычно очень трудно доказать. Для некоторых задач V (х) будет отрицательно-определенной в некотором диапазоне х, но не для всех значений х. Это является доказательством устойчивости в малом, если стационарное состояние находится внутри приемлемой области, определенной условием и (х) < О, но не на границе этой области. Указанное ограничение, накладываемое на V, может служить также для определения области асимптотической устойчивости, но достаточно ли велика будет эта область для инженерных целей, зависит исключительно от физической сущности задачи и численных значений используемых при этом величин. [c.92]

Чтобы в деталях проследить процесс линеаризации и исследования устойчивости конкретной системы, рассмотрим вывод критерия устойчивости в малом нелинейных моделей проточных реакторов с перемешиванием. Отправной точкой исследования является уравнение (III, 40), из которого следует, что собственные значения для системы второго порядка оба отрицательны, если (и только если) [c.83]

Определение устойчивости по Ляпунову позволяет применить прямой метод анализа без интегрирования дифференциальных уравнений. Следует все же признать, что с точки зрения практического инженерного применения доказательство устойчивости в малом стационарного состояния недостаточно для инженера. Причина этого заключается в том, что информация о локальном поведении системы ничего не говорит о характере траектории в целом. [c.90]

Вернется ли траектория из данного начального состояния к желаемому стационарному состоянию, не нарушая допустимых ограничений Случай с одним стационарным состоянием, устойчивым в малом, показан на рис. У-1. Очевидно, что анализ стационарного состояния не обеспечивает необходимой для расчета информации [c.91]

Возвращаясь к разделу Функция Ляпунова (гл. IV), заметим, что доказательства устойчивости в малом основывались на том, что ни одна траектория не может пересечь и-контур во внешнем направлении (см. рис. 1У-2). Если это так, то можно предположить, что площадь на фазовой плоскости, ограниченная и-контуром, будет областью устойчивости, за пределы которой ни одна траектория не может выйти. Далее, поскольку функция Ляпунова устанавливает асимптотическую устойчивость в малом, таким способом можно получить область асимптотической устойчивости. Различие между областью устойчивости и областью асимптотической устойчивости можно установить только в том случае, когда существует траектория, вдоль которой и = 0. Если с целью такого разграничения вместо неравенства (IV, 11 в) используется (IV, Пд), то полученный ряд условий будет достаточным для установления области устойчивости (но не асимптотической устойчивости). Область асимптотической устойчивости иногда называют областью притяжения. Когда такая область распространена на весь диапазон возможных траекторий, то систему называют устойчивой в целом (или полностью устойчивой). [c.91]

Когда мы имеем дело с вопросами устойчивости в малом, как в гл. IV, то систематическую процедуру поисков функции Ляпунова, которая привела к уравнению (IV, 18) можно считать излишней. В конечном счете этот вопрос может быть решен с помощью линеаризации. [c.95]

В первом разделе этой главы со ссылкой на рис. -1 отмечалось, что установление единственности и устойчивости в малом стационарного состояния еще не обеспечивает необходимой формы траектории. То же можно сказать об области асимптотической устойчивости, поскольку установление ее существования еще не обеспечивает возможности численного расчета. Действительно, система с областью асимптотической устойчивости может быть практически бесполезной, если ее траектории выходят за допустимые пределы, в то время как неустойчивая в малом система может удовлетворять инженерным требованиям, если ее траектории остаются внутри допустимой области. С этой точки зрения требуется новое определение устойчивости, которое полностью отвечало бы практическим целям расчета. [c.102]

УСТОЙЧИВОСТЬ в МАЛОМ СИСТЕМ с РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ [c.156]

Таким образом, задача устойчивости системы с распределенными параметрами сведена к уже знакомой нам обсуждавшейся в гл. III задаче с линейными постоянными коэффициентами. Однако заметим, что это только изучение устойчивости в малом (следствие линеаризации). При интегрировании необходимых для расчета уравнений [c.162]

Собственными значениями этой матрицы будут ее диагональные элементы. Для устойчивости в малом [c.165]

Отсюда следует, что условие (VI,82), которое обеспечивает единственность для такой системы, будет также обеспечивать устойчивость в малом с помощью уравнений (VII,39), но с оговоркой, что этот анализ применим пока исследование проводится для больших значений п. [c.166]

Основная теорема линеаризации (см. гл. IV) определяет условия, в диапазоне которых при изучении устойчивости в малом упрощенное уравнение (IV, 22) можно использовать вместо (IV, 21). Однако, как показал Гура (1965 г.), те же доказательства можно интерпретировать геометрически, чтобы установить области устойчивости для нелинейных систем в форме уравнения (IV, 23). Применимость метода Гура основана в первую очередь на уравнении (IV, 26) с выбором V по уравнению (IV, 33а) [c.107]

Устойчивость положения равновесия — это устойчивость при достаточно малых возмущениях или устойчивость в малом. Определение устойчивости в малом не позволяет предсказать, как будет вести себя система при больщих возмущениях. Вопрос о 110ведении исследуемых систем при больших возмущениях будет рассматриваться в главе IV. [c.25]

Второй д етод Ля/1унова позволяет определить устойчивость в малом, оценить область устойчивости в большом, установить существование полной устойчивости и решить ряд других практически важных задач. Этот метод может быть использован не только для исследования устойчивости положений равновесия, но и для исследования устойчивости движений, осуществляющихся [c.157]

Заметим, что определение устойчивости основано на изучении траекторий в окрестности стационарной точки. Поэтому такая устойчивость называется локальной устойчивостью, или устойчивостью в малом. Однако естественно возникает вопрос о том, каким должен быть размер изучаемой окрестности. Это не праздный вопрос как бы близко ни подходила траектория к стационарному состоянию нет гарантии, что она не повернет от него. Примером служит траек тория, образующая седло. Таким образом, ясное определение окресТ ности х с е, внутри которой траектории обладают необходимыми свойствами, является неотъемлемой частью строгого определения устойчивости. [c.72]

В качестве иллюстрации определения рассмотрим узел на фазовой плоскости (см. рис. II1-4). Исследуемое стационарное состояние устойчиво в малом. Действительно, защитник всегда может поместить контур б-областн целиком внутри контура любой области е и притом так, что траектории не пересекут е-контура, выходя за его пределы. Если же траектории не покидают б, то они не могут покинуть и более обширную область е. Математически, если [c.73]

Исследование показывает, что стационарное состояние устойчиво в малом (теорема Гершгорина). Из уравнения (III,-38) [c.109]

Имея в виду большие преимущества, которые дает линеаризация нелинейных дифференциальных уравнений, желательно применг тп аналогичную методику к анализу устойчивости в малом систем с распределенными параметрами. Такой подход действительно дает удовлетворительные результаты, но следует заметить, что не существует обоснования справедливости линеаризации, такого же строгого, как основная теорема Ляпунова для систем с сосредоточенными параметрами (см. гл. IV). Принимая во внимание хорошо известные результаты, можно сказать, что это ограничение не имеет большой практической важности. [c.158]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология