Линейные системы с постоянными коэффициентами

Следовательно, устойчивость объекта, описываемого системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, может быть проверена, если известны собственные значения матрицы коэффициентов системы. [c.282]

Строгая постановка задачи об устойчивости системы и метод ее решения впервые были даны А. М. Ляпуновым [11]. Его работы стали основой исследования устойчивости технических систем, в том числе и химических. Существенные результаты в исследовании устойчивости химических систем получены в работах [12— 14]. Если математическая модель кристаллизатора при нестационарном режиме состоит из линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными или переменными коэффициентами, то возможно применение хорошо разработанных методов анализа устойчивости линейных систем автоматического регулирования. Для устойчивости линейной системы k-то порядка необходимо и достаточно, чтобы все k корней ее характеристического уравнения [c.330]

В то же время системы (3. I)—(3. IV) относительно неизвестных температур являются линейными с постоянными коэффициентами и могут быть решены, если — известная функция от X. [c.166]

В случав линейной динамической системы с постоянными коэффициентами уравнения (2.41) записываются как [c.108]

Релаксационные методы исследования кинетики химических реакций основаны на том принципе, что при быстром внешнем воздействии на систему (изменение температуры, давления, электрического поля) время, которое нужно системе для достижения нового равновесного (или стационарного) состояния, зависит от скорости химической реакции (или иногда от скорости диффузии реагентов). Переход системы к новым равновесным (или стационарным) концентрациям реагентов называют химической релаксацией [39, 40]. Если отклонение от равновесия, вызванное внешним воздействием, невелико, кинетика релаксации будет весьма простой (ее удается описать с помош,ью линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами). [c.206]

Третий уровень информации. Нетрудно видеть, что система (8.11) приводится к линейному дифференциальному уравнению первого порядка с постоянными коэффициентами [c.270]

Тем самым первоначальная оптимальная задача оказывается сведенной к краевой задаче специального вида для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. К сожалению, при одновременном интегрировании систем (VII,1) и (VII,6) часто наблюдается высокая чувствительность по отношению к начальным условиям, что затрудняет решение краевой задачи. Причина этого становится очевидной, если система (VII,1) является относительно х системой линейных уравнений с постоянными коэффициентами. [c.187]

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [c.197]

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [c.156]

Таким образом, задача устойчивости системы с распределенными параметрами сведена к уже знакомой нам обсуждавшейся в гл. III задаче с линейными постоянными коэффициентами. Однако заметим, что это только изучение устойчивости в малом (следствие линеаризации). При интегрировании необходимых для расчета уравнений [c.162]

В работах [138, 139] предложена процедура численного решения основного кинетического уравнения. Численный алгоритм состоит в дискретизации задачи и сведению ее к линейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При численном решении этой системы получается функции распределения, зависящая от [c.195]

Если интегралы в правой части системы вычислять с помощью тех или иных квадратурных формул, то получится конечная линейная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами [c.196]

Таким образом, вычисление нестационарной функции распределения сводится к решению линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, а вычисление квазистационарной функции распределения — к решению неполной проблемы собственных значений для матрицы коэффициентов этой системы дифференциальных уравнений. При решении этих задач приходится иметь дело с плохо обусловленной матрицей, разброс собственных значений которой составляет 10— 15 порядков. Заметим, что величина этого разброса мало зависит от способа дискретизации, так как определяется физикой процесса, т.е. константа скорости (минимальное по модулю собственное значение) отличается от других собственных значений обычно на несколько порядков. [c.197]

Рассмотрим решение этой системы методом приведения к одному линейному дифференциальному уравнению более высокого порядка. Несложными преобразованиями и исключением переменных (что последовательно приводит к увеличению порядка дифференциального уравнения) система уравнений может быть приведена к уравнению -го порядка относительно любой переменной [Х ]. В силу свойств системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами полученное уравнение также будет линейным уравнением с посто- [c.202]

Многополочные реакторы (рис. 4.26). Для анализа устойчивости многополочных реакторов был использован тот же метод, что и при исследовании более простой системы реактор - теплообменник . Был рассмотрен нестационарный режим в некоторой окрестности известного стационарного режима, описываемого линейной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, подобной [c.226]

Исключая из уравнения (9.62) переменные Д [Е] и Д[0] с помощью соотношений (9.60), (9.61), приходим к системе двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами [c.215]

Если двум функциям 4 1 и фа одной системы отвечает одинаковая энергия состояния вырождены), то решением уравнения Шредингера для этой системы является также линейная комбинация фх и фа, т. е. афх Ц- 6 2. Сказанное справедливо не только для двух функций, ио и для большего числа. Линейной комбинацией функций называется сумма их произведений на постоянные коэффициенты, которые могут быть как положительными, так и отрицательными а также и комплексными). [c.35]

При втором методе нахождения эмпирических уравнений, описывающих динамику объекта, считают, что динамические свойства объекта могут быть охарактеризованы некоторым формальным математическим описанием в виде произведения оператора чистого запаздывания и оператора, задаваемого с помощью системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Коэффициенты этих уравнений определяются по опытным данным методом наименьших квадратов или методом моментов. [c.271]

Итак, получено линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Колебательная система, описанная таким дифференциальным уравнением, может быть названа линейным гармоническим осциллятором. [c.80]

Применение преобразования Лапласа к системе линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами превращает последнюю в систему линейных алгебраических уравнений. В качестве примера ниже приводится решение системы (У.Зб). Чтобы избежать громоздких выражений, введены обозначения [c.247]

Интегрирование этой системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с учетом выражений (V.152) и (V.153) приводит к уравнениям кинетических кривых для А и Р [c.305]

Здесь bij — алгебраические дополнения матричных элементов Bij, которые определяются путем решения системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, зависящими от компонент тензора сдвига 0 [c.231]

В предыдущих параграфах были рассмотрены стационарные системы, математическое описание которых основывалось на дифференциальных уравнениях с постоянными коэффициентами. Кроме таких систем, могут быть нестационарные системы, имеющие переменные во времени параметры. Как отмечено в параграфе 1.3, математические модели нестационарных систем состоят из дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Если эти уравнения линейные, то нестационарные системы называют линейными. [c.72]

При наличии в замкнутой системе незатухающих колебаний С частотой (1)д и амплитудой Ад коэффициенты в уравнении (6.47) будут постоянными. В то же время из теории устойчивости линейных систем известно, что незатухающие колебания в системе с постоянными коэффициентами возникают при X = /со. Для этого случая, положив в уравнении (6.47) X = /со, а = с , со = соц, получаем [c.199]

Перейдем теперь к виду общего решения системы уравнений первого закона Кирхгофа и соответственно к связи между векторами дГд и Из предыдущего ясно, что ранг матрицы А равен т — 1 и поэтому фундаментальная система решений приведенной системы уравнений Лх = О состоит из л — (/я — 1) = с специально подобранных наборов чисел. В качестве таковых можно взять, как это следует из (4.29) и (4.30), систему из с строк матрицы В, построенной для главной (хордовой) системы контуров. Любая линейная комбинация этих строк с произвольными постоянными коэффициентами х - ( Сь. . ., х ) также будет решением приведенной системы, так что [c.61]

Если пренебречь инерционной массой движущихся частей привода и сжимаемостью рабочей жидкости, то гидравлический привод можно считать динамическим элементом, который в первом приближении характеризуется линейным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами. Гидроусилитель работает либо без обратной связи (т. е. без обратного воздействия) как система интегрального регулирования, либо с обратной связью как система пропорционального регулирования. Динамика таких упрощенных систем определяется только постоянной времени, которая обычно зависит ог величины открытия золотника. Кроме того, эта постоянная времени неодинакова для обоих направлений движения, поэтому система работает как нелинейный элемент контура. Принципиальная схема гидравлической следящей системы без обратной связи показана на фнг. 3.1а. [c.61]

Значительная часть физических, физико-химических и технологических процессов описывается линейными алгебраическими дифференциальными уравнениями. Решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами сводится после некоторых преобразований к решению алгебраических уравнений. Поэтому знание эффективных способов, применяемых для решения этих уравнений, весьма важно для исследователя и инженера. Одним из таких способов является использование рассмотренного в этой главе метода определителей и матриц, относящегося к элементам линейной алгебры. [c.235]

В химической кинетике и во многих других областях техники анализ процессов часто приводит к решению системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Для решения такой системы методы операционного исчисления оказываются весьма эффективными. [c.314]

Изменение температуры охлаждаемой и нагреваемой жидкостей вдоль направления их движения может быть получено из решения системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами (7-11) — (7-12) и граничными условиями (7-13) или (7-14). [c.114]

Поведение решений системы (X, 1) вблизи рассматриваемой особой точки определяется свойствами системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (X, 4). Решение последней по общему правилу ищут в виде [c.433]

Система (И,8) является однородной линейной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и удобна для исследования, так как методы интегрирования подобных систем хорошо изучены. Для уравнений (И, 5) система (И, 8) играет роль системы первого приближения. [c.26]

Таким образом, мы свели задачу исследования устойчивости стационарных режимов к решению системы двух линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (VIII.И), (VIII.12). Решение этой системы выражается линейной комбинацией двух экспоненциальных функций и (где Xj, 2 — корни уравнения) [c.327]

Гарнер и Эллис [17] для установления связи между коэффициентом относительной летучести бинарной системы в прнеут-ствии разделяющего агента и температурами кипения смесей исходили из анализа опытных данных по равновесию между жидкостью и паром в 9 трехкомпонентных системах. Оказалось, что имеется линейная зависимость между коэффициентом относительной летучести бинарной системы и разностью темпе- ратур кипения АГ одинаковых по составу смесей разделяющего агента с исходными компонентами при постоянном отношении концентрации последних. Это наглядно видно из рис. 11, на котором представлены зависимости Ор от АГ при разных отношениях концентраций компонентов бинарной смеси (Х11Х2). Как видно из рис. И, опытные точки для разных систем при постоянных значениях Х1/Х2 группируются около прямых линий. При рассмотрении данных для различных систем было найдено, что наклон этих прямых линий и точка их пересечения с ординатой А7 =0 определяются степенью неидеальности системы, образованной низкокипящим компонентам заданной смеси и разделяющим агентом. Мерой неидеальности является логарифм [c.49]

Перейдем к новым переменнымД [Е] иД [ЕА], полагая, что быстрое воздействие на систему приводит лишь к небольшому сдвигу равновесного состояния и, следовательно, значения Д[Е] иД[ЕА] невелики. В этом случае уравнения (5.208) можно свести к системе линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами [c.209]

Если все а, = сопз1, систему называют линейной системой с постоянными коэффициентами. [c.95]

Для интегрирования системы уравнений (11,49) и (11,50) можно использовать общие методы решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами [9]. В результате получают следующие выражения, определяющие значения выходных температур теплоносителя и хладоаген-та [c.69]

Именно свойство (б) обеспечивает то, что весовая функция к(и) не зависит от времени Линейная система без свойства инвариантности во времени имела бы весовую функцию, зависящую от времени t Можно показать, что системы, которые могут быть описаны с помощью линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, имеют инвариантное во времени представление (2 3 3) Впрочем, многие нелинейные системы мЪжно линеаризовать так, что для малых возмущений на входе можно использовать (2 3 3) как приближенное изображение системы [c.54]

Экспериментальный метод составления математического описания используется для управления и исследования объектов в узком, рабочем диапазоне изменения входных и выходных переменных (например, при построении системы автоматической стабилизации отдельных технологических параметров). Эти методы чаще всего основываются на предположении о линейности и сосредоточенности параметров объекта. Принятие этих допущений позволяет сравнительно просто описьшать наблюдаемые процессы алгебраическими или линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. При экспериментальном подходе к составлению математического описания всегда требуется постаноЬка опытов непосредственно на изучаемом объекте. [c.13]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология