Оценка математического ожидания нормально распределенной случайной величины

Оценка математического ожидания нормально распределенной случайной величины. При отсутствии грубых и систематических ошибок математическое ожидание случайной величины, совпадает с истинным результатом наблюдений. Поэтому оценка математического ожидания имеет важное значение при обработке наблюдений. Легче всего оценить математическое ожидание при известной дисперсии генеральной совокупности (см. гл. П, 8). [c.41]

Таким образом, если бы был известен закон распределения оценки а, задача определения доверительного интервала решалась бы просто. Рассмотрим в качестве такого примера построение доверительного интервала для математического ожидания нормально распределенной случайной величины X с известным генеральным стандартом, равным Сл. [c.41]

Грубые ошибки из ранжированного ряда исключают, оставшиеся значения используют для определения среднего арифметического случайной величины, дисперсии выборки и нахождения доверительного интервала для оценки математического ожидания нормального распределения. [c.15]

Оценка математического ожидания и дисперсии. Метод максимального правдоподобия всегда приводит к состоятельным, хотя иногда и смещенным оценкам, имеющим наименьшую возможную дисперсию при неограниченном возрастании объема выборки. Для нормально распределенной случайной величины получают оценки следующего вида среднее арифметическое Зс для математического ожидания [c.33]

Отметим, что если ошибки определения у — независимые нормально распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и одинаковыми (хотя и неизвестными нам) дисперсиями, то решение системы (7.6) даст состоятельные, несмещенные и эффективные оценки коэффициентов Ь, т. е. действительно наилучшие с точки зрения математической статистики. [c.68]

Среди бесконечного, несчетного множества всех возможных законов распределения случайных величин, единственным законом распределения, у которого параметры, входящие в аналитическое выражение закона, равны математическому ожиданию и дисперсии случайной величины, является закон нормального распределения. А именно, для параметров а и а аналитического выражения (12) имеют место равенства а = МХ, ( = ОХ. По этой причине закон нормального распределения оказался чрезвычайно удобным в пользовании при решении прикладных задач. Еще больше популярности использованию нормального закона прибавило то его уникальное свойство, что в некоторых случаях значения неизвестных параметров закона а и можно оценить, заменив их найденными по выборочным данным значениями точечной оценки среднего арифметического легко вычисляемого применением формулы (15) и точечной оценки дисперсии 3 , вычисляемой применением формулы (16). Иначе говоря, при решении отдельных прикладных задач можно использовать приближенные соотношения [c.99]

Большая простота и универсальность позволяют использовать неравенство Чебышева для теоретических заключений, хотя для практических расчетов оно оказывается слишком грубым. Оценки, получаемые на основании неравенства Чебышева, намного уступают оценкам, полученным для нормального распределения. Так, при Р = 0,95 для нормального распределения в формуле (11.153) вместо 4,4( стоял множитель 1,96. Это объясняется тем, что при обработке нормального распределения известна плотность распределения изучаемой случайной величины. При использовании же неравенства Чебышева о плотности распределения ничего не известно. Если удается получить какую-либо информацию о плотности изучаемого распределения, это позволяет улучшить оценки. Так, если известно, что плотность изучаемого распределения симметрично убывает по обе стороны от математического ожидания (так называемое симметричное одновершинное распределение), то неравенство Чебышева справедливо в усиленной форме [c.76]

Закон распределения оценки математического ожидания величины X при любом законе распределения самой случайной величины близок к нормальному, причем дисперсия оценки М в п раз меньше дисперсии X. Среднеквадратичное отклонение оценки математического ожидания приближенно равно [c.122]

Во всех приведенных здесь итеративных формулах для определения характеристик случайных величин находилась, по сути дела, оценка математического ожидания. Эта оценка при правильном выборе последовательности х совпадала с оценками, полученными обычным способом по п измерениям, т. е. она состоятельна и при нормальном законе распределения случайной величины, для которой ищется математическое ожидание, эффективна. [c.200]

Найдем оценки максимального правдоподобия для случайной величины X, распределенной по нормальному закону. Как известно, нормальный закон полностью определяется значениями двух первых моментов случайной величины X. Тогда задача сводится к нахождению оценок математического ожидания Мх и дисперсии а по случайной выборке объема п. Отсюда, согласно функции (П,10), для нашего случая получим следующую функцию правдоподобия [c.300]

Для расчета вероятностей ошибочной классификации в этом случае вычислим предварительно математические ожидания и дисперсии всех иц (у), г, у = 1, 2, 3, I Ф /, а также их парные коэффициенты корреляции. Затем формируем векторы к = = 1, 2, 3, и оцениваем параметры плотностей распределения этих нормальных случайных векторов (табл. 2.2). Моделируем на ЭВМ случайные векторы v , к = 1, 2, 3, удовлетворяющие соответствующим нормальным плотностям распределений, и получаем требуемые оценки величины интегралов [c.75]

Это нормальное распределение с математическим ожиданием, равным нулю, и стандартным отклонением, равным единице, носит название нормированного стандартного распределения. Оно описывает все частные виды нормального распределения с любыми параметрами р. и а. Поэтому сопряженные между собой критерии статистической оценки (доверительные интервал и вероятность) всех случайных величин могут быть сведены в единую таблицу, Обычно в зтой таблице (табл, XIV. 1) против [c.827]

Это нормальное распределение с математическим ожиданием, равным нулю, и стандартным отклонением, равным единице, носит название стандартного нормированного распределения. Поскольку оно, будучи единственным, описывает все частные виды нормального распределения, парные критерии статистической оценки всех случайных величин, распределенных по нормальному закону, могут быть сведены в единую таблицу. Обычно в такой таблице против соответствующего значения и приведено значение интеграла вероятности, который носит название функции Лапласа Ф(и) и задается соотношением [c.81]

При использовании алгоритмов стохастической аппроксимации для определения характеристик объекта в процессе его нормальной эксплуатации случайными являются как величины на входе, так и на выходе объекта. Полученные в работе [4] оценки скорости сходимости для ряда конкретных законов распределения входных переменных показали, что сходимость может быть существенно улучшена, если входные переменные предварительно стандартизованы. Стандартизация заключается, во-первых, в том, что из каждой переменной вычитают ее математическое ожидание (таким образом, вновь введенные переменные имеют математическое ожидание, равное нулю) во-вторых, желательно по каждой из новых переменных выбрать масштаб так, чтобы все они имели одинаковые дисперсии. Для этого за единицу измерения может быть принято по каждой из переменных ее среднеквадратичное отклонение. [c.207]

I = lg г, где N — число циклов до разрушения при усталостных испытаниях г — время до разрушения при длительных статических испытаниях. Для оценки дисперсии мех. св-в используют также числовые характеристики, среди которых наибольшее значение имеют а — математическое ожидание (среднее значение) 02 — дисперсия а — среднее квадратическое отклонение у — коэфф. вариации случайной величины X. Математическое ожидание и дисперсия являются параметрами нормального распределения. Перечисленные характеристики носят название генеральных. Экспериментальные оценки генеральных характеристик (характеристик дисперсии мех. св-в) имеют то же наименование и обозначаются соответственно х, 8 , 8 и V. Их подсчитывают по ф-лам [c.374]

Найдем доверительный интервал для математического ожидания т случайной нормально распределенной величины X с известным среднеквадратическим отклонением а. В качестве оценки параметра т исполь- [c.712]

Чтобы оценить влияние числа точек N на точность определения а и Од, на ЭВМ был смоделирован эксперимент [155], заключающийся в том, что значения Р, не измерялись, а получались программно путем разыгрывания случайной величины г с нормальным законом распределения (а = 0,053) и математическим ожиданием М[г ] = 0. Выполнить такую оценку только с помощью экспериментальных данных затруднительно, потому что требуется более ЗОЮ измерений Р на одной и той же мембране с одними и теми же исходными параметрами (5.54). Сами значения Р, полагались равными Р/ = (1 +Л) (< /) которые и заменяли экспериментально [c.248]

Оценка математического ожидания норд1ально распределенной случайной величины. При отсутствии грубых и систематических ошибок математическое ожидание случайной величины совпадает с истинным результатом наблюдений. Поэтому оценка математического ожидания имеет важное значение при обработке наблюдений. Легче всего оценить математическое ожидание при известной дисперсии генеральной совокупности (см. гл. II. 8). Генеральную дисперсию аг нельзя получить из наблюдений, ее можно только оценить при помощи выборочной дисперсии iP. Ошибка от замены генеральной дисперсии выборочной будет тем меньше, чем больше объем выборки и. На практике эту погрешность не учитьшают при л >50 и в формуле (11.49) для доверительного интервала генеральный параметр заменяют выборочным стандартом. В дальнейшем предполагается, что наблюдаемая случайная величина имеет нормальное распределение. [c.45]