Шредингера уравнение электрона в потенциальном ящи

Трехмерный потенциальный ящик. Из полученного решения уравнения Шредингера для одномерного потенциального ящика становится понятным существование дискретного набора энергетических уровней электрона в атоме. Для того чтобы пояснить другие особенности электронного строения атомов, целесообразно рассмотреть движение частицы в трехмерном потенциальном ящике. [c.33]

Чтобы подробно рассмотреть поведение электронов в металле, необходимо знать их распределение по энергиям. Представление об этом дает решение задачи о движении частицы в одномерном потенциальном ящике. Ящик прямоугольной формы (рис. П1.31, а) с бесконечно высокими стенками, и частица не может существовать вне ящика. Это означает, что при движении частица отражается, когда приходит в соприкосновение со стенками ящика, а в любом месте внутри ящика ее энергия равна нулю. Решение уравнения Шредингера для такой системы приводит к следующему выражению для энергии [c.200]

На рис. 4.1 качественно показано, как изменяется потенциальная энергия двух связанных атомов в зависимости от расстояния г между ними. Точный вид межатомного потенциала в принципе можно получить путем расчета полной электронной энергии Е молекулы в зависимости от г. Однако для много-ато.мных молекул Е(г) нельзя рассчитать с достаточной точностью с помощью упомянутых приближенных методов. Поэтому координатные зависимости потенциала описываются эмпирическими феноменологическими функциями. Конечно, в данные функции входят известные молекулярные константы, например длпна связи (го), силовая постоянная растяжения связи и энергия диссоциации О. В качестве одной из таких функций используется потенциал Морзе, с помощью которого решается уравнение Шредингера [c.115]

Если движущийся электрон может находиться в ограниченном объеме, когда все три пространственные координаты могут изменяться в некоторых пределах, за которыми потенциальная энергия возрастает до бесконечности (трехмерный потенциальный ящик), то уравнение Шредингера распадается на три отдельных уравнения, соответствующих каждой пространственной координате. Кинетическая энергия электрона, обусловленная его движением вдоль каждой координатной оси, выражается соотношениями вида (1.20), в которые входят квантовые числа п , Пу и п.2. Волновая функция электрона в трехмерном потенциальном ящике определяется тремя квантовыми числами, а полная кинетическая энергия равна [c.16]

Адиабатическое приближение, т. е. упрощение оператора Н за счет предположения о том, что движение электронов и ядер можно рассматривать раздельно электроны движутся а потенциальном поле мгновенной конфигурации ядер. Уравнение Шредингера переформулируется для электронной волновой функции, которую по-прежнему обозначают Р. Его решения при ряде фиксированных конфигураций ядер определяют поверхность потенциальной энергии, минимумам которой соответствуют варианты равновесной геометрии молекулы. Пренебрежение электронно-ко-лебательным взаимодействием, характерное для этого приближе-иия, незаконно при анализе Ян — Теллеровского расщепления вырожденных конфигураций. [c.68]

Учитывая грубость использованного приближения для волновой функции, результаты надо считать вполне удовлетворительными. Значение этой работы чрезвычайно велико. Во-первых, Гейтлер и Лондон показали, что уравнение Шредингера справедливо не только для атома, но и для молекулы, т. е. является фундаментальным. Во-вторых, было показано, что химическая связь имеет электрическую природу, поскольку в уравнении Шредингера в качестве потенциальной энергии рассматривалась только энергия электростатического взаимодействия ядер и электронов [см. уравнение (16.7)], а результаты расчета вполне согласуются с опытом. [c.55]

Рассмотрим другую задачу. Пусть электрон, потенциальную энергию которого примем за нуль, движется по окружности с радиусом г (рис. 1.2). Положение электрона характеризуется лишь одной координатой, представляющей расстояние х, пройденное электроном по окружности, поэтому уравнение Шредингера имеет такой же вид, как и для одномерного потенциального ящика [см. уравнение (1.17)]. [c.17]

В ней было показано, что . ) урав-. нение Шредингера справедливо не только для атома, но й для молекулы 2) химическая связь имеет электрическую. природу, поскольку в уравнении Шредингера в качестве потенциальной энергии рассматривалась только энергия электростатического взаимодействия ядер и электронов 3) электронная плотность в области между ядрами в молекуле На выше, чем простое наложение электронной плотности атомов 4) химическая связь обусловливается парой электронов, ставшей общей для двух ядер, в результате тождественности и неразличимости электронов 5) простая связь между атомами водорода осуществляется при условии, если их орбитальная собственная функция симметрична относительно координат обоих электронов, т. е. связь образуется парой электронов с антипараллельными спинами. Антипараллельность спинов является не причиной образования химической связи за счет магнитных взаимодействий, а выражением условий квантовомеханической микросистемы, в которой действуют электрические силы 6) отсутствие связи между атомами водорода вследствие понижения электронной плотности между ядрами имеет место при параллельных спинах их электронов 7) энергия связи определяется обменной и кулоновской энергией, а также интегралом перекрывания. Основную роль при этом играет обменная энергия, возникновение которой есть следствие учета квантовомеханического принципа неразличимости электрона (их обмен местами не имеет физической [c.80]

Потенциальная энергия электрона 0=—e /r2, где е — заряд электрона г — расстояние его от протона (ядра). При этом принимаем, что при г=оо и=0. Этим определяется знак минус для потенциальной энергии, так как при конечном значении г энергия ниже, чем в бесконечности. Уравнение Шредингера для электрона в атоме водорода принимает следующий вид [c.304]

Один из таких методов был предложен в 1927 г. английским физиком Д. Хартри и усовершенствован советским физиком В. А. Фоком. В методе Хартри— Фока предполагается, что каждый электрон движется в сферически симметричном поле, создаваемом ядром и усредненными полями всех других электронов за исключением рассматриваемого. В результате решения уравнения Шредингера с такой потенциальной энергией получают волновую функцию, которую можно назвать улучшенной функцией первого порядка для выбранного электрона. Этой функцией далее можно воспользоваться для расчета среднего поля, действующего на второй электрон, и тем самым найти для него улучшенную функцию первого порядка. Пользуясь улучшенными [c.97]

Уравнение Шредингера связывает волновую функцию з с потенциальной энергией электрона и и его полной энергией Е [c.13]

Из решения уравнения Шредингера для электрона массы ш, помещенного в потенциальный ящик высотой следует, что плотность вероятности нахождения электронной плотности во внешней среде [c.309]

Квантовомеханические расчеты с использованием подобной модели показывают, что собственные функции уравнения Шредингера для электронов с координатой х, находящихся в одномерном потенциальном ящике, имеют следующий вид [c.26]

Если мы имеем дело с молекулами, разделение уравнений Шредингера оказывается невозможным. Потенциальная энергия -каждого электрона зависит от расстояния электрона до двух млн более различных ядер сила, действующая на электрон, уже не направлена к одному центру, а потому и угловой момент электрона не будет больше постоянным. Поэтому метод Хартри в таком виде нельзя использовать для рассмотрения молекул. [c.54]

Казалось бы можно решить задачу о молекуле Нг, рассчитать все ее свойства, действуя так же, как и в случае атома водорода, — подставляя в уравнение Шредингера выражение потенциальной энергии и точно решая это уравнение. Этого, однако, практически сделать не удается, так как наличие взаимодействия электронов между собой чрезвычайно затрудняет точное решение уравнения Шредингера. Уравнения механики, как классической, так и квантовой, решаются точно, если рассматриваемая система состоит не более чем из двух тел. Задача об атоме водорода решена точно именно потому, что здесь есть лишь два тела — электрон и протон. [c.138]

Первая задача состоит в определении уравнения потенциальной поверхности. Ее решение связано со значительными математическими трудностями, так как требует решения уравнения Шредингера для системы с большим числом электронов, что в настоящее время практически невозможно даже с применением электронных счетных машин. [c.65]

Данное уравнение известно как уравнение Шредингера для стационарных состояний. Первое слагаемое гамильтониана отвечает кинетической энергии электрона, а второе — потенциальной. [c.50]

Вследствие того что электрон в атоме, так же как в трехмерном потенциальном ящике, имеет три степени свободы, при решении уравнения Шредингера появляются три квантовых числа, которые в данном случае взаимосвязаны друг с другом главное квантовое число /г, побочное, или азимутальное, [ н магнитное т. [c.19]

Для многоэлектронного атома уравнение Шредингера должно включать вторые производные волновой функции по координатам каждого электрона и потенциальную энергию, учитывающую притяжение каждого электрона к ядру и взаимодействие между ними. Поэтому точное решение уравнения Шредингера для многоэлектронных систем невозможно. В приближенном решении не только пренебрегают движением ядер, но и делают дальнейшие допущения. То же самое можно сказать и в отношении молекулярных систем. [c.22]

Если отбросить последний интегральный член в левой части уравнения, то оставшееся уравнение можно рассматривать как уравнение Шредингера для электрона во внешнем потенциальном поле и поле остальных электронов. Первый интегральный член представляет собой как бы потенциальную энергию электрона в поле его партнера, находящегося в том же состоянии, а Ур — потенциальную энергию от всех прочих электронов, размазанных с плотностью р. Подобные уравнения были получены впервые Хартри (см. раздел 8 гл. XIV) на основании наглядных представлений без установления связи их с уравнениек Шредингера в конфигурационном пространстве. Уравнения с добавочным интегральным членом, вносящим энергию квантового обмена, получены Фоком и названы им уравнениями самосогласованного поля с обменом. Им же было показано, что уравнения Хартри также могут быть обоснованы путем вывода их из вариационного начала, если волновую функцию системы брать в форме произведения одноэлектронных функций. Таким образом, наличие обменных членов есть следствие надлежащей симметрии волновой функции, следуемой из принципа Паули. В методе Фока достигается наибольшая точность описания, совместимая с представлением об одноэлектронных состояниях в системе. [c.419]

Допустим, что электрон может двигаться только по оси х в отрезке между х = 0 и х = а. Потенциальную энергию электрона в пределах этого отрезка можно принять равной нулю. Уравнение Шредингера для этого случая имеет вид [c.220]

Имея понятия о квантовых числах п, I, гп/, можно перейти к квантово-механическому объяснению строения наиболее простого одно-электронного атома (например, атома водорода). Он имеет только один электрон, движущийся в поле ядра. В этом случае входящая в уравнение Шредингера функция потенциальной энергии и принимает вид [c.222]

Как мы увидим ниже, при рассмотрении молекулы водорода функция потенциальной энергии электронов дается выражением, состоящим из 6 членов. Для других молекул потенциальная нергия электронов определяется еще более сложными соотношениями. Отыскать функцию г(), удовлетворяющую уравнению Шредингера, в этих случаях не удается. Поэтому стараются найти функцию и значения Е, близкие к тем неизвестным г з и Е, которые являются решением уравнения Шредингера. [c.143]

В 1927 г. немецкие ученые У. Гейт-лер и Ф.Лондон провели квантовомеханический расчет взаимодействия атомов водорода при образовании молекулы На-В результате приближенного решения уравнения Шредингера они вывели зависимость потенциальной энергии системы от расстояния между ядрами атомов водорода (рис. 13). При сближении двух атомов электроны с антипараллельными спинами притягиваются одновременно двумя протонами, поэтому потенциальная энергия системы уменьшается (кривая 1). При сближении двух атомов действуют не только силы притяжения, но и силы отталкивания. Два электрона отталкиваются друг от друга, то же наблюдается и для двух протонов. Силы отталкивания начинают преобладать при очень малых расстояниях между атомами. При некотором расстоянии между ядрами энергия системы минимальна. Система становится наиболее устойчивой, возникает химическая связь и образуется молекула водорода. Расстояние между ядрами в молекуле водорода Го (длина связи) равно 0,074 нм. При сближении атомов, у электронов которых спины параллельны, наблюдается только их отталкивание и энергия системы возрастает (кривая 2). Квантовомеханические расчеты показывают, что электронная плотность в системе при взаимодействии двух атомов водорода, имеющих антипараллельные спины электронов, максимальна в области, лежащей между ядрами [c.42]

Решение уравнения Шредингера для атома водорода. Уровни энергии и вид Ч -функций атома водорода. В атоме водорода электростатически взаимодействуют ядро с зарядом +е и электрон с зарядом —е и массой т. Потенциальную энергию их взаимодействия E = —е /г подставим в уравнение Шредингера (II.8) [c.11]

Потенциальное поле, создаваемое взаимодействием электрона и протона, сферически симметрично относительно ядра, как начала координат. Важные квантово-механические характеристики атома можно найти, рассматривая движение электрона в полярной сферической системе координат. Как известно, прямоугольные координаты связаны со сферическими соотношениями х = г sin д os ф I/ = / sin О sin ф г = г os О, где д — угол, образованный радиусом-вектором г с осью г, ф — угол, образованный осью х с проекцией радиус-вектора на плоскость ху. Воспользуемся этими соотношениями и напишем уравнение Шредингера (И.9) в полярных сферических координатах [c.11]

В квантовой механике установлено, что движение ядер характеризуется потенциальной энергией г, Г2,. .., гзлг б-а). Она соответствует энергии системы в основном состоянии, когда координаты ядер фиксированы. Для сокращения записи будем обозначать ее г). Энергия г) определяется путем решения волнового уравнения Шредингера для электронов, ее называют также энергией электронов. Гамильтониан, или оператор энергии, состоит из оператора кинетической энерегии электронов и полной потенциальной энергии ядер и электронов. Он не содержит оператора, отвечающего кинетической энергии ядер. Энергия S r) представляет собой собственное значение оператора энергии, отвечающего фиксированным ядрам. [c.735]

Следует подчеркнуть, что изложенные выше теоретические соображения являются основой для теоретического расчета энергии активации, который сводится к определению формы поверхности потенциальной энергии, отысканию седловой точки и вычислению энергии, соответствующей этой точке. Форма энергетической поверхности определяется из решения уравнения Шредингера для электронов нри различных значениях кооординат ядер. [c.501]

Во-первых, одноэлектронные уравнения по-прежнему остаются уравнениями с тремя переменными, и решить такие уравнения с помощью существующих методов невозможно. Определен ный прогресс может быть достигнут только в том случае, если отдельные одноэлектронные уравнения сами могут быть сведены к простым дифференциальным уравнениям. Это возможно только для атомов, и только тогда, когда полное электронное распределение атома обладает сферической симметрией. Если это так, то потенциальная энергия электрона зависит только от его расстояния до ядра поэтому силы, действующие на электрон, направлены к ядру и угловой момент электрона относительно ядра должен быть постоянным. При этом операторы Мг и Mzi должны коммутировать с Н,, и мы можем воспользо- ваться ими для разделения одноэлектронного уравнения Шредингера (2.54). Это становится очевидным сразу, если записать. одноэлектронный гамильтониан для электрона, потенциальная энергия которого является некоторой функцией V (г) (г — его расстояние до начала координат) [c.54]

Соответствующая волновая функция должна была бы зависеть как от координат электронов, так и от координат ядер. То, что в первом приближении можно рассматривать модельную задачу с фиксированными ядрами, впервые было показано в 1927 г. Борном и Оппен-геймером [21, которые представили полную волновую функцию в виде ряда произведений электронных и ядерных волновых функций и показали, что в хорошем приближении в этом ряду можно оставить одно-единственное слагаемое. Тогда электронная волновая функция будет решением уравнения (1.1.1), а волновая функция ядер определится из соответствующего уравнения Шредингера для движения ядер в этом уравнении электронная энергия = = (R ), полученная как собственное значение уравнения (1.1.1) и зависящая от ядерных координат как от параметров, является потенциальной функцией. Именно из-за законности описанного разделения электронного и ядерного движений, обусловленного большим значением отношения массы протона к массе электрона, действительно можно начинать рассмотрение полной задачи с изучения электронной задачи при фиксированных ядрах. [c.14]

Ковалентная связь. Метод валентных связей. Мы уже знаем, что устойчивая молекула может образоваться только при условии уменьшения потенциальной энергии системы взаимодействующих атомов. Для описания состояния электронов в молекуле следовало бы составить уравнение Шредингера для соответствующей системы электронов и атомных ядер и найти его решение, отвечающее минимальной энергии системы. Но, как указывалось, в 31, для мно-гоэлсктронных систем точное решение уравнения Шредингера получить не удалось. Поэтому квантово-механическое описание строения молекул получают, как и в случае многоэлектронных атомов, лишь на основе приближенных решений уравнения Шредингера. [c.119]

Если процесс може быть представлен. .в адиабатическом приближении Борна—Оппенгеймера, т.е. в приближении, когда уравнение Шредингера сводится к задаче движения ядер в потенциальном поле, то поверхность потенциальной энергии является функцией межъядерных расстояний и определяется состоянием электронной подсистемы. Условия применимости адиабатического приближения определяются разностью энергий электронных термов, скоростью движения ядер и характеризуются величиной параметра Месси (см. [107]). [c.51]

Теория Гориути — Поляни содержит допущение, согласно которому распределение электронов адиабатически следует за изменением положения тяжелых частиц. Таким образом, приведенные на рис. 150, а кривые следует называть не потенциальными кривыми, а электронными термами. Понятие электронного терма включает в себя потенциальную энергию медленных (тяжелых) частиц и полную энергию электронов. Различие между электронным термом и истинной потенциальной кривой проще всего проиллюстрировать на примере иона в газовой фазе, где два протона, находящиеся на расстоянии Я друг от друга, связаны единственным электроном. Истинная потенциальная энергия этой системы и=еУЫгаН (во— диэлектрическая проницаемость вакуума) и ее зависимость от показана кривой 1 на рис. 151. Полная энергия электрона в системе На+ также зависит от Эта зависимость, рассчитанная на основе решения уравнения Шредингера, представлена кривой 2 на рис. 151. Кривая 3 на рис. 151 отражает зависимость элект- [c.278]

Нахонсдение уравнения потенциальной поверхности, описывающего изменения энергии взаимодействующих атомов в зависимости от их мезкатомных расстояний. Решение этой задачи позволило бы определять высоту энергетического барьера. Оно требует решения уравнения Шредингера для много-электронных систем, что до сих пор остается практически невозможным дансе с помощью ЭВМ. [c.260]

Мы видели, что решение уравнения Шредингера приводит к ряду дискретных уровней энергий, расстояние между которыми падает с увеличением размера потенциального ящика. Поэтому для металла достаточно большого объема можно считать, что спектр энергии электронов сколь угодно близок к непрерывному. Согласно принципу Паули, на каждом уровне могут наход 1ться два электрона с противоположными спинами. [c.502]

Потенциальная энергия в уравнении Шредингера для ячейки подбирается таким образом, чтобы решение этого уравнения с краевыми условиями, отвечающими задаче атома (яроо = 0), правильно передало термы атома. Так, найденное потенциальное поле содержит приближенное описание эффективного отталкивания валентного электрона от электронов ионов. [c.514]

Строение атома яодорода. Атом водорода имеет наиболее простое строение один электрон движется в поле ядра. Для такой системы функция потенциальной энергии, входящая в уравнение Шредингера, имеет вид [c.23]