Амплитудные уравнения

Иногда рассматриваются амплитудные уравнения более высоких приближений, например в [275] (см. п. 6.5.8). [c.43]

В довольно широких предположениях вариант амплитудного уравнения предложили Кросс [51] и Кузнецов и Спектор [52]. Кросс рассматривал слой, симметричный относительно средней плоскости, допуская как свободные, так и жесткие граничные условия на обеих границах слоя. Кузнецов и Спектор учли асимметрию слоя. Нижняя граница слоя считалась либо жесткой, либо свободной, но не деформируемой. Верхняя поверхность была свободной, и либо на ней допускался термокапиллярный эффект (температурная зависимость поверхностного натяжения), либо учитывалась ее деформация. Кроме того, вязкость могла зависеть от температуры. Авторы работ [51, 52] не пользовались модифицированным (модулированным) нейтральным решением, а оперировали фурье-преобразованием по ж и / для низшей (по г) гармоники каждой физической переменной (считая к близким к с)- Уравнение получается путем проектирования исходной системы на низшую собственную функцию линейной задачи с инкрементом (2.39). Для симметричного слоя оно имеет вид [c.44]

В отличие от амплитудных уравнений, данная модель основана на явном микроскопическом описании структуры физических полей в быстрых пространственных координатах и меньше ограничивает детальную геометрию течения. Для систем слабо деформированных валов можно из (3.40)-(3.42) получить амплитудные уравнения (3.29)-(3.31), учитывающие дрейф. [c.48]

Амплитудное уравнение было получено в предположении, что исследуемая структура получается из системы параллельных прямых валов крупномасштабной модуляцией их амплитуды. При исследовании таких структур типична ситуация, когда основное направление валов в прямоугольном резервуаре с жесткими теплоизолирующими стенками совпадает с направлением пары боковых стенок. Пользуясь выражением (3.58), уравнением (3.22) и фаничными условиями (3.37), нетрудно убедиться, что в этом случае [c.51]

При учете вертикальной компоненты завихренности и среднего дрейфа амплитудная функция валиковой конвекции в слое со свободными горизонтальными границами починяется уравнениям (3.29)-(3.31). При этом динамика не является вариационной и становится таковой лишь в пределе Р —> оо. Однако, если горизонтальные границы слоя жесткие, то амплитудные уравнения низшего порядка сводятся к уравнению НВЗ и соответствуют потенциальному поведению системы даже при конечном Р, поскольку согласно (3.36), появляется лишь в более высоком порядке. [c.52]

Кросс [61] исследовал влияние боковой стенки с помощью амплитудного уравнения НВЗ с граничными условиями, воспроизводящими (3.39) в низшем порядке. Оказалось, что функционал Ляпунова для систем валов в пограничном слое минимален, когда валы образуют со стенкой угол, равный 7г/2 с точностью до поправок [c.90]

Непомнящий с соавторами [243, 244] проанализировали систему связанных амплитудных уравнений (3.24) для случая, когда единственная структурная граница ж = О разделяет две полубесконечные структуры, каждая из которых сама по себе устойчива. В частности, для двух систем валов, волновые векторы которых к (I = 1,2) образуют углы Oj с осью х (причем ни один из углов i не близок к тг/2), было найдено, что стационарное состояние возможно, лишь если ki = кс для обеих систем. Для однородной стационарной системы прямых валов с волновым числом k кс- - q, согласно (3.22), [c.145]

Заметим, что для исследования реальных структурных границ аппарат амплитудных уравнений применим с оговорками. Для этого типа дефектов характерны резкие пространственные переходы, что противоречит идее медленного изменения амплитуды. [c.147]

Основной целью авторов было определение скорости дислокации. Оказалось, что значения этой скорости, полученные на основе полных уравнений и из амплитудного уравнения, не всегда хорошо согласуются даже при Р = оо. В ряде случаев эволюция течения осложнена неустойчивостями, и анализ результатов затруднен. Если структура в основных чертах сохраняется достаточно долго, то скорость дислокаций довольно быстро устанавливается и впоследствии меняется мало. Связь скорости с волновыми числами систематически не исследовалась. Было отмечено, что если увеличивать п и Lx при фиксированном волновом числе невозмущенной картины, равном f (иначе говоря, делать структуру в среднем все менее возмущенной), скорость дислокаций стремится к нулю. Другого результата ожидать трудно, поскольку в этом пределе среднее волновое число структуры стремится к невозмущенному значению f . [c.151]

Иной вывод можно извлечь из рассмотрения модельного уравнения СХ (3.45) [262, 263]. Соответствие естественной скорости фронта (т.е. скорости, приобретаемой фронтами в большинстве случаев, если начальные возмущения варьируются) условию пороговой устойчивости для уравнения СХ не доказано и было принято в указанных работах в качестве гипотезы для того, чтобы выделить единственный режим с естественной скоростью. Полученные таким образом значения с — с и kf = к отличаются от найденных из амплитудного уравнения с = 2 и к( — кс поправками где а > 0. Волновое число к растет с е. [c.162]

В работе Ди [265] на материале амплитудного уравнения проведено исследование распространения фронта в том случае, когда исходное (неустойчивое) состояние само является возмущенным и соответствует периодической структуре с некоторым волновым числом, лежащим за пределами полосы устойчивости. Позади фронта формируется новая, устойчивая структура с другим волновым числом. Численное моделирование при начальных условиях, соответствующих резкому ступенчатому переходу в пространстве от устойчивого к неустойчивому состоянию в некоторой точке х = хо, показало, что скорость фронта согласуется с гипотезой пороговой устойчивости. В плане нашего обсуждения интересно то, что окончательное волновое число, выработанное позади фронта, зависит от волнового числа исходной структуры, находящейся перед фронтом. Притом имеются интервалы значений окончательного к, не достижимые ни при каком исходном к. [c.162]

В более реалистичном случае (боковые стенки конечной толщины и конечной теплопроводности, теплоизолированные снаружи) из амплитудного уравнения (полученного Кроссом с соавторами в следующем [c.177]

Амплитудные уравнения. Эффективным средством упрощенного описания структур течений в слабонадкритических условиях является амплитудное уравнение Ньюэлла—Вайтхеда—Зегеля (НВЗ), Оно стимулировало постановку весьма разнообразных задач. [c.41]

Ньюэлл и Вайтхед [46] получили также систему амплитудных уравнений, описывающую взаимодействие N волновых пакетов (семейств валов) указанного типа, у которых центральные волновые векторы к ( ki = кс 1 = 1,2,..., iV) имеют разные направления. Если в слое имеется малое отклонение от симметрии верх—низ , или отражательной симметрии относительно средней плоскости z = j (что часто бывает следствием отклонений от условий приближения Буссинеска — см. разд. 4.1), эта система уравнений имеет следующую обобщенную форму (рассмотренную, в частности, в [49, 244]) [c.43]

Браун и Стюартсон [50] получили амплитудное уравнение для осесимметричной системы кольцевых валов в слое со свободными горизонтальными границами. [c.44]

Если слой имеет жесткие границы, горизонтальная скорость В не может быть постоянной по г, а генерация вертикальной завихренности должна выявиться в более высоком порядке по е. Сиггиа и Циппелиус [54 провели нестрогий, основанный на феноменологической модели вывод амплитудных уравнений для этого учая. Если заменить и Вх на их усредненные по 2 значения 0. Вх, то (при соответствующем выборе масштабов) уравнения (3.32) и (3.34) остаются неизменными, а (3.33) заменяется на [c.46]

Микроскопические уравнения Манвиля. Применимость амплитудных уравнений ограничена валиковыми структурами, не слишком сильно отличающимися от однородных. Более того, изменения амплитуды на расстояниях, сравнимых с шириной вала (размером ячейки) не могут быть велики. Следовательно, аппарат амплитудных уравнений не позволяет исследовать ни тонкие детали конвективных структур, ни текстуры, включающие сильно изогнутые валы. Поэтому амплитудное описание может быть названо макроскопическим . Во многих случаях его разрешающая способность недостаточна и нужны другие средства — свободные от ограничений, налагаемых использованием макроскопических уравнений, и в то же время достаточно простые. [c.47]

Функционал Ляпунова. Амплитудное уравнение Ньюэлла— Вайтхеда—Зегеля (3.22) может быть представлено в вариационном (градиентном) виде [c.50]

Еще один класс ситуаций с невариационной динамикой связан с асимметрией верх—низ в слое жидкости, которая часто является следствием небуссинесковых эффектов. Как отмечает Бранд [282], едва ли возможно доказать существование функционала Ляпунова в случае, когда амплитудные уравнения содержат члены вида (3.26). [c.52]

Фазовое уравнение Помо—Манвиля. Если амплитудное уравнение представляет картину течения как результат амплитудной модуляции периодической системы параллельных прямых валов, то фазовое уравнение (в его простейшем варианте) изображает ее такой же системой, промодулированной по фазе. Этот подход берет свое начало с работы Помо и Манвиля [62]. [c.52]

Отметим еще эксперимент Алерса с соавторами [59]. Они исследовали поведение конвективного теплового потока сквозь слой жидкого гелия при изменении К со временем — либо по ступенчатому, либо по линейному закону. Интерпретация данных этого эксперимента на основе амплитудных уравнений показала, что конвекция в момент возникновения не была валиковой, а имелся переходный режим, который авторы предположительно связывают с существованием системы шестиугольных ячеек. [c.82]

В рамках линейной задачи об устойчивости неподвижного состояния Дэвис [141], пользуясь методом Галеркина, показал, что наличие боковых стенок снимает вырождение собственных функций в прямоугольном резервуаре с жесткими горизонтальными и вертикальными границами критическое число Рэлея меньше для тех валов, которые параллельны более короткой стороне резервуара. Именно такие валы предсказываются на основании амплитудного уравнения Ньюэлла—Вайтхеда—Зегеля [47 и его обобщения для суперпозиции систем взаимно перпендикулярных валов [55]. Вывод о предпочтительности валов, параллельных короткой стенке, подтвердили Шторк и Мюллер [142] в эксперименте, который был выполнен при различных отношениях сторон прямоугольного резервуара и различных аспектных отношениях и показал хорошее согласие с [141]. Линейная теория Эдвардса [143] довольно хорошо описывает режимы с различным числом валов, наблюдавшиеся в [142] при разной геометрии полости. В [143] найдено, что в резервуаре, близком к квадратному, вблизи порога неустойчивости могут возникать системы взаимно перпендикулярных валов. [c.89]

Довольно очевидно, что в случае хаоса спиральных дефектов динамика невариационна, как и при фазовой турбулентности. Путем конечноразностных численных экспериментов Кси с соавторами [194-196] исследовали роль двух известных источников невариационности — среднего потока и отклонений от буссинесковых условий — в формировании спиральных структур. Вычисления были основаны на системе уравнений (3.52)-(3.54), обобщающей уравнение Свифта—Хоэнберга, и граничных условиях (3.55), (3.56). Чтобы на качественном уровне достичь наилучше-го согласия модели с экспериментальными данными о режимах, авторы получили из исходных уравнений трехмодовую систему амплитудных уравнений вида (3.25). Путем сравнения с экспериментальными данными работы [114] был получен коэффициент пропорциональности, который связывает фигурирующий в уравнениях параметр е с приведенным числом Рэлея и другими параметрами уравнений. Чтобы смоделировать пристеночное вынуждение, /(х) полагали ненулевым в ближайших к границе узлах сетки и нулевым внутри области течения. [c.117]

Тезауро и Кросс [241] изучали этот процесс путем рещения модельных уравнений — потенциального уравнения Свифта—Хоэнберга (3.45) и непотенциального уравнения (3.48) с d — Ъ. Выполнялось численное интефирование по времени на фаницах расчетной области (рис. 38) ставились условия периодичности по х и у. Кроме того, для отыскания стационарных состояний применялся аппарат амплитудных уравнений, полученных из исходных модельных. Эти состояния с хорошей точностью совпадают с теми режимами, к которым приводит временная эволюция. [c.144]

Помо и Залески [247] продемонстрировали связь между волновыми числами структур в системах, имеющих медленный рамп одного параметра е и волновыми числами, минимизирующими удельный ляпуновский функционал. Для исходного стационарного уравнения самого общего вида было получено дифференциальное уравнение, связывающее е Х) и локальное волновое число к(Х) адиабатического решения исходного уравнения (решения с медленной модуляцией по X). Явная зависимость к от , найденная для некоторого семейства уравнений типа амплитудных, в случае потенциальных систем совпадает с зависимостью кр от е. (Затем был рассмотрен пример системы реакционно-диффузионных уравнений, обсуждавшийся в [245] полученное для нее амплитудное уравнение, как показано в [246, 248], ошибочно.) Важный момент состоит в том, что переход от плавного рампа к крутому должен, согласно приведенным в [247] соображениям, проявляться в переходе от единственного волнового числа к конечной полосе волновых чисел. [c.148]

Вероятно, первым теоретическим исследованием движения дислокаций была работа Сиггиа и Циппелиус [253]. Вопрос изучался и аналитически (на основании уравнения Нюэлла—Вайтхеда—Зегеля), и численно — интегрированием как полных уравнений приближения Буссинеска, так и уравнения НВЗ. Рассматривалась пара дислокаций, которая образуется на концах отрезка лишней пары валов, вклиненной в валиковую систему. Такая конфигурация получается, если дополнить картину, показанную на рис. 41, ее зеркальным отражением относительно верхней границы (и убрать пограничный слой, имеющийся у этой границы). Поскольку авторы пользовались амплитудным уравнением без учета вертикальной компоненты завихренности, результаты их анализа справедливы лишь в пределе Р оо. [c.150]

Если уравнение (6.17) для действительного А понимается именно как амплитудное уравнение (например, НВЗ или совпадающее с ним по форме амплитудное уравнение для модели Свифта—Хоэнберга), то, согласно (3.16), валиковая структура везде имеет волновое число к = f - [c.160]

С ПОМОЩЬЮ комплексных амплитудных функций, фазы которых меняются с X, можно описать структуры с к Ф к . Амплитудное уравнение для комплексного А имеет класс рещений с бегущим фронтом и вращающейся фазой. Тем не менее, согласно аргументам, вьщвинутым в [263], если начальное возмущение строго локализовано (обращается в ноль за пределами некоторой конечной области на оси X), то весьма маловероятно, чтобы оно эволюционировало в комплексную функцию Л(Х, Т) с конечным (хотя бы даже и малым) значением к - кс позади фронта. Соответственно, скорость фронта должна быть равна с = 2. В п. 6.5.6 мы увидим, что это утверждение, основанное на идеализированной постановке задачи (см. (6.18)), в действительности может относиться только к структурам, сформировавшимся на больших пройденных фронтом расстояниях от зоны начального возмущения, по прошествии долгого времени с момента начала движения фронта. [c.161]

Гетлинг [273] показал, что релаксация, сопровождающая движение фронта, может быть выявлена и путем численного решения амплитудного уравнения Ньюэлла—Вайтхеда—Зегеля. Такой подход позволяет проводить расчеты для больших временных промежутков и длинных пробегов фронтов. Однако уравнение НВЗ, согласно (6.21), предсказывает, что должно быть kf = кр = кр поэтому для изучения релаксации валов [c.170]

Кросс с соавторами [275] с помощью амплитудных уравнений исследовали стационарные режимы двумерной конвекции в ограниченной полости со свободными горизонтальными границами и большим аспектным отношением при малой надкритичности е = (К - Лс)/18тг (здесь имеется в виду Кс, вычисленное для бесконечного слоя). Работа имела целью проанализировать возможность течений с различными волновыми числами к (или с различными д — к - кс). В бесконечном слое такие течения представимы фазовращательными решениями [c.177]

Кросс с соавторами [280] дополнили результаты работ [275, 279] численными расчетами эволюции валов по уравнению НВЗ. Как и в [279], была выявлена неединственность устойчивых режимов. Это, впрочем, не исключает возможности получения (как в [278], где рассматривались модельные уравнения) единственного волнового числа с помошью амплитудного уравнения более высокого приближения, чем уравнение НВЗ. [c.179]

Слабое место линейной параллельной теории устойчивости — независимость результата от начальной амплитуды волны и неограниченность ее роста, что при большой интенсивности возмущения противоречит эксперименту. Логическим продолжением линейной теории гидродинамической устойчивости является слабонелинейная теория, начало которой положено А.Д. Ландау [Ландау, 1944], записавшим амплитудное уравнение для слабонелинейного развития во времени монохроматической волны (1.1). Обзор результатов нелинейной теории устойчивости можно найти в работах [Качанов и др., 1982 Жигулев, Тумин, 1987 Маслоу, 1984]. [c.130]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология