Лапласа—Пуассона уравнение

Рис. 3-30. Схема расчета методом релаксации дли уравнения Лапласа—Пуассона.

Если мы имеем задачу теплопроводности с внутренними источниками тепла, то вместо уравнения Лапласа используется уравнение Пуассона. Переход к конечным разностям осуществляется аналогичным описанному выше путем. Двумерное уравнение Пуассона имеет вид [c.226]

Только что рассмотренный метод дает возможность вывести дифференциальные уравнения для потенциала, соответствующие любому данному распределению физических границ и неподвижных или подвижных зарядов. Вообще, как будет показано, необходимо делить раствор на несколько различных областей, в каждой из которых применимо или уравнение Лапласа или уравнение Пуассона. Тогда решения этих уравнений, так же как решение любого дифференциального уравнения, зависят от условий, которым подчиняются соответствующие параметры на границах областей, где применяются данные уравнения. [c.522]

При таких условиях решения уравнения Лапласа и уравнения Пуассона—Больцмана становятся, естественно, весьма сложными. Один из вариантов представляет собой суперпозиция решений, получен[ ых для индивидуальных зарядов, т. е. в случае уравнения Лапласа [ср. с уравнением (26-21)] [c.540]

Статические электрические поля описываются уравнением Пуассона для потенциала Дф = -Pj/eg или его частным случаем (при Рэ = 0) -уравнением Лапласа. Уравнение Пуассона относится к внутренним областям пространства с распределенными зарядами или токами (источниками) области, не содержащие источников, подчиняются уравнению Лапласа. [c.76]

Уравнения Лапласа и Пуассона имеют бесчисленное множество частных решений для выбора решения, характеризующего искомое распределение потенциала в коррозионной среде, необходимо задать граничные условия. [c.25]

В замене уравнения Пуассона условием электронейтральности (69-4) исходя из большой величины Р г. Таким образом, электронейтральность не предполагает справедливости уравнения Лапласа для потенциала [c.262]

НИЮ фаз могут быть выделены модели дисперсные, слоистые и слоисто-дисперсные. Среди дисперсных пород и их моделей следует различать матричные и статистические, которые могут быть рассчитаны путем решения дифференциальных уравнений для электропроводности, диффузии, теплопроводности и других параметров с соблюдением граничных условий для потенциальных функций на поверхностях раздела фаз. Этот способ расчета моделей назван нами потенциальным. Потенциальный способ расчета электропроводности моделей горных пород заключается в том, что путем решения дифференциальных уравнений Лапласа или Пуассона определяется распределение потенциальных полей в каждой из фаз горных пород. При этом учитывается [c.53]

Уравнение Лапласа применимо в областях пространства, не имеющих зарядов. В областях пространства, характеризующихся непрерывным распределением заряда с плотностью р (которая обычно является функцией координат), потенциал находится из уравнения Пуассона [c.520]

Естественно, что электростатическая задача теперь решается в трех отдельных областях пространства, как это видно из рис. 132. Уравнение Лапласа применимо к области I, внутри центрального иона, и к области II, которая состоит из растворителя с диэлектрической проницаемостью О, но не содержит подвижных ионов. Поверхность между этими областями имеет равномерную плотность заряда а= /4л/ с, где д—заряд центрального иона. Область III содержит подвижные заряды, и поэтому в ней применимо уравнение Пуассона. Для того чтобы решить это уравнение, необходимо предварительно найти распределение подвижных ионов, т. е. определить р как функцию положения этих ионов. Очевидно, что такое распределение будет неоднородным. На большом расстоянии от центрального иона усредненная по времени плотность заряда и потенциал равны нулю, и концентрации положительных и отрицательных ионов будут одинаковыми. Эти концентрации представляют собой валовые концентрации таких ионов в растворе, и мы их будем обозначать числом N ионов в 1 сж . Однако вблизи центрального иона концентрация положительно заряженных подвижных ионов отличается от концентрации отрицательно заряженных ионов, причем первая величина будет больше в том случае, если центральный ион несет отрицательный заряд, и меньше, если он несет положительный заряд. [c.524]

Принципиально, при расчете не возникает никаких новых затруднений. Неподвижные заряды рассматривают как особые точки, как это объяснено в разделе 26а, так что в области 1 (рис. 135) применимо уравнение Лапласа, причем дискретные заряды исключаются из данной области. Уравнение Лапласа применимо также в области II, а уравнение Пуассона—Больцмана [уравнение (26-15)] применимо в области III при тех же предположениях, что и в теории Дебая—Хюккеля. Однако теперь заряды не распределены сферически симметрично, так что и потенциал поля тоже асимметричен. Таким образом (в сферической системе координат, необходимой для этой модели), для следует пользоваться уравнением (26-5). [c.540]

Характерный признак плазмы—высокая степень ионизации газа, в предельных случаях доходящая до полной ионизации всех нейтральных частиц газа. Второй характерный признак плазмы концентрации положительных и отрицательных заряженных частиц в плазме почти равны между собой, и результирующий пространственный заряд практически равен нулю. Последнее обстоятельство приводит к тому, что для плазмы уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа [c.283]

Важной особенностью любой однородной среды, содержащей подвижные заряженные частицы, является ее способность сохранять макроскопическую электронейтральность. Эта способность непосредственно вытекает из одного из фундаментальных уравнений электростатики — уравнения Пуассона, связывающего вторую пространственную производную электростатического потенциала Аф (А — оператор Лапласа) с плотностью объемного электрического заряда р [c.39]

Для использования дифференциального уравнения (IV, 4) вовсе нет необходимости знать абсолютное количество теплоты, содержащейся в теле. Необходимо только уметь измерять количество теплоты, получаемой (отдаваемой) телом. Поэтому и после крушения гипотезы теплорода (Пуассон был ее убежденным сторонником) математический аппарат, использованный Пуассоном (и Лапласом), применялся для вывода следствий из обоих начал термодинамики. На современной термодинамике, как и на электростатике, сказываются работы Лапласа и Пуассона [18]. Но вернемся к уравнению (IV, 5). [c.68]

По уравнению (IV, 19), выведенному Лапласом, можно вычислить отношение ср/с . Но вывод, данный Лапласом, был связан с гипотезой о вещественной природе теплоты и гипотезами о действии притягательных и отталкивательных молекулярных сил. Поэтому следует предпочесть вывод Пуассона, связанный с единственным допущением теплота — свойство системы. [c.70]

Отношение ср/с можно было вычислить или по уравнению Лапласа (IV, 19), располагая экспериментально измеренным значением скорости звука в воздухе, или по уравнению Пуассона (IV, 14), располагая экспериментальными данными, полученными Дезормом и Клеманом. [c.105]

Вывод уравнения Лапласа был связан с гипотезой о вещественной природе теплоты вывод уравнения Пуассона —с предположением, что теплота — свойство системы. Майер не мог принять гипотезу Лапласа, не мог согласиться с предположением Пуассона, но значением Ск, вычисленным по этим уравнениям, Майер воспользовался. [c.105]

Вследствие того что функция (2,1) удовлетворяет уравнению Пуассона с точечным источником, уравнение (22) можно значительно упростить, подействовав на обе его части дифференциальным оператором Лапласа [c.155]

Выразим потенциал и оператор Лапласа через полярные координаты г, 0 и ф, тогда уравнение Пуассона можно записать в виде [c.14]

Ниже будет показано, при каких условиях оправдан переход к одномерному приближению. Физический смысл этого приближения состоит в том, что поверхностную реакцию мы заменили эффективной объемной реакцией и от уравнения Лапласа (7.2) перешли к уравнению Пуассона (7.8). Решение (7.8) имеет вид [c.215]

Для среды с наиболее простой структурой - однородного, изотропного и неограниченного во всех направлениях объемного проводника — решения уравнений Пуассона и Лапласа для потенциалов известны, они могут быть получены, в частности, путем соответствующих упрощений из (3.65), (3.68) и (3.69) [c.167]

В уравнениях (99) и (100), описывающих температурное поле муссона, содержится член хЧ, благодаря которому они отличаются от легко интегрируемых уравнений Пуассона и Лапласа. Для случаев сложной береговой линии интегрирование их невозможно впредь до постройки специального интегратора. [c.574]

В сороковых годах XIX в. станет ясно, что открытие первого начала могло произойти в любое время после 1823 г. Уравнение состояния газа было установлено. Гей-Люссак провел свой опыт. Деларош и Берар измерили теплоемкость воздуха при постоянном давлении. Пуассон вывел уравнение для отношения Ср/с,.. Дезорм и Клеман провели свой опыт. Лаплас вывел уравнение для скоро- [c.72]

Для определения коэффициента эффективности токоотвода электродов совместно с токовыводящимп частями должны быть решены совместно уравнения Пуассона (для области электродов) и Лапласа (для токовыводящих частей), В ряде случаев может быть рассчитано (или замерено) сопротивление токовыводящих частей и найден для них коэффициент эффективности (токовыводов) [c.182]

Ионная бомбардировка представляет собой,, несомненно, наиболее сильный и эффективный метод электризации твердых частиц, однако селективность этого метода практически равна нулю. Если объединить этот процесс с электризацией методом индукции, то селективность такого комбинированного метода будет очень хорошей. Электризация с помощью подвижных ионов в действительности не является электростатическим процессом, хотя обычно этот термин применяют для описания любого процесса обогащения с использованием электрического поля высокого напряжения. В последние годы термин высокое напряжение стал благодаря постоянному употреблению общепринятым названием таких процессов, включая и ионную бомбардировку. В процессе высокого напряжения подвижные ионы образуются у светящегося электрода, который является причиной коронного разряда и, служа источником подвижных ионов, одновременно сообщает им и направление. Если диэлектрическую и проводящую ча-, стицы поместить на пути подвижных ионов, то часть поверхности каждой частицы получит сильный электрический заряд. На проводнике этот заряд перераспределится почти мгновенно, тогда как на непроводнике перераспределение такого же заряда будет чрезвычайно медленным. Если на заземленную поверхность на пути заряженных ионов поместить группу заряженных частиц, то будет обнаружено, что при преграждении движения подвижных ионов частицы проводника свободно покинут заземленную поверхность, заряд их уйдет в землю. С другой стороны, диэлектрики, или частицы непроводника, которые неспособны быстро терять свой заряд, удержатся иа поверхности своей собственной силой отражения. Теория электростатического отражения дает только метод рещения уравнений Лапласа и Пуассона путем рассмотрения условий симметрии. Другими словами, процесс будет описываться этими уравнениями, если принять, что частица равного и противоположного заряда становится в положение зеркального изображения по отношению к заземленной поверхности и данной частице. Сила этого отражения Р= = QQj/4яeo(2s)2, где Q=Q —полный поверхностный заряд на минерале 5 — расстояние от заряда до заземленной поверхности ео —сила ионного поля. [c.367]

Первые три члена уравнения 9) были даны Пуассоном в 1831 г., а первые два члена правой части уравнения (10) для более широких трубок были предложены Лапласом в 1805 г. Бозанкэ вычислил поправки для трубок умеренной ширины, пользуясь методом приближения, отличным от метода Башфорта и Адамса. Портер произвёл дальнейшие расчёты поправок. [c.473]

В сороковых годах XIX в. станет ясно, что открытие этоги закона могло произойти в любое время после 1823 г. Уравнение состояния газа было установлено. Гей-Люссак провел свой опыт. Деларош и Берар измерили теплоемкость воздуха при постоянном давлении. Пуассон вывел уравнение для отношения ср/с ,. Дезорм и Клеман провели свой опыт. Лаплас правильно объяснил опыт Дезорма и Клемана. Вычисление (dPIdv) по уравнению Пуассона стало возможным. Вся подготовительная работа для открытия закона была выполнена. Нехватало только одного—понимг -пия смысла полученных результатов. [c.73]

Почти одновременно с Юнгом (в 1805 г.) Лаплас развил общую теорию капиллярных явлений и вывел уравнение для расчета кривизны поверхности жидкости в капиллярах. Лаплас показал, что Это искривление, которое, в свою очередь, зависит от характера смачивания твердой поверхности, и создает дополнительное давление, вызывающее подъем смачивающей жидкости в капилляре. Работы Юнга и Лапласа являются классическими в учении о смачивании и широко используются и в наши дни. В основе этих работ лежит использование нринципов механики и гидростатики. Важные результаты в этом направлении получили Гаусс и Пуассон (первая половина XIX в.). [c.8]

Волков Е, А, О дифференциальных свойствах решений краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона на прямоугольнике,— Труды Мате.м. ин-та -нм. Отеклова, 77, 1905, с. 89—112. [c.344]

Задача решалась приближенным конечно-разностным методом, предложенным М. Г. Слободянским [20] и В. Н. Фаддеевой [21] для решения уравнений Лапласа и Пуассона, также — в первой из цитированных статей — для решения бигармонического уравнения. Это — так называемый метод прямых , представляющий собой видоизменение метода сеток, при бесконечно малом значении одного шага и конечном значении другого шага. [c.72]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология