Стационарные состояния, критерии устойчивости

Термодинамические критерии достижения и устойчивости стационарных состояний [c.338]

Теория Гленсдорфа—Пригожина для процессов, далеких от термодинамического равновесия, содержит 1) общий критерий эволюции для стационарных состояний, далеких от равновесия 2) построение термодинамических потенциалов, характеризующих эти состояния 3) анализ устойчивости этих состояний. [c.76]

Рассматривая проблему устойчивости с инженерных позиции, мы неоднократно будем пользоваться конкретными моделями реакторов. Обзор наиболее распространенных моделей приведен в гл. I. Множественности стационарных состояний посвящена гл. П. В ней выводится также критерий единственности. Интерпретация понятий стационарное состояние и устойчивость дается в гл. П1 и IV. Устойчивость при наличии конечных возмущений исследуется в гл. V. [c.10]

В соответствии с упомянутым критерием стационарное состояние будет устойчиво только в случае отрицательной определенности собственных значений матрицы [c.385]

Отсюда следует, что употребление функций, свойственных данному рангу для характеристики систем иного ранга, недопустимо и приведет только к недоразумениям. Действительно, система, например, третьего ранга, т. е. поток стремится к стационарному состоянию, когда производство энтропии приближается к минимуму при этом энтропия может даже уменьшаться. Используя энтропию, мы не получим надежного критерия устойчивого состояния систем третьего ранга, В то же время стационарное состояние обладает устойчивостью и система, будучи выведена из него, опять переходит в это состояние. [c.26]

Устойчивость статических режимов сегрегированных процессов 166 Основные понятия и критерии устойчивости 166 Условия единственности стационарных состояний 173 Устойчивость состояния равновесия 177 [c.4]

В ряде случаев (например, для сложных сильно экзотермических процессов), как показывает анализ, возможен ряд стационарных состояний, т. е. приведенные здесь критерии единственности не выполняются. В связи с этим рассмотрим математические методы, позволяющие установить, какие из решений будут устойчивы. [c.162]

Критерий устойчивости реактора, основанный на уравнениях стационарного состояния, был введен Уилсоном в 1946 г. Было показано, что малые изменения степени превращения могут вызывать быстрое увеличение температуры, если [c.293]

Бергер и Лапидус применили этот критерий к каждому из трех стационарных состояний частного примера, приведенного на рис. VI-10, и убедились, что первое и третье стационарное состояние устойчивы. Относительно промежуточного состояния никакого вывода сделано не было, так как нарушение достаточного условия делает задачу неразрешимой. Авторы расширили область применения данной методики, распространив ее на более общие случаи, включая связанные уравнения с различными числами Льюиса. Полученные при этом численные результаты неубедительны. [c.185]

Традиционно для описания и анализа функционирующей реакционноспособной системы используют прямые кинетические методы, суть которых состоит в написании и решении специфической для изучаемого процесса системы дифференциальных кинетических уравнений. Очевидными достоинствами прямых кинетических подходов к описанию термодинамически неравновесных процессов являются детально отработанные алгоритмы получения и решения кинетических уравнений, удобные критерии устойчивости кинетических систем, а также возможность описания различных специфических динамических эффектов, таких как множественность стационарных состояний, возможные осцилляции скорости сложных химических реакций, предельные циклы , бифуркации, хаотические режимы протекания реакции и т.п. Следует, однако, подчеркнуть, что необходимым условием адекватности результатов, получаемых прямыми кинетическими методами, являются справедливость априорных представлений о схеме исследуемых химических превращений и достаточно точное знание констант скоростей отдельных элементарных стадий. [c.291]

В неравновесных динамических системах диссипативного типа устойчивость связана с существованием стационарных состояний если отклонение от равновесия невелико, то критерием устойчивости может служить производство энтропии, достигающее в стационарном состоянии минимального значения. Если система сильно отклонилась от равновесия, то трудно указать критерии устойчивости в отдельных случаях система способна вращаться вокруг стационарного состояния, периодически изменяясь. При этом могут возникать как временная, так и пространственная упорядоченности в исходно однородной системе. По мере усложнения диссипативных систем и перехода к предбиологическим и биологическим энергетические критерии устойчивости утрачивают свое значение в том смысле, что потоки энергии и массы все в большей степени контролируются кодовыми механизмами. [c.342]

Данный критерий устойчивости стационарного состояния справедлив для открытых систем, где происходят любые термодинамические процессы, которые характеризуются связанными соотношением взаимности Онзагера потоками и обобщенными термодинамическими силами Л . Покажем это. [c.343]

Общие критерии устойчивости стационарных состояний [c.351]

При нахождении термодинамических критериев устойчивости стационарных состояний вдали от термодинамического равновесия основной задачей является анализ термодинамических сил, возникающих в системе при отклонении от этого состояния, если система находится в устойчивом стационарном состоянии, то при отклонении от этого состояния в ней должны возникнуть силы, стремящиеся вернуть систему в первоначальное положение. [c.351]

С позиций термодинамики стационарные состояния, расположенные на участке / кривой рис. 18.2, при малых отклонениях а от устойчивы в силу теоремы о минимуме скорости производства энтропии в таких состояниях. При дальнейшем удалении от точки равновесия а = мы можем выйти за пределы применимости линейной термодинамики, оставаясь тем не менее еще на термодинамической ветви, описываемой, например, функционалом стационарного состояния типа положительно определенной функции Ляпунова (см. разд. 18.4.2). При этом для термодинамического анализа устойчивости состояния необходимо использовать критерий устойчивости стационарных состояний (18.1) по положительному характеру избыточной диссипации энергии ЪР. Согласно этому критерию все состояния на термодинамическом участке 1 кривой л (а) до точки бифуркации а (а < а < а ) устойчивы [c.371]

Согласно эволюционному термодинамическому критерию (18.5) в стационарном состоянии потенциальная функция D x) принимает минимальное значение, при этом ее вторая производная положительна в устойчивом стационарном состоянии. Поэтому если знак первой производной правой части (18.21) в стационарной [c.375]

Во всех точках верхней и нижней ветвей 5-образной кривой б значения производных правых частей соответствуюших дифференциальных уравнений отрицательны, а для промежуточного участка положительны. Таким образом, термодинамические критерии устойчивости стационарного состояния совпадают с соответствующими математическими признаками. При этом значению управляющего параметра а, которому соответствует кривая а на рис. 18.3, отвечает только одно устойчивое стационарное состояние, а значению а, описывающему кривую б, — два (I — верхняя и II — нижняя ветви кривой б). Очевидно, что можно найти и бифуркационное значение параметра а. Это значение соответствует ситуации, при которой последовательная трансформация 8-образной кривой у А, а) из вида а в б впервые приводит к Л (х, а )/ёЛ -> оо или ё х, а )/ёх -> оо. [c.376]

Программа расчета тепловой устойчивости включает в себя нахождение координат равновесных состояний и вычисление критериев устойчивости Рауса— Гурвица для каждого из найденных состояний. Число и местоположение равновесных точек определяется взаимным расположением линий тепловыделения и теплоотвода и находится с помощью численных методов решения приведенной системы уравнений для стационарного режима [2, 3]. [c.177]

В системах, находящихся вблизи равновесия, главными становятся результаты, полученные с помощью соотношений Онзагера в области энергетического сопряжения. В системах, находящихся вдали от равновесия, термодинамика сталкивается с проблемой поиска критериев эволюции и устойчивости стационарных состояний. В этой области термодинамика уже целиком основана на исходных математических моделях и ее результаты могут служить лишь дополнительной иллюстрацией для понимания особенностей динамического поведения открытых систем. Это в полной мере относится к автоколебательным процессам, триггерному переключению системы из одного режима в другой и, наконец, к процессам самоорганизации. Все эти вопросы включены в разделы, посвященные проблемам нелинейной термодинамики. [c.119]

В зерне катализатора может возникнуть множество стационарных состояний. Однако установлено, что в промышленных аппаратах в большинстве случаев условия множественности режимов на зерне не реализуются, они возможны только для очень сильно экзотермических процессов. В реакторах с охлаждением множественные состояния исчезают. Такие явления подробно исследованы в работах [240-242]. Критерий Льюиса не влияет на стационарное состояние, но сильно влияет на его устойчивость. Для сокращения машинного времени применяют также двухфазную модель, не учитывающую градиенты температуры и вещества в твердой фазе (твердую фазу принимают как сплошную [243- 246]) и включающую обмен веществом и теплом между газовой и твердой фазами. В работах [247, 248] установлено, что для расчета критических явлений зажигания и потухания, необходимо учесть распределение скорости потока по сечению (рис. 3.54). Учет неоднородности потока приводит к тому, что максимум температуры перемещается к входу реактора по сравнению с расчетом по модели идеального вытеснения (рис. 3.55). Однако следует отметить, что все результаты получены в коротких реакционных зонах. Для длинных реакционных зон и больших значений критерия Ре результаты расчета слабо зависят от критерия Ре и близки к решению уравнений по модели идеального вытеснения [249]. [c.175]

Мы хотим дополнить этот кинетический критерий термодинамическим, который даст нам достаточное (а в некоторых случаях и необходимое) условие устойчивости и стационарных состояний, и процессов, зависящих от времени. Основное преимущество такого обобщения термодинамической теории устойчивости на неравновесные случаи заключается в более физическом подходе к изучению механизма устойчивости. [c.69]

Этот результат позволяет ввести приращение (АЯ)з1 в критерий устойчивости (7.62). Таким образом, получается другое интересное доказательство теоремы о минимуме производства энтропии (разд. 3.4). Действительно, видно, что производство энтропии в возмущенном состоянии всегда больше, чем в рассматриваемом стационарном состоянии. [c.94]

Таким же образом, из критерия эволюции (9.14) можно вывести и полную теорию устойчивости неравновесных стационарных состояний по отнощению к малым возмущениям. Этот метод дает те же результаты, которые уже были получены в гл. 7. Поэтому мы не будем рассматривать его более подробно. [c.116]

Стационарное состояние открытой системы может быть близким или далеким от равновесия, может быть устойчивым или неустойчивым. В свою очередь нестационарное состояние может быть близким или далеким от стационарного. Как мы увидим (гл. 9), термодинамические подходы к анализу открытых систем, близких или далеких от равновесия, различны. При этом вводятся строгие количественные критерии близости или удаленности. Целый ряд фактов свидетельствует о том, что биологические системы далеки от равновесия. Биологическое развитие возможно лишь в далекой от равновесия системе. [c.18]

Очевидно, что возникновение динамического порядка определяется неустойчивостями равновесных и стационарных состояний системы. Рассмотрим соответствующие критерии устойчивости. [c.327]

Анализ термодинамических критериев эволюции и стабильности подтверждает напратвлепный характер и устойчивость конечного состояния про-цесса селекции в модели Эйгена. Анализ термодинамических свойств автока-талитических уравнений, описывающих динамику превращений в гиперциклах Эйгена, провести труднее в силу нелинейного характера кинетики. Оказывается, что для двух- и трехчленных циклов стационарное состояние асимптотически устойчиво, в то время как стационарная точка четырехчленного цикла представляет собой центр , т. е. находится на грани устойчивости. Пятичленный цикл дает неустойчивое стационарное состояние с возможностью выхода из него на траекторию предельного цикла [85]. [c.312]

На рис. 2.9 представлен фазовый портрет решений с тремя стационарными состояниями. При этом стационарные состояния А а С устойчивы, а В неустойчиво (седло). Когда величина критерия Льюиса превышает критическое значение Ь у (для рассматриваемого случая Ьш = 3,21) верхнее состояние С становится неустойчивым и вокруг него формируется предельный цикл. Форма предельного цикла зависит от величины Типичная зависимость формы предельных циклов от Ьш приведена на рис. 2.10. При дальнейшем возрастании Lw предельный цикл вблизи верхнего состояния исчезает и остается только одно устойчивое состояние А. [c.86]

Если X < О, то при i —> оо 5 —> О и, следовательно, первоначальное отклонение 5 от равновесия самопроизвольно затухает в силу свойств системы. Тогда стационарное состояние устойчиво по критерию Ляпунова. Наоборот, если X > О, то при i —> оо 5 —>- О и состояние равновесия неустойчиво. Если же X = О, то уравнение первого приближения, вообще говоря, не может дать ответа на вопрос об устойчивости исходной системы. [c.23]

Очевидно, при а=а, когда критерий эволюции или кинетический потенциал равны нулю, происходит потеря устойчивости, и возможен скачкообразный переход в качественно новое состояние мембранной системы. Зависимость переменных хну от управляющего параметра а называют бифуркационной диаграммой, а состояние при а=а — бифуркационной точкой. На рис. 1.7 показана бифуркационная диаграмма для системы с одной переменной х в бифуркационной точке происходит переход с нижней ветви устойчивых состояний в область неустойчивости, т. е. из области I в области III или V (см. также рис. 1.6). Переходы типа узел — фокус (1- П) возможны на термодинамической ветви состояний, т. е. ао<а< а при этом нарушается лишь монотонный характер приближения к стационарному состоянию, возникают затухающие колебания концентраций. Как отмечалось выше, термодинамический критерий эволюции в виде соотношения (1.24) фиксирует условия, где возможны переходы в новые состояния, но не определяет новую структуру мембраны. Последнее возможно на основе анализа неустойчивости, если известен конкретный вид функций Fx x, у) и Fy(x, у) т. е. описание кинетики в йепи химических превращений в мембране. [c.34]

Таким образом, исследование функции V дает однозначный ответ только в том случае, когда выражение для V знакоопределенно если V отрицательно-определенна, то стационарное состояние устойчиво, если же и положительно-определенна, то стационарное состояние неустойчиво. Наконец, если и знакопеременна, то стационарное состояние может быть или устойчивым, или неустойчивым. Иными словами, рассмотренное здесь условие устойчивости является достаточным, но не необходимым. Причина этого понятна выбор в качестве критерия для сравнения системы окружностей накладывает слишком жесткие ограничения на форму подходящих траекторий. Из рис. IV-16 ясно, что система эллипсов в этом смысле не накладывает излишних ограничений. Более строгому изучению данных утверждений посвящены два следующих раздела. [c.75]

Оно наз. универсальным критерием эволюции, т. к. не требует предложений о характере связи между потоками и силами. Знак равенства отвечает нахождению системы в стационарном состоянии, знак неравенства-эволюции системы к этому состоянию. Важнейшим результатом нелинейной Т. н. п. явилось открытие возможности возникновения в системах, удаленных от равновесия, устойчивых пространственных и временных структур. Эти структуры наз. диссипативными им соответствуют те решения дифференц. ур-ний для потоков, к-рые лежат за пределами термодинамич. ветви решений. Диссипативные структуры существуют благодаря обмену энергией и в-вом между системой и окружеш1ем (см. Открытая система). Они характеризуются низкой энтропией, к ним не применим принцип Больцмана, согласно к-рому состояние с большей энтропией более вероятно. Типичный пример временной упорядоченности-возникновение периодич. режимов в гомог. хим. р-циях (см. Колебатель ные реакции). [c.539]

В [35] намечены кинетические критерии появления устойчивых колебаний, вызванных химическими эффектами. Для их осуществления требуется неустойчивое стационарное состояние, как это показывает линейный анализ устойчивости [36]. Могут иметь место различные виды неустойчивости [37, 38]. Для многих интересных систем стационарные состояния являются настолько неустойчивыми, что возникают колебания релаксационного типа. Каждое из двух квазистационарных состояний создает условие, которое вызывает быстрое выключение другого. Удобный пример — орегонатор Филь-да [39, 40], который состоит из пяти необратимых стадий, промежуточных соединений X, V, Z и реагентов А, В, превращающихся в продукты Р и Р [c.54]

Здесь следует сделать одно важное замечание. С одной стороны, как мы видели в пп. 6.5.1, 6.5.6 и 6.5.7, локальное волновое число вала может изменяться в процессе релаксации, даже если оно с самого начала лежит в области устойчивости, найденной для однородных структур. С другой стороны, из расчетов для круговой области по модельным уравнениям [184] следует, что при некоторых значениях Г возможны стационарные состояния, в которых волновые числа валов, проходящих через центральную часть области (см. рис. 19,6), имеют в этой центральной части локальные волновые числа, лежащие за порогом косоварикозной неустойчивости. Мы, таким образом, снова убеждаемся в том, что критерии устойчивости, найденные для однородных структур прямых валов в бесконечном слое, вообще говоря, нельзя применять локально к любому фрагменту конвективной структуры, исходя лишь из локального волнового числа в этом фрагменте и игнорируя общую геометрию течения. Важно, в частности, что средний дрейф, не учтенный при анализе устойчивости однородных структур, заметно влияет на критерии устойчивости. [c.185]

И детерминированное стационарное состояние, порождаюш,ее наибольший максимум функции 1 (х), не обязательно совпадает с самой глубокой потенциальной ямой в детерминистическом описании. Между этими фактами и данными относительно внутренних флуктуаций в макроскопически больших, но конечных системах имеется тесная аналогия [6.2]. Она свидетельствует о том, что критерий абсолютной устойчивости для детерминированных стационарных состояний явно зависит от природы воздействующих на систему случайных возмущений. Абсолютная устойчивость и точка сосуществования фаз, т. е. точка в фазовом пространстве, в которой два пика плотности вероятности ръ(х) имеют одинаковую высоту, не могут быть определены на основе одного лишь детерминистического описания. Это обстоятельство подчеркивал еще Ландауэр [6.3]. [c.159]