Конечных разностей метод

Численные методы решения различных задач фильтрации газа на основе уравнения Л. С- Лейбензона также достаточно хорошо обоснованы в приложениях к проблемам разработки месторождений природных газов. При этом наибольшее распространение получили методы конечных разностей и конечных элементов. Вместе с тем, развитие теории фильтрации газов, вызванное требованиями практики разработки газовых месторождений, и, в частности, изменением горно-геологических условий их залегания (большие глубины, высокие давления и температуры, многокомпонентность газа и т.д.) потребовало учета в основном уравнении, предложенном Л. С. Лейбензоном, многих дополнительных факторов. Так, оказалось, что использование функции Лейбензона в форме (6.2) допустимо при небольших давлениях, в условиях недеформируемых пластов. При достаточно больших давлениях в условиях деформируемых коллекторов под знак интеграла в формуле (6.2) необходимо внести зависимости изменения проницаемости, вязкости и коэффициента сверхсжимаемости газа от давления. При неизотермической фильтрации во многих случаях необходимо учитывать также изменение свойств газа от температуры. [c.183]

Важный фактор эффективного использования численного моделирования— специально разрабатываемые методы вычислений. Наиболее широкое применение для решения краевых задач подземной гидромеханики получили метод конечных разностей и метод конечных элементов. [c.381]

По методу Эйлера, производная в дифференциальном уравнении заменяется отношением конечных разностей. Пусть нужно решить уравнение [c.145]

В этих случаях для решения задач целесообразно использовать метод конечных разностей. Дискретный аналог области, в которой ищется решение, представляется в виде сетки (см. рис. 13.2), поэтому метод конечных разностей иногда называют методом сеток. Отдельные точки сетки называются узлами. Если шаги сетки Ал и Дг постоянны, то сеточная область (сетка) называется регулярной. В общем случае использование регулярной сетки предпочтительно, но иногда целесообразно использовать и нерегулярные сетки с переменными шагами. [c.385]

Наиболее эффективным и часто используемым методом приближенного численного решения уравнений нестационарной теплопроводности является метод конечных разностей (метод сеток) 6 , который заключается в замене производных в дифференциальном уравнении их приближенным значением, выраженным через разности значений искомой функции [в нашем случае — температуры Т (т, X, г/, г)] в отдельных дискретных точках по координатам и по времени (точки называют узлами сетки). Дифференциальное уравнение в результате такой замены приобретает вид уравнения, связывающего конечные разности искомой функции по времени и по координатам. Решение конечно-разностного уравнения сводится к выполнению несложных однотипных алгебраических операций при переходе от одного узла сетки к другому. [c.49]

После дискретизации области и построения дискретного аналога краевой задачи необходимо оценить сходимость конечно-разностного решения к точному решению исходной задачи, а также получить конечно-разностное решение, т.е. решить систему конечно-разностных уравнений. Реализация этих двух этапов представляет основные принципиальные трудности при практическом использовании метода конечных разностей. [c.387]

До сих пор мы не останавливались на вопросе вычисления производных 5//39, полагая, что они могут быть вычислены точно. Однако при приближенном (численном) интегрировании исходной системы дифференциальных уравнений (3.141) вычисление производных — наиболее тонкое место во всей обратной задаче. Методы вы числения производных можно разделить на две группы. Первая группа — методы универсальные, не связанные со схемой интегрирования. Сюда относится метод конечных разностей (см. разд. 3.5), точность которого не всегда достаточна для успешного проведения минимизации. В работе [108] предлагается для оценки производных использовать план первого порядка в пространстве параметров около точки 0 . Применение этого метода требует, так же как и метод конечных разностей, (р—1) вычисления функции по крайне мере. Пауэлл [118, 119] предложил численный метод оценки градиента, в котором при каждой итерации переоцениваются компоненты лишь в направлении, задаваемом уравнением.(3.171) или G GS = —G h. Здесь 0 — решение уравнения, фиксирующее стационарную точку системы (3.171) h — вектор [t —/ (0 )], i = 1,.... .., N G — вектор 5/(0 )/39 , j = i,. . R. Симплекс-метод [12, 92, 115] не обладает быстрой сходимостью [117, 124], тем не менее он с успехом используется для оценки производных. [c.224]

Будем рещать задачу приближенно с использованием метода конечных разностей. Для этого заменим непрерывную область ее дискретным аналогом - квадратной сеточной областью (рис. 13.8) [c.391]

По сравнению с методом конечных разностей метод модифицированного сопряженного процесса обладает рядом преимуществ [c.173]

Метод проб и ошибок наиболее распространен при решении краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако во многих случаях этот метод поиска начальных условий приводит к задаче с неустойчивым решением. Тогда единственно возможным методом решения краевых задач на АВМ становится метод конечных разностей, приводящий к алгебраическим уравнениям. Моделирование же последних связано с большими трудностями и значительными погрешностями. Поэтому, несмотря на ряд очевидных достоинств, применение аналоговых машин для целей математического моделирования химических процессов из-за указанных причин является весьма незначительным по сравнению с цифровыми вычислительными машинами. [c.12]

Решая это линейное уравнение в конечных разностях методом, приведенным в 12, получим [c.301]

Для решения задач по кристаллизации довольно широко используются различные численные методы [164—166]. Наибольший интерес представляют методы конечных разностей (метод сеток) [167] и элементарных балансов [168]. [c.97]

Трудности аналитического расчета нестационарной теплопроводности вызывают необходимость применения приближенных методов расчета, в частности, метода конечных разностей (метод Шмидта). Сущность метода конечных разностей заключается в том, что производные в дифференциальном уравнении заменяют конечными разностями. При этом непрерьшное изменение температуры заменяется скачкообразным, т.е. реальная температурная кривая превращается в ломаную линию. Стенку толщиной 5 разделяют на N слоев одинаковой толщины Дх = 5/7V, которые нумеруют 1,2,..., (и - 1), п, (п + + 1),. .., (N — 1), N. Поверхность стенки является нулевым слоем. Время, в течение которого рассматривают нестационарную теплопроводность, разбивают на интервалы Дт из условия [c.78]

Сущность метода Биндера — Шмидта заключается в том, что уравнение неустановившегося потока в частных производных преобразуется в уравнение конечных разностей. Рассмотрим плиту (например, кирпич) толщиной Ь (площадь поперечного сечения Р), через которую осуществляется нестационарный теплоперенос. Следовательно, изменение температуры вдоль толщины плиты Ь будет происходить не линейно, а по какой-либо, также изменяющейся во времени, зависимости (рис. 14-1). Толщину плиты Ь можно представить состоящей [c.296]

Приведенные выше нелинейные дифференциальные уравнения не могут быть решены аналитически. Для их решения Лин Шин-лин и Амундсон 3 использовали метод численного интегрирования с применением конечных разностей. Для проверки сходимости и устойчивости решения, а также оценки ошибки округления необходимы контрольные расчеты. [c.287]

Систему уравнений (У1П-367) и (УП1-368) обычно решают методом конечных разностей, получая распределения температур и степени превращения как функции расстояния от входа в реактор. [c.337]

Пользуясь для расчета методом конечных разностей и применяя вычислительную машину. Роз и сотрудники [421 вычислили изменения состава юри адсорбции на неподвижных адсорбентах. [c.154]

Метод Гроссмана заключается в численно-графическом способе решения дифференциальных уравнений, записанных в виде конечных разностей. [c.161]

По этой причине интегрирование методом конечных разностей вблизи 2 = 0 невозможно, и приходится прибегать к аналитическому решению. В решениях, обычно встречающихся в литературе, [c.213]

Явные разностные схемы для интегрирования градиентных систем дифференциальных уравнений. Идея численного интегрирования таких систем состоит в сведении задачи интегрирования систем дифференциальных уравнений к задаче решения систем алгебраических уравнений путем замены производных конечными разностями. В методах этого тида все выражения для оценок можно обобщить формулой [17] [c.214]

Для расчета необходимо иметь график характеристики М компрессора с ветвью, расположенной слева от максимума и даже в области отрицательных расходов. Траекторию, описываемую на плоскости X, У точкой С, можно построить двумя способами 1) методом конечных разностей и 2) методом непосредственного нахождения интегральных кривых. [c.210]

Для решения уравнений в частных производных одним из широко применяемых методов является метод конечных разностей [12—14]. [c.272]

Уравнения (У,13) и (У,14) были решены методом конечных разностей На рис. У-9,а демонстрируются кривые для осесимметричной системы. [c.181]

В связи с этим были даны [29] три упрощенных способа расчета. Первый отличается от точного тем, что в нем для нахождения продолжительности фильтрования применяется метод конечных разностей вместо графического интегрирования во втором используется приближенная линейная характеристика насоса вместо кривой в третьем применяется приближенная двухступенчатая характеристика насоса (кривая заменена горизонтальным и вертикальным участками, соответствующими фильтрованию при постоянных разности давлений и скорости процесса). [c.43]

Созданы и более эффективные, чем такой пристрелочный , методы. В частности, широко используется метод конечных разностей. Проиллюстрируем его на примере решения уравнения второго порядка [c.148]

Теперь легко осуш ествить итерационную программу вычислений Mj, Nj, а затем по ним и у в точках 1, 2,. .., и—1. Создан ряд вариантов сочетания методов конечных разностей и прогонки, когда краевые условия заданы не только в виде чисел, но и в виде функций. [c.149]

Уравнения типа (У.9) относят к параболическим и, как и любые уравнения в частных производных, решают методом сеток. По этому методу всю область изменения г и а делят сеткой (рис. У-1). В узлах сетки рассматриваются функции дискретного аргумента (сеточные функции) на сетке производные заменяют отношением конечных разностей. Точность метода зависит от выбора сетки и способа аппроксимации производных. Координаты узла сетки в точке г/, очевидно, следующие [c.149]

Методом конечных разностей (МКР) и элементов (МКЭ) проведены расчеты напряженного состояния со- [c.283]

Для определения характера прогрева конструкций при пожаре и фиксирования времени достижения критической температуры при различных значениях ijj и Vt может быть использован метод конечных разностей [см. формулы (6.19) —(6.22)]. [c.189]

Для решения системы уравнений (7.83)—(7.96) метод конечных разностей, алгоритм которого рис. 7.12. [c.304]

Методы, в основе которых используется информация о решении в ряде предшествующих точек, называются конечно-разностными методами или методами прогноза и коррекции. В отличие от формул Рунге—Кутта, в этих методах на каждом шаге интегрирования правые части уравнений вычисляются один или два раза, а разность между прогнозированным и скорректированным решениями дает оценку точности интегрирования и можёт быть использована для контроля величины шага. [c.365]

Метод конечных разностей. Пусть имеется линейное дифференциальное уравнение [c.380]

Комбинируя уравнения (4.28)-(4.29), описывали полный цикл работы колонны. Решение дифференциальных уравнений осуществлялось методом конечных разностей. На рис. 4.13 дано сравнение вычисленных значений общей эффективности ступени для обычного и циклического режима. [c.214]

Чтобы найти константы формы (а) кинетического уравнения, которое необходимо исследовать или посредством которого нужно описать имеющиеся данные, требуется применение более сложного метода наименьших квадратов или конечных разностей. [c.80]

Подставляя зависимости (3.118) — (3.119) в уравнения движения (в дифференциальной форме илп в форме принципа возможных перемещений) и используя метод конечных разностей, метод конечных элементов в обычной или модифицированной указанным выше способом форме или еще какой-нибудь метод для дискретизации задачи по прострапственным переменным, придем к системе интегро-диффереициальных уравнений вида [c.131]

Разобьем моделируемую область на блоки шириной АдГг. Тогда уравнение баланса для -го блока в конечных разностях (метод прямых) запишется в виде [c.65]

Течение вокруг газового пузырька также исследовалось с по мощью конечно-разностйого метода [26], причем здесь удалось получить решение до Ке < 200. Обтекание газового пузырька практически безотрывно, и уже при Ке 100 гидродинамические характеристики течения находятся в хорошем соответствии с данными расчетов, выполненными в приближении гидродинамического пограничного слоя [27]. Это обстоятельство позволяет течение во< круг газового пузырька при значениях Ке порядка нескольких де сятков или сотен описывать аналитическими формула.ми теории [c.17]

Уравнения (11,64) и (11,65) следует решать совместно, так как скорость реакции Г зависит от всех у , а также от температуры 1. Можно принять, что исходные вещества всегда находятся в стехио-метрическом соотношении. Ввиду этого последние уравнения можно отнести только к веществу, определяющему скорость реакций, а затем представить их в виде конечных разностей и решить совместно графическим или численным методом. Вместо мольной доли можно ввести степень превращения истодного вещества /. Тогда [c.169]

Это дифференциальное уравнение не поддается аналитическому решению ввиду отсутствия данных о зависимости температур 0 и I2 от длины слоя. Для его рещения Паштори, Шугерл и Бакос воспользовались методом конечных разностей. Слой катализатора был разбит на несколько частей вдоль оси. Тепловой баланс для каждой части имеет вид [c.173]

При расчете по методу Крэнка производные в радиальном направлении заменяются средними конечными разностями в точках I и ( +1) при направлении [c.205]

На рис. ИМ представлена зависимость функций fl и /г от т] здесь же даны численные рещения Фана и Байлье , полученные по методу конечных разностей при X — 0,2. [c.224]

В нашем случае воспользуел1Ся методом прямых, идея которого состоит в замене частных производных конечными разностями и сведении исходного уравнения (уравнений) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, Решение последней может быть выполнено методом, рассмотренным в примере 2, [c.272]

Для решения уравнений в Частных п )6йзвбдн4лх Одййм Из широко прймбЁяе-мых методов является метод конечных разностей [12—14]. Воспользуемся методом прямых, идея которого состоит в замене частных производных конечными разностями и сведении исходных уравнений к системе обыкновенных дифференциальных уравнений [13]. Решение последней может быть выполнено методом, рассмотренным в примере 6. [c.56]

Аналитически решить эту систему уравнений невозможно даже если предположить, что прямо пропорционально нелинейная зависимость Н а от температуры, вероятно, вызовет ряд математических трудностей. Решение можно получить чпсленными методами с этой целью дифференциальные уравнения преобразуют в уравнения конечных разностей и производят ступенчатое решение, при котором на каждой ступени методом последовательных приближений решают уравнения (У,47) и (У,49), объединенные через [c.192]