Закон нормального распределения случайных величин

Нормальное распределение. Случайная величина X называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения имеет вид [c.19]

ЗАКОН НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН [c.77]

Нормальное распределение случайной величины х (нормальный закон распределения, закон распределения Гаусса) определяется функцией плотности [c.112]

Среднее (среднее арифметическое) значение случайной величины. Пусть х , х ... х обозначают п результатов измерений величины, истинное значение которой а. На основании закона нормального распределения случайных ошибок доказывается, что при п измерениях одинаковой точности среднее арифметическое [c.25]

Закон нормального распределения случайных событий (закон Гаусса). Установлено, что для многих наблюдений распределение отдельных полученных результатов по отношению к среднему значению измеряемой величины характеризуется законом нормального распределения ошибок (закон Гаусса). Нормальный закон распределения наблюдается в тех случаях, когда на признак явления действует много факторов, каждый из которых мало связан с большинством других, и влияние каждого фактора на конечный результат существенно меньше суммарного влияния всех остальных факторов. [c.76]

Распределение Стьюдента. Пусть 2 нормально распределенная случайная величина с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, а V - независимая от Г случайная величина, которая распределена по закону "хи-квадрат" с К степенями свободы. Тогда величина [c.14]

В силу того, что Хо —нормально распределенная случайная величина, то и т как ее линейная функция тоже будет распределена по нормальному закону. Таким образом, время безотказной работы т распределяется по закону (4.4.15). Запишем вид функции P(t) в случае нормального закона надежности. С учетом формул (4.4.10) и( 4.4.13) имеем [c.216]

Пусть распределение случайной величины X подчинено нормальному закону [c.27]

Границы доверительного интервала обычно определяются через дисперсию, которая является параметром закона нормального распределения случайных величин. При малом числе измерений этот параметр можно найти с малой точностью, поэтому границы доверительного интервала в этом случае следует определять с помощью коэффициентов Стьюдента (табл. 6.3). [c.256]

Закон распределения оценки а зависит от закона распределения случайной величины X, в частности от самого параметра а. Чтобы обойти это затруднение, в математической статистике применяют обычно два метода 1) приближенный при /г 50 заменяют в выражении для ер неизвестные параметры их оценками 2) от случайной величины а переходят к другой случайной величине, закон распределения которой не зависит от оцениваемого параметра а, а зависит только от объема выборки п и от вида закона распределения величины X. Такого рода величины наиболее подробно изучены для нормального распределения случайной величины X. В качестве доверительных границ а и а" берут обычно симметричные квантили [c.38]

Таким образом, если бы был известен закон распределения оценки а, задача определения доверительного интервала решалась бы просто. Рассмотрим в качестве такого примера построение доверительного интервала для математического ожидания нормально распределенной случайной величины X с известным генеральным стандартом, равным Сл. [c.41]

Для большого числа встречающихся на практике случайных величин можно ожидать распределения по так называемому закону нормального распределения (закону Гаусса). Аналитическое выражение этого закона распределения имеет вид (рис.). [c.79]

Графическое сопоставление экспериментальных кривых с теоретическими, соответствующими закону нормального распределения случайных величин, показывает, что рассеивание размеров втулок из капрона как до погружения в воду, так и при нахождении в воде, с известным допущением подчиняется закону нормального распределения. На фиг. 10, 11 границы интервалов и величины бст даны в микронах. [c.125]

При отсутствии систематических ошибок, когда число измерений (п) очень велико (стремится к бесконечности), наблюдается так называемое нормальное (по закону Гаусса) распределение случайных ошибок, графически представленное на рис. 12. При построении графика по оси абсцисс откладывают значения определяемой величины (д ), а по оси ординат — соответствующие вероятности получения их при анализе. Из приведенной на рис. 12 кривой видно а) наиболее [c.53]

После вычисления этих основных характеристик распределения ГОСТ 8.207—76 ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Основные положения предусматривает проверку гипотезы о нормальности распределения случайной величины. Нормальный закон распределения рассматривался нами ранее. Общий вид нормального закона изображен на рис. 1-1. Выше отмечалось, что имеются как общетеоретические соображения, так и экспериментальные данные о том, что случайные значения результатов испытаний по определению показателей качества одного и того же нефтепродукта распределены по закону, близкому к нормальному. Сами значения показателей качества также в большом числе случаев подчинены нормальному закону распределения. Поэтому излагаемые в дальнейшем статистические критерии и методы основываются на нормальном законе распределения. [c.41]

Экспериментально установлено также, что в большинстве случаев функции распределения порошков по фракциям не укладываются в закон нормального распределения случайных величин (распределение Гаусса). [c.137]

На основании закона нормального распределения случайных ошибок доказывается, что при измерениях одинаковой точности среднее арифметическое значение является наиболее вероятным и наилучшим значением измеряемой величины. Среднее арифметическое значение х рассчитывают по формуле [c.299]

Решение. Визуальное сходство гистограммы случайной величины с гистограммой, которая должна быть у нормально распределенной случайной величины не служит доказательством того, что случайная величина распределена по нормальному закону. Существует бесконечное множество случайных величин, гистограммы которых являются "идеальной горкой". Нормально распределенная величина - лишь одна из них. Поэтому, гистограмма в виде "горки" не дает никаких оснований не только к заключению, но и предположению о том, что случайная величина распределена нормально. [c.112]

Из рис. 3 видно, что точки удовлетворительно группируются около некоторой прямой и можно считать логарифм диаметра капель нормально распределенной случайной величиной. Следовательно, закон распределения в данном случае описывается уравнением кривой нормального распределения [5]. [c.159]

Последними характеристиками не рекомендуется пользоваться. Это связано с тем, что зависимость между з и т з — = 1,25 т) справедлива только для больших выборок, извлеченных из генеральных совокупностей, подчиняющихся закону нормального распределения а также с тем, что зависимость 5 и г <5 = 1,56 г) справедлива только при нормальном распределении случайных величин [26]. Для унификации способов представления экспериментальных данных (которые могут быть получены путем изучения и малых выборок или выборок из генеральных совокупностей, не подчиняющихся нормальному закону) следует пользоваться только величинами 0 и 5. [c.29]

Можно доказать [4], что в случае скопления малых случайных действий приблизительно одинакового порядка величины случайная суммарная переменная следует закону нормального распределения, квадрат дисперсии которой а при п параллельных измерениях составляет п-ю часть первоначального [c.255]

На основании закона нормального распределения случайных ошибок показано, что арифметическое среднее х из результатов всех измерений является наиболее вероятным значением измеряемой величины и определяется по формуле [c.611]

Регрессионный анализ используется, когда входные переменные х ,. . определены точно, а зависимая переменная у представляет собой случайную величину, подчиненную законам нормального распределения, причем ее дисперсия постоянна (при повторении больших серий измерений дисперсии в этих сериях одинаковы). [c.42]

В реальных условиях фактические кривые рассеяния, как правило, отличаются от кривой нормального распределения и нередко очень существенно. Объясняется это тем, что факторы, вызывающие отклонение выходного показателя, значительно отличаются один от другого по величине и степени воздействия. Рассмотрим некоторые характерные случаи (рис. 1.13). Из рис. 1.13 видно, что на участке а-а в результате действия многочисленных факторов рассеяние полученного размера подчиняется закону нормального распределения, а на участке а-б точечная диаграмма смещена на величину И, что обусловлено действием систематического фактора. Примером может служить процесс развертьшания отверстий в деталях, когда сломанную развертку заменяют новой, имеющей другой фактический дааметр. Если для выборки о-б построить кривую рассеяния, то она будет иметь двугорбый вид. На участке б-в наблюдается систематическое изменение размера, близкое к линейному. Примером является действие изнашивания шлифовального круга. Кривые рассеяния для выборки на участке б-в будут подчиняться закону равной вероятности. Для участка в-г характерно влияние доминирующего случайного фактора. Например, если среди заготовок оказалась партия заготовок, полученных на другом уже изношенном штампе, имеющем большие размеры, то эта партия заготовок будет иметь больший разброс припуска. [c.31]

Авдеев указывает, что функцию (2-26) можно рассматривать как обобщение большинства известных эмпирических и теоретических законов статистического распределения случайных величин. Он приводит значения параметров р и а, при которых формула (2-26) преобразуется в нормальный закон Гаусса — Лапласа, в законы Максвелла, Пирсона и другие статистические закономерности. [c.36]

Таким образом, для успешного решения задачи определения функции распределения времени пребывания в реакторе необходимо огрубление истинной гидродинамики процесса, позволяющее оценить суммарное влияние всех многообразных действующих факторов на перемешивание потока. Здесь приходит на помощь основное свойство распределений случайных величин, выражаемое центральной предельной теоремой теории вероятности. Согласно этой теореме, распределение случайной величины, подверженной влиянию многочисленных слабых факторов, должно быть близко к нормальному закону. Установления распределения, близкого к нормальному, следует ожидать в достаточно протяженных системах, где элемент [c.207]

В целях соответствия результатов исследований требованиям к точности, предъявляемым в современном естествознании, В СССР и в России, правила использования статистических критериев и границы их применимости законодательно регламентированы Государственными стандартами. Проверку того, к какому именно закону распределения принадлежит исследуемая случайная величина, требуется выполнять, исходя из требований, изложенных в Государственном стандарте [52]. В частности, требования для проверки значений параметров а и сг нормально распределенных случайных величин изложены в Государственном стандарте [53]. В настоящее время Государственные стандарты [52], [53], в целях соответствия изложенным в них требованиям международных стандартов, модифицированы. В частности, модифицированные требования, содержание которых передано текстом, аутентичным международному стандарту, можно найти в документе [54] и в других Государственных документах. Теоретическое обоснование требований, регламентированных Государственными стандартами, заинтересованный читатель может найти в книге [55] и др. [c.83]

На основании предельных теорем А. М. Ляпунова и С. Н. Бернштейна математически доказано, что если число слагаемых случайных величин (звеньев в размерной цепи) велико и выполнены условия А. М. Ляпунова для независимых слагаемых и условия С. Н. Бернштейна для зависимых слагаемых, то 4>ункция погрешностей замыкающего звена приближается к закону нормального распределения, для которого =0 и ЛГ . =1. Условия, при которых а =0, следующие [c.32]

В ряде случаев при экспериментальных исследованиях необходимо определить минимальное число опытов, т. е. объем выборки, который с заданной точностью Ах и доверительной вероятностью а позволит определить искомую величину. Такая возможность появляется при распределении случайной величины по нормальному закону и при известном среднеквадратическом отклонении а случай- [c.15]

В нашем случае, в рамках примера 7.3 известно, что п = 1000,/ = 0.05. Воспользовавшись фор делами (29) находим, что для нашего случая значения параметров нормально распределенной случайной величины соответственно равны й = 0.05, а = 0.0069. Подставив найдеьшые значения параметров в аналитическое вьфажение для закона нормального распределения (12) находим, что [c.126]

Формула (3.16.1) является точной, если на взаимное расположение звеньев макромолекулы не накладываются упомянутые выше ограничения. Клубок, образованный свободно-сочлененной цепью, называется идеальным, или гауссовым, а представление полимерной молекулы в виде такого клубка — стандартной гауссовой моделью макромолекулы. Название модели связано с именем Г аусса, поскольку его закон нормального распределения случайных величин относится и к распределению молекул по всем возможным случайным размерам клубков со средней величиной, определяемой формулой (3.16.1). [c.727]

Функция распределения случайной величины X, подчиняющейся нормальному закону [c.112]

Для оценки степени дисперности капельных струй жидкости и качества распыления используют законы статистического распределения случайной величины диаметра капель, которые выражаются как в дифференциальной, так и в интегральной формах. Наиболее приемлемыми уравнениями кривых распределения капель является закон Вейбулла и уравнение логарифмически нормального распределения [5.161. Распределение капель распыленной струи жидкости по размерам, описанное с помощью закона Вейбулла, имеет вид [c.187]

Упомянутые свойства функции Р(Х) иллюстрирует рис. XIV. 2, а. Кривая / отвечает ограниченной интервалом [X ,X2 случайной величине кривая 2 описывает распределение неограниченной (в пределах графика) случайной величины кривая (прямая) 5 —пример непрерывной, равномерно распределенной в интервале [с, случайной величины кривая 4 — отражает распределение случайной величины по нормальному закону (см. разд. XIV. 7). Функция Р Х) в равной мере пригодна для описания и непрерывных, и дискретных случайных величин. [c.815]

Реализация метода Монте-Карло связана с получением последовательности так называемых случайных чисел с заданным законом распределения. Особое значение имеют последовательности равномерно распределенных случайных величин, поскольку они часто используются при вычислениях и, кроме того, на основе последовательностей равномерно распределенных чисел строятся последовательности с другими законами распределения (нормальным, экспоненциальным и др.). Пусть I — случайная величина, которая может принимать любые (однако с фиксированным числом знаков после запятой) значения в интервале [0,1] О 1. Будем производить испытания над случайной величиной и выберем п значений подряд или любым произвольным образом, в результате чего получим последовательность Ь, 1п = 1п)- Пусть а, й) — некоторый промежуток на отрезке [0,1] 1 (а, Ь) — число элементов из последовательности , принадлежащих промежутку (а, Ь). Если последовательность равномерно распределенная, то при п > 1 значение (а, Ь)1п с точностью до статической ошибки совпадает с величиной Ь — а, как бы мы ни выбирали промежуток (а, Ь). Если интервал [0,1] разделим на равные промежутки, то числа, попадающие в различные промежутки, должны встречаться в среднем в одинаковых пропорциях при этом ни одно из чисел не должно иметь заметной тенденции следовать за каким-либо определенным другим. [c.387]

После окончания процесса гидратации ПГ наступает вторая стадия твердения системы. К этому моменту времени сформировалась первичная пространственная структура, обладаюн ая некоторой начальной прочностью. В системе также имеются частицы исходного ДГ, не связанные в структуру. Поскольку предварительной обработке порошок ДГ не подвергался, частицы в соответствии с законом нормального распределения случайных величин имеют различные размеры достаточно широкого спектра, от крупных до весьма мелких. [c.46]

Одна и та же выборка, проверенная на нормальность закона распределения ее численных значений с помощью разных критериев, может оказаться и выборкой, которую можно считать извлеченной из генеральной совокупности численных значений нормально распределенной случайной величины и, наоборот, выборкой, извлеченной из генеральной совокупности численных значений случайной величины, не распределенной по нормальному закону. Таков, пожалуй, самый серьезный недостаток рассматриваемых нами простейших критериев согласия. Изложенное противоречие на самом деле является кажущимся протршоречием разные результаты, найденные при применении к одним и тем же выборочным данным разных критериев свидетельствуют о том, что результаты применения простейших критериев могут служить не больше, чем самой грубой ориентировкой при решении задачи нахождения закона распределения случайной величины. Однако совпадение результатов, найденных применением разных критериев, увеличивают уверенность в правильности принятой гипотезы о законе распределения случайной величины. Поэтому необходимо знание разных критериев согласия и умение их применять. [c.92]

К сожалению, несмотря на простоту нахождения аналитического выражения функции распределения случайной величины применением обработки результатов измерений с использованием формул (20), при изучении природных явлений нормально распределенные случайные величины встречаются крайне редко. Тем не менее, чрезвычайно распространенной ошибкой статистической обработки результатов измерений является принятие неизвестного закона распределения, с которым встречается в практике обработки результатов опытов естествоиспытатель за нормальный закон распределения. В свою очередь, это влечет к неправильным вьшодам, заключениям и вытекающим из них рекомендациям, с которыми мы часто встречаемся на практике. Папример, известно, что в России, с одной стороны, благодаря усилиям правительства, уже не один год существует развитая система контроля над наркобизнесом и незаконным оборотом наркотиков. Однако с другой стороны, не менее известно, что, несмотря на усилия правительства и правоохранительных органов, наркоситуация в стране весьма далека от полностью подконтрольной. По мнению автора пособия, одной из главных причин сложившейся неблагоприятной наркоситуации в России, является [c.99]