Матрица Максвелла

Обращаясь к этой матрице, можно с помощью формул (5.52) и (5.53) получить конкретные выражения для элементов матрицы Максвелла [c.72]

В отличие от электрических цепей при расчете потокораспределения в г д. наиболее распространенным и более эффективным в вычислительном плане является переход к контурным уравнениям. В то же время для учета разреженности матрицы более выгодной оказывается узловая форма записи системы уравнений, поскольку для сложных систем заполненность нулями у матрицы Максвелла меньше, чем у матрицы Кирхгофа. Кроме того, структура матрицы Максвелла совпадает со структурой схемы цепи и не зависит от выбора контуров, что упрощает логику алгоритмов упорядочения исключения переменных. [c.116]

Таким образом, имеем систему уравнений в узловой форме с симметрической матрицей Максвелла. Однако правые части этих уравнений представлены здесь не в ввде небалансов расходов в узлах, что требуется в случае стандартной схемы метода узловых давлений (см. гл. 5), а как преобразованные контурные невязки. [c.118]

Сравнение точных значений диффузионных потоков, вычисленных по уравнению Стефана — Максвелла (2.85), с приближенными их значениями по уравнению (2.104) в широком диапазоне изменения бинарных коэффициентов диффузии показывает, -что высокая точность расчета при помощи линеаризованного уравнения диффузии (2.102) достигается в том случае, когда практические коэффициенты диффузии или элементы матрицы [О] определяются на основе среднеарифметических концентраций компонентов по длине пути диффузии [28]. Аналогичный вывод получен при сравнении результатов расчета нестационарной диффузии по уравнению (2.103) для потока, текущего на плоской пластине, пои точ- ном решении данного уравнения, или в условиях его линеаризации [29]. [c.62]

Учение о скорости химических реакций становится все более важным разделом химии, имеющим как теоретическое, так и практическое значение. Характерным для современного этапа развития химической науки является количественное изучение скоростей химических реакций и детальное изучение их механизма. В этом отношении большим преимуществом обладают реакции, протекающие в газовой фазе, свободные от влияния окружающей среды, будь то растворитель в случае жидкофазных реакций или твердая матрица. Каждую элементарную реакцию, протекающую в газовой фазе, в хорошем приближении можно трактовать как взаимо,-действие реагирующих частиц между собой, не осложненное возмущающим влиянием окружающих молекул. По этой причине теоретическое рассмотрение динамики элементарного химического акта обычно оказывается близким к наблюдаемому на опыте процессу. И вполне естественно, что теория, какой бы несовершенной она еще ни была, оказывается наиболее эффективной в трактовке химических процессов в газовой фазе. Вызываемое реакцией нарушение максвелл-больцмановского распределения энергии, оказывающее обратное влияние на течение реакции, допускает наиболее ясную трактовку также для газофазных реакций, в случае которых эти нарушения проявляются особенно ярко. Совместное рещение химических и релаксационных уравнений, необходимое для учета протекания реакций в неравновесных условиях, практически осуществимо лишь для газовой фазы. [c.5]

Неполярные полимерные материалы, содержащие в небольшом количестве полярные примеси (остатки катализатора, стабилизаторы), можно рассматривать как композиционные материалы. Если такая примесь имеет значительную электрическую проводимость, то в таком полимерном материале наряду с релаксационными потерями, свойственными полимеру и примеси, будут еще релаксационные диэлектрические потери, вызванные поляризацией неоднородного диэлектрика (поляризация Максвелла— Вагнера). Если включения проводящего вещества обозначить индексом 1, а полимерную матрицу индексом 2, то при [c.125]

В аннотации к обзору Дуга [1] подчеркивается, что многочисленные модификации уравнения Рэлея — Максвелла и попытки распространить его действие на системы, не соответствующие тем основным положениям, на которые опирается вывод этого уравнения (разбавленные дисперсии, в которых свойства обоих компонентов мало отличаются друг от друга, а дисперсные частицы не взаимодействуют друг с другом), делают получаемые выражения полуэмпирическими корреляционными уравнениями, для которых необходимо экспериментально определять примерные значения функции распределения. При теоретическом анализе явлений проводимости в композиционных твердых средах общим и неизбежным является допущение полного геометрического порядка в распределении фаз. Предполагается, что волокна распределены в матрице равномерно, на одинаковом расстоянии и параллельно друг другу. Однако реальные композиционные материалы, получаемые в результате выполнения целого комплекса технологических операций, имеют структуру, значительно отличающуюся от наших представлений об идеальной модели. Микроскопические исследования реальных композиционных материалов достаточно убедительно показывают неравномерное распределение волокон, отклонение от взаимной параллельности волокон и наличие пористости. Кроме того, недостаточные знания свойств самих волокнистых наполнителей и матриц в свою очередь накладывают дополнительные ограничения на возможности применения теоретических уравнений для прогнозирования теплофизических свойств композиционных материалов. [c.294]

Возникновение и релаксация напряжений в полимерной матрице (модель Максвелла) [c.79]

Расчет матриц коэффициентов многокомпонентной диффузии для паровой фазы может быть выполнен на основе уравнений Максвелла— Стефана. В отношении же жидкой фазы в настоящее время пока еще нет достаточно отработанных методик. [c.267]

Выражая частотные зависимости Я", на основе уравнений Максвелла или Фойгта, включающих средние времена релаксации, и принимая, что они для матрицы и межфазного слоя примерно одинаковы (абсолютно неверное утверждение ), можно проанализировать вклад межфазного слоя в положение максимума потерь композита. Знак выражения (6.57) зависит главным образом от члена (9 /9а))ци (9т1/9со)щ=ц. Первый член всегда положителен, в то время как знак второго зависит от относительного положения температуры стеклования слоя. При Г ,- > соблюдается соотношение (О ,- > ы м-Это означает, что потеря межфазного слоя достигает максимума при частоте меньшей, чем и начинает уменьшает даже в том случае, когда не достигло максимума (рис. 6.14). [c.187]

В п. 1 данного раздела (см. табл. 9.2, ГЦ-4) была приведена информация, отражающая факт высокого быстродействия в благоприятных условиях метода увязочного типа, которая в очередной раз объясняет причину широкого их использования. Вместе с тем там же имеются данные (см. ГЦ-3, ГЦ-6), указывающие на крайнюю неэффективность МКРУ по сравнению с методами, в которых используются все элементы матриц Максвелла. Однако заранее, до расчета, чаще всего неясно, какой же метод следует применять, поскольку не существует пока формальных правил или критериев, априори обеспечивающих рациональный выбор того или иного метода. Конечно, опираясь на информацию о параметрах цепи, о процедурах подготовки ее к расчету, можно сделать некоторые качественные вьшоды (типа плохо — хорошо ) о будущем поведении метода. Но подтвердить правильность выбора метода, осуществленного на основе зтих выводов, может лишь ход реального вычислительного процесса. [c.122]

Таким образом, в общем случае данные системы линеаризованных (контурных или узловых) уравнений, получаемые на каждом шаге процесса, необходимо решать в полном виде, но с обязательным учетом разреженной (слабозаполненной ненулевыми элементами) структуры матриц коэффициентов этих систем. Дело в том, что формальное использование методов линейной алгебры (методов исключения Гаусса, окаймления и др. [57, 235, 239]) применительно к полным матрицам Кирхгофа и Максвелла требует выделения порядка или т — 1) ячеек оперативной памяти ЭВМ (или половины этого объема), что вряд ли допустимо при сит, равных нескольким сотням. К тому же это приводит к чересчур длительному счету из-за необходимости обработки и нулевых элементов, которые составляют в этих задачах более 90%. [c.116]

Исследование тепло- и электропроводности композиций имеет длинную предысторию. Ко времени, когда Кернер [472] рассмотрел литературные работы и предложил свою теорию, тепло- и электропроводность композиций, наполненных порошкообразными наполнителями, изучали в течение более 60 лет. Действительно, одно из ранних исследований было выполнено лордом Рэлеем [554], который анализировал проводимость матрицы с кубической упаковкой сфер. Несколько позднее Максвелл предложил выражение для электропроводности беспорядочно расположенных сфер в непрерывной среде это выражение было также использовано при выводе соотношения для проницаемости (разд. 12.1.3.1). Позднее в развитие теории, применимой к полимерным композициям, внесли вклад такие исследователи, как Брукман [136], Фрике [294], Петерсон и Германе [725], Беренс [82], Ченг и Вахой [179], Сяо [945] и Гамильтон и Кроссер [359]. Проблема была недавно рассмотрена в обзорах Сандстрома и Чена [899] и Эштона и др. [41]. [c.350]

Основной причиной возникновения остаточных напряжений на границе контакта связующего с наполнителем является происходящая в процессе отверждения и последующего охлаждения усадка полимерной матрицы, которая существенно отличается от тем-лературной усадки наполнителя, связанного с матрицей адгезионной связью. Процесс нарастания усадочных напряжений в полимерном связующем (оус) на границе раздела ее с наполнителем может быть описан уравнением Максвелла [36—38 39, с. 160] [c.56]

На рис. 1, а приведены две теоретические кривые статической ё смеси, рассчитанные по теории Максвелла — Вагнера. Кривая 8 — штрих-пунктирная (см. рис. 1), получена в предположении, что исследуемые системы представля-1(1Т собой проводяш,ие матрицы (электролит) с непроводяш,ими включениями. Очевидно, что эта модель удовлетворяется лишь при высоких частотах (200 кгц) для суспензий кварца и талька. Кривая 9 — штриховая (см. рис. 1), учит1,1вает возможность экранирующего действия двойного слоя, существующего на поверхности включений. Полагая, что двойной слой обладает повышенной проводимостью по сравнению со свободным раствором электролита, мы получаем систему, в которой проводящие частицы (им можно, следовательно, приписать е = оо) погружены в непроводящую среду (электролит). [c.38]

Формула (1) выведена для смеси, представленной проводящей матрицей с непроводящими включениями при любой концентрации последних. Расчет по формуле (1) дает для е смеси при б = 0,6 значение, близкое к 30 СОСЕ. Аналогично по формуле Фрике — Максвелла для сфер расчитывается электропроводность смеси. Получаем, что х должна равняться [c.41]

Большие значения низкочастотного инкремента диэлектрической проницаемости в диапазоне О < б < 0,8 могут быть объяснены в рамках теории поляризации диффузной части двойного слоя. Эта теория [6] развита для объяснения гигантской дисперсии диэлектрической проницаемости, наблюдаюш ейся в дисперсиях с проводящей матрицей. Механизмом, контролирующим время установления столь сильной поляризации (с низкочастотным пределом е до 10 , в зависимости от концентрации электролита и заряда частицы), является диффузионный перенос ионов в области электролита, прилежащей к частице, на расстоянии порядка радиуса частицы а. Характерная циклическая частота такого процесса ю — Dla , где D — коэффициент объемной диффузии ионов. Для частиц радиуса а 1 жк частота / = со/2я = 320 гц. Так как низкочастотный предел значений диэлектрической проницаемости исключительно высок, то и при частоте, на порядок большей, чем характерная, должно реализоваться достаточно большое отклонение е системы от рассчитанной в рамках теории Максвелла — Вагнера [7]. Так, для б = 0,15, а=1.мки /=2 кгц, расчет е, основанный на результатах работы [6] в предположении, что штер-новский потенциал двойного слоя равен 125 мв (это примерно согласуется с экспериментальными данными работы [8]), дает величину е, равную 150, т. е. порядка наблюдавшейся в эксперименте (см. рис. 1, а). [c.47]

При анализе динамических механических свойств возникает проблема разрешения релаксационных максимумов, поскольку в большинстве случаев наблюдается только один смещенный максимум tgб. Казалось бы, что большое различие свойств между граничными (межфазными слоями и полимерной матрицей должно было бы приводить к появлению двух температур стеклования. Теоретический анализ этой проблемы в рамках представлений о межфазном слое, характеризующемся своей собственной температурой стеклования, и основанный на анализе частотных закономерностей механических потерь, был проведен Теокарисом [451] с учетом уже развитых им представлений и с использованием моделей Максвелла и Фойгта. [c.186]

Методы, которые" позволяют уменьшить объем" вычислений (или вовсе их исключить) по методу последсвательных приближений, обычно встречающиеся при использовании уравнений Стефана-Максвелла для многокомпонентгой диффузии, были предложены Уилки [67], Туром [61, 62] и Шайном [53]. Эти методы описаны в Приложении к настоящей главе. За исключением частных случаев, отмеченных авторами, они дают результаты, которые близко совпадают с точными решениями однако широкой проверки упомянутые методы не получили. Тур [63, 64] нашел решения линеаризованных уравнений, применяя матрицы. По-видимому, Хеллунд [30] является единственным, кто рассматривал нестационарную диффузию в многокомпонентной газовой смеси. [c.78]

В ядерном магнитном резонансе аналог рассматриваемой ситуации — это обмен протонов, который хорошо описывается модифицированными уравнениями Блоха (работа Гутовского и др. [64]). В дальнейшем мы будем обозначать их ГМС, или уравнениями Хана — Максвелла — Макконнелла (ХММ) [73, 74]. Хотя эти уравнения являются полуклассическими уравнениями для скорости, хорошо известно, что они связаны с квантовомеханическими уравнениями для матрицы плотности [75—77]. Этот вопрос здесь детально не обсуждается, однако полезно использовать формализм матрицы плотности, для того чтобы показать связь между величинами, фигурирующими в уравнениях ГМС, и квантовомеханическими переменными, описывающими мессбауэровское поглощение [78]. [c.461]

Таким образом, этом требуется знать f -мерный вектор коэффициентов диффузии Dij. Учёт взаимного влияния компонентов при переносе переводит (261) в уравнения Максвелла-Стефана, в которых Dj i — матрица с ненулевыми коэффициентми при i Ф 3, зависящими как от коэффициентов взаимной диффузии каждой пары компонентов, так и от коэффициентов активности. Кроме того, взаимное влияние компонентов требует дополнительного условия для разрешимости (261), например 1- Заметим, что взаимное влияние потоков аналогично перекрёстным эффектам, а соответствующие коэффициенты диффузии связаны с феноменологическими коэффициентами Ьц. [c.97]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология