Уравнения с постоянными коэффициентами

Уравнение (10.57)-линейное уравнение с постоянными коэффициентами. [c.324]

Уравнения (14-17)—(14-19) представляют собой обычные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Если принять, что 7 и 5 во всех реакторах равны, то получим следующие решения [c.304]

Если объект не удается описать линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, то нельзя безоговорочно применять ни преобразований, ни временных характеристик. В этом случае обычно стремятся выразить свойства объекта с помощью так называемых статических характеристик, описывающих свойства объекта в установившемся состоянии, но зато во всем диапазоне изменения входных и выходных параметров, а также с помощью одного из линейных динамических преобразований, пригодных, однако, лишь для малых приращений входных величин. [c.479]

В не имеющем практического значения случае, когда < 1=0, это уравнение приобретает форму уравнения Бернулли при подстановке г=С1 оно превращается в легко интегрируемое линейное уравнение с постоянными коэффициентами [c.118]

IV, 24) представляют собой линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Решаем уравнение (IV, 22) [c.133]

Это линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами имеет общее решение [c.190]

Для систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами име - [c.389]

Чтобы исправить это свойство системы, была выдвинута идея самонастраивающегося регулирования . Как показано на рис. 1Х-6, самонастраивающаяся система автоматического регулирования представляет собой вторичный контур, который формирует сигнал изменения настроек регулятора первичного контура. На языке математики эффект такого дополнения к первоначальной системе автоматического регулирования заключается в том, что система обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами заменяется системой обыкновенных дифференциальных уравнений с коэффициентами, зависящими от времени. Математической моделью вторичного контура является система алгебраических или дифференциальных уравнений (по одному на каждый коэффициент), которая решается совместно с моделью первичного контура. [c.118]

Мы свели, таким образом, задачу к решению двух обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. [c.588]

Подставляем в исходную зависимость формулы размерности соответствующих физических величин. Далее эту зависимость выразим в виде степенного уравнения с постоянным коэффициентом а и показателями степеней [c.127]

Для объектов, описываемых системами дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами [c.282]

Следовательно, устойчивость объекта, описываемого системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, может быть проверена, если известны собственные значения матрицы коэффициентов системы. [c.282]

В [И, 12, 20, 26] приводятся решения этого уравнения с постоянным коэффициентом диффузии для некоторых частных случаев. [c.299]

Для НС с равномерным разбиением по пространственным переменным, допускающих при переходе с одного временного слоя на другой увеличение либо уменьшение шага по одной из пространственных переменных в два раза, вопрос аппроксимации и устойчивости исследовался в [14, 15]. Полученные при этом оценки корректности двухслойных схем для уравнения с переменными коэффициентами зависят от отношения К т, где А — шаг по пространственной переменной, по которой производится разрежение сетки, т — шаг по времени в момент разрежения. Для уравнений с постоянными коэффициентами доказана абсолютная устойчивость на сетках последовательного разрежения [14]. [c.159]

Уравнение (7.245) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Легко показать, что его решением является функция [c.276]

Однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами у" + л,у + авУ 0. Составляем характеристическое уравнение k - - a k и находим его корни k и Л,. Если ki и A j вещественны и различны, то у = [c.110]

Неоднородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами у -г а У а у д (х). Пусть у — II X, С[, ji — общее решение соответствующего однородного уравнения у" 4- й У + [c.110]

Тем самым первоначальная оптимальная задача оказывается сведенной к краевой задаче специального вида для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. К сожалению, при одновременном интегрировании систем (VII,1) и (VII,6) часто наблюдается высокая чувствительность по отношению к начальным условиям, что затрудняет решение краевой задачи. Причина этого становится очевидной, если система (VII,1) является относительно х системой линейных уравнений с постоянными коэффициентами. [c.187]

Решение. Подстановка указанного выражения для скорости реакции дает линейное уравнение с постоянными коэффициентами [c.133]

Однако заметим, что частные производные должны быть вычислены как функции от переменной состояния Z. В результате получили, что линеаризованная форма сложнее, чем уравнение (VII, 6) не только из-за числа уравнений, но также вследствие того, что модель не состоит более из уравнений с постоянными коэффициентами. (Следовательно, даже в тех случаях, когда возможно разделение пар уравнений, необходимо применять альтернативные методы решения, как это показано ниже. [c.159]

Так как это уравнение очень похоже на уравнение с постоянными коэффициентами (VII, 6), целесообразно использовать решение последнего (VII, 7). Для практических целей применяем аппроксимацию [c.161]

В работах [138, 139] предложена процедура численного решения основного кинетического уравнения. Численный алгоритм состоит в дискретизации задачи и сведению ее к линейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При численном решении этой системы получается функции распределения, зависящая от [c.195]

Если интегралы в правой части системы вычислять с помощью тех или иных квадратурных формул, то получится конечная линейная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами [c.196]

Таким образом, вычисление нестационарной функции распределения сводится к решению линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, а вычисление квазистационарной функции распределения — к решению неполной проблемы собственных значений для матрицы коэффициентов этой системы дифференциальных уравнений. При решении этих задач приходится иметь дело с плохо обусловленной матрицей, разброс собственных значений которой составляет 10— 15 порядков. Заметим, что величина этого разброса мало зависит от способа дискретизации, так как определяется физикой процесса, т.е. константа скорости (минимальное по модулю собственное значение) отличается от других собственных значений обычно на несколько порядков. [c.197]

Линейные однородные диф. уравнения 2-го порядка. Теорема об общем решении. Решение уравнения с постоянными коэффициентами. [c.151]

Подставляя приведенные выше выражения для кинетической Т и потенциальной U энергии в уравнение (177), находим систему однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами [c.117]

Решение этого уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид Д/ = -f Сге "" [c.165]

Интеграл этого неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами есть [c.210]

Рассмотрим решение этой системы методом приведения к одному линейному дифференциальному уравнению более высокого порядка. Несложными преобразованиями и исключением переменных (что последовательно приводит к увеличению порядка дифференциального уравнения) система уравнений может быть приведена к уравнению -го порядка относительно любой переменной [Х ]. В силу свойств системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами полученное уравнение также будет линейным уравнением с посто- [c.202]

Релаксационные методы исследования кинетики химических реакций основаны на том принципе, что при быстром внешнем воздействии на систему (изменение температуры, давления, электрического поля) время, которое нужно системе для достижения нового равновесного (или стационарного) состояния, зависит от скорости химической реакции (или иногда от скорости диффузии реагентов). Переход системы к новым равновесным (или стационарным) концентрациям реагентов называют химической релаксацией [39, 40]. Если отклонение от равновесия, вызванное внешним воздействием, невелико, кинетика релаксации будет весьма простой (ее удается описать с помош,ью линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами). [c.206]

В результате уравнение (5.199) становится линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. С учетом равенства [c.207]

Для каждого из п промежуточных соединений, а также для фермента, субстрата и продукта можно на основе законов химической кинетики записать дифференциальное уравнение, описывающее изменение концентрации вещества во времени. С учетом материального баланса по ферменту и субстрату, полное изменение концентраций всех веществ во времени будет представлено системой (п+1) дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и двух алгебраических уравнений [c.187]

Исключая из уравнения (9.62) переменные Д [Е] и Д[0] с помощью соотношений (9.60), (9.61), приходим к системе двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами [c.215]

В качестве приближения наиболее широко используют частный случай, когда концентрация исходного субстрата и всех промежуточных метаболитов значительно меньше соответствующих констант Михаэлиса [5]осистему уравнений (118—121), которая превращается в систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами [c.126]

Системы реакций первого порядка. Если процесс включает только реакции первого порядка, система кинетических уравнений (II..31) всегда может быть проинтегрирована аналитически . Пусть в смеси S веществ происходят все возможные реакции тина А —А -(i, 7 = 1, 2,. . ., S). Концентрации веществ в любой момент вре-менп t определяются решением системы линебных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами [c.70]

Таким образом, мы свели задачу исследования устойчивости стационарных режимов к решению системы двух линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (VIII.И), (VIII.12). Решение этой системы выражается линейной комбинацией двух экспоненциальных функций и (где Xj, 2 — корни уравнения) [c.327]

Процесс распространения света в оптически неоднородной среде в соответствии с двухпоточной моделью имеет вид системы оМыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами [c.99]

Аналитическое изучение объекта сводится к сопоставлению уравнений, характеризующих АВО в равновесном состоянии и переходном режиме. В общем виде динамические характеристики объектов регулирования описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Числовые коэффициенты, входящие в уравнения, зависят от конструктивных особенностей АВО, характера движения теплоносителей, теплопередающей способности аппаратов. Надо сказать, что аналитически невозможно охарактеризовать все многообразие независимых переменных, влияющих на регулируемый параметр <вых, поэтому свойства АВО исследуют экспериментально, снимая на действующих аппаратах статические и динамические характеристики. Для систем, характеризуемых одной входной t и одной выходной величиной Ibhx, процессы регулирования могут быть описаны обобщенным уравнением вида [c.117]

Гаевой В. П. Схемы любого иорядка точности для уравнений с постоянными коэффициентами//Пятая всесоюзная конференция по моделированию химических, нефтехимических и нефтеперерабатывающих процессов и реакторов Химреактор-5 .— Уфа.— 1974.— Ч. 3.— С. 91—95. [c.210]

Следовательно, постоянными будут и коэффищенты переноса. Находим среднеинтегральную по сечению наблвдаемую скорость реахщии ш с учетом порозности слоя катализатора. После этих преобразований получаем систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которая сравнительно легко может быть решена численными методами. Находятся среднеинтегральные температура и наблвдаемая скоростьшреакции в объеме рассматриваемого участка, а также средняя скорость и теплофизкческие свойства по средней температуре.По этим уточненным значениям т, Р, м,ш снова производится решение системы уравнений. Результаты второго решения считаются достаточно точными. Находится средняя по радиусу концентрация метана на длине I и сте- [c.151]

Перейдем к новым переменнымД [Е] иД [ЕА], полагая, что быстрое воздействие на систему приводит лишь к небольшому сдвигу равновесного состояния и, следовательно, значения Д[Е] иД[ЕА] невелики. В этом случае уравнения (5.208) можно свести к системе линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами [c.209]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология