Вырождение собственных состояний

В отсутствие магнитного поля энергия частицы не зависит от ориентации спина (значения т ), и следствием наличия спиновой переменной будет увеличение вырождения каждого энергетического уровня в (25 + 1) раз число квантовых состояний с заданной энергией возрастает в (25 + 1) раз. Для числа собственных состояний в заданном интервале значений энергии частицы, движущейся в потенциальном ящике, вместо формулы (УП.25) запишем [c.157]

Для того чтобы понять это явление, вспомним, как выглядит диаграмма энергетических уровней системы Аг (см. рис. V. 2). При использовании функции симметрии получим антисимметричное состояние и три симметричных собственных состояния, связанные вырожденными переходами Е2 Е и 4-> 2 (рис. IX. 38, а). Взаимодействие двух ядерных спинов Ц) и цг, разделенных расстоянием гц, вызывает либо стабилизацию, либо дестабилизацию собственных состояний спиновой системы. Энергия взаимодействия задается выражением [c.361]

Изложенная ранее теория основывалась на предположении, что взаимодействие между атомами в сталкивающихся молекулах описывается некоторым потенциалом, который получается как собственное значение гамильтониана электронов для фиксированных положений ядер (адиабатическое приближение для электронных состояний). Применимость адиабатического приближения предполагает возможность пренебречь переходами менаду различными электронными состояниями взаимодействующих молекул. Необходимым (но отнюдь не достаточным) условием для этого является большое расстояние между электронными термами свободных молекул. Если же один или оба. партнера по столкновению находятся в вырожденном электронном состоянии, то адиабатическое приближение заведомо неприменимо [262, 20]. [c.175]

Приравнивание этого определителя нулю дает уравнение степени для р, а его корни дают собственных значений fi, что согласуется с поставленными условиями. Каждому из этих корней принадлежит собственное состояние р, лежащее полностью в подпространстве, характеризуемом а. Кратному (кратности й аф ) корню Р будет принадлежать /р/ линейно независимых собственных состояний, лежащих в этом подпространстве. Поскольку все собственные состояния р даются (2.15) и поскольку ясно, что мы нашли полную систему решений (2.15), то отсюда следует, что мы нашли полную систему состояний ф (а р )> которые являются одновременно собственными состояниями и р. Если все же в этих состояниях продолжает существовать вырождение, тогда можно выбрать третью наблюдаемую у (не зависящую от а и в том смысле, что у не есть функция а и ), коммутирующую как с ас, так и с С помощью процесса, аналогичного описанному выше, мы можем найти полную систему собственных состояний у, являющихся одновременно собственными состояниями и р, т. е. имеющих вид ф(а Р )- продолжаем вводить независимые коммутирующие наблюдаемые до тех пор, пока не перестанем находить вырождение в состоянии, являющемся одновременно собственным для них всех. Число таких наблюдаемых есть квантово-механическая аналогия классического числа степеней свободы. Например, мы найдем, что для атома кальция, состоящего из 20 электронов и закрепленного ядра, необходимо 80 квантовых чисел для полного описания его состояния. Система наблюдаемых, скажем, Ти Та > с помощью общих собственных состояний которой мы можем описать полностью состояние системы, называется полной системой. Для краткости мы обозначим эту систему наблюдаемых через Г и будем записывать состояние, характеризуемое квантовыми числами ч Т виде ф (Г ) ). [c.25]

Вследствие того что невозмущенные состояния водорода вырождены, необходимо произвести такой выбор невозмущенных собственных функций, чтобы е г было диагональной матрицей по отношению к первоначально вырожденной группе состояний. Это достигается, как показали Шредингер и Эпштейн 1), при условии, что при решении задачи об атоме водорода используются параболические координаты, в которых переменные разделяются. Положим [c.381]

В случае градиента поля, характеризующемся осевой симметрией, 1Г1 = О и собственными состояниями оператора (22) являются состояния 1 = М, где М — магнитное квантовое число ядра состояния М являются вырожденными, поскольку 1 входит в выражение (22) в квадрате. В случае когда у] =/= О, необходимо решать вековое уравнение, которое соответствует гамильтониану (22). Для уровней со спином /г (рис. 9), как, например, для первых возбужденных состояний Те и получается следующее решение [c.251]

Согласно теории возмущений первого порядка, в тетраэдрических молекулах кориолисово взаимодействие снимает трехкратное вырождение колебательных состояний типа F. Трижды вырожденные колебания расщепляются на три колебательных подуровня, имеющих собственный набор вращательных уровней энергии, положение которых определяется следующим образом [c.178]

В данном состоянии, называемом собственным состоянием системы, Ф представляет собственную функцию оператора А и а — соответствующее собственное значение. Следует отметить, что в некоторых случаях несколько собственных функций, соответствуя одному и тому же собственному значению, принадлежат одному собственному состоянию такое состояние называется вырожденным. [c.40]

Вырождение вращательных состояний. Из выражения для полинома Лежандра — см. уравнение (10.15) — следует, что наивысшая степень х определяется -кратным дифференцированием величины x , и поэтому конечный результат будет содержать х . Следовательно, т-я производная от Р (ж), а стало быть и присоединенный полином Лежандра, в который входит эта производная, превратится в пуль, если т больше . Таким образом, т, которое, как неоднократно указывалось выше, должно быть щ лем или целым числом, может при данном I принимать только значения 0,1,2,..., при условии, что собственная функция ротатора должна быть конечной величиной. Член е п < , входящий в уравнение (11.8), показывает, что каждому целому значению т соответствуют две собственные функции с положительным и отрицательным значением т поэтому при данном I величина тп может быть равна О, 1, 2,. . ., . Следовательно, для каждого значения имеются 11+ возможных значений т, которые соответствуют тому же самому числу собственных функций, представленных уравнением (11.8). Из уравнения (9.68) следует, что число I определяет собственное состояние ротатора. Поэтому каждое энергетическое состояние [c.65]

Имеются также и некоторые другие положения классической теории, нуждающиеся в изменении. В классической статистической механике принимается возможность непрерывных изменений энергии, в то время как по квантовой теории молекула может обладать лишь некоторыми определенными значениями энергии. В ряде случаев каждый энергетический уровень соответствует одному собственному состоянию и обладает одной собственной функцией. Однако иногда оказывается, что по какой-либо причине данный уровень является вырожденным (см. параграф 6а), т. е. что с одним и тем же (или приблизительно с одним и тем же) собственным значением энергии связано несколько собственных функций. Число собственных состояний, связанных с данным энергетическим состоянием, равно в этом случае вырождению. Если кратность вырождения, соответствующая энергии равна то число собственных состояний, соответствующих этой энергии, также равно . Для невырожденного состояния число собственных состояний, естественно, равно единице. Поскольку было постулировано, что каждое собственное состояние имеет одинаковую вероятность, вырождение часто называется априорной вероятностью или статистическим весом данного энергетического уровня. [c.383]

В этом уравнении частота V выражена в сек. а колебательное квантовое число г может принимать значения, равные О, 1, 2 и т. д. Каждому дискретному значению колебательной энергии соответствует одно собственное состояние, за исключением тех случаев, когда многоатомная молекула имеет вырожденные частоты. Уравнение распределения Максвелла — Больцмана [c.423]

Если в /-Й группе имеется g собственных функций, т. е. если группа имеет -кратное вырождение, то элементов в этой группе может быть распределено различными способами. Общее число собственных состояний или квантовых уровней для л элементов, которое является мерой вероятности Р этого частного распределения, определяется выражением [c.166]

Так, например, применение теории возмущений к литию приводит к выводу, что основной уровень должен быть восьмикратно вырожденным с состояниями типа (Ь) 5 и (15) 5, причем спиновые собственные функции и для трех электронов должны иметь вид [c.240]

Набор собственных состояний для прямоугольной потенциальной ямы, приведенный в правой части рис. 52, такой же, как и в случае гармонического осциллятора, с той лишь разницей, что здесь снято случайное вырождение. Переход от осцилляторной к прямоугольной яме снижает потенциальную энергию (отрицательная величина) вблизи края ядра и, следовательно, увеличивает стабильность состояний, концентрирующих частицы близ края ядра это означает, что состояния с наибольшим моментом количества движения оказываются наиболее устойчивыми. Последовательность уровней реальных ядер можно ожидать где-то между этими двумя предельными случаями она показана в средней части рис. 52. [c.282]

Бывают, конечно, случаи, когда, подобно состоянию 15 атома Н, собственное состояние "К не вырождено, но, вообще говоря, данному собственному значению Е-), соответствуют несколько собственных функций г (I = 1, 2,. .., g) величину g называют кратностью вырождения состояния %. В атоме Н, например, р-состояние вырождено трехкратно, а ( -состояние — пятикратно. Ниже ради удобства мы не выписываем индекс % и рассматриваем собственные функции / (1 = 1, 2,. .., g), принадлежащие -кратно вырожденному собственному значению энергии Е [c.77]

Л)) и 12 (А)) — два вырожденных собственных кет -векто-ра оператора а, то комбинация 11(Л))+ 2(Л)) отличается от каждого из первоначальных кет -векторов, но не ортогональна ни к одному из них. Этот результат имеет. простое физическое объяснение. Ортогональность собственных кетх-векторов соответствует тому случаю, когда различные состояния системы могут быть физически различимы. Однако настолько, насколько это можно обнаружить при измерении а, вырожденные собственные состояния оказываются неразличимыми поэтому и соответствующие вырожденные собственные кет -векторы могут быть не ортогональными. [c.23]

Собственные значения энергий могут- образовывать либо дискретную последовательность уровней анергии, либо непрерывную последовательность (сплошной спектр), либо и то и другое вместе. Это — первая особенность квантовой статистики по сравнению с классической механикой, в которой величина II, являясь непрерывной, всегда образует сплошной спектр. Вторая особенность состоит в том, что каждому уровйю энергии может соответствовать не одна, а несколько собственных функций. В этом случае число собственных состояний частиц, связанных с данным значением энергии, характеризует вырождение уровня. Если кратность вырождения, соответствующая некоторой энергии например, равна gi, то и число собственных состояний, соответствующих этой энергии, равно и в этом случае говорят о --кратном вырождении -го энергетического уровня. Для невырожденного состояния, естественно, число собственных состояний g = I. Поскольку каждое собственное состояние (первый постулат) имеет одинаковую вероятность реализации, то вырождение 1 нагзывается также априорной вероятностью или статистическим весом данного энергетического уровня. [c.59]

Изложенная ранее теория основывалась на предпо сожении, что взаимодействие между атомами в сталкивающихся молекулах описывается некоторым потенциалом, который получается как собственное значение гамильтониана электропов для фиксированных положений яд ф (адиабатическое приближение для электронных состояний). Применимомь адиабатического приближения предполагает возможность пренебречь переходами между различными электронными состояниями взаимодействующих молекул. Необходимым (но отнюдь не достаточным) условием для этого является большое расстояние между электронными термами свободных молекул. Если же один или оба партнера по столкновению находятся в вырожденном электронном состоянии, то адиабатическое приближение заведомо не применимо. Межмолекулярное взаимодействие снимает вырождение электронного состояния, так что при сближении молекул возиикает ряд адиабатических потенциалов (поверхностей потенциальной энергии), которые при увеличении межмолекулярного расстояния сливаются в вырожденный электрон- [c.88]

Некоторые сведения о строении атомов. Атомная система, состоящая из положительно заряженного ядра и отрицательно заряженной оболочки, устойчива лишь в состоянии движения. Движение электронов в электростатическом поле ядра и оболочки описывается в квантовой механике функцией или так называемой волновой функцией. Последняя в случае устойчивого атома зависит только ot пространственных координат, например х, у, г, и может быть найдена в вИде так называемой собственной функции путем рещения некоторого дифференциального уравнения в частных производных (независимого от времени уравнения Шредингера). Обычно существует большое число таких решений, н каладой собственной функции соответствует определенное собственное значение энергии Однако бывает и так, чto одному собственному значению соответствует несколько различных собственных функций. Этот случай называется вырождением. Собственное значение энергии и соответствующая собственная функция каждого электрона определяют его состояние (орбиту) в атоме. Наглядная интерпретация собственных функций, по Борну, заключается в следующем квадрат значения х, у, г), умноженный на элемент объема = йхйуйг в точке х, у, г, т. е. представляет собой критерий ве- [c.47]

ГА. Ян и Э. Теллер (1937) показали, что у многоатомной молекулы все1да найдется такое неполносимметричное колебание ядер, при к-ром электронная энергия вырожденного электронного состояния понижается, в результате чего минимум на потенц. пов-сти смещается к конфигурации ядер с более низкой симметрией. В этом заключается собственно Я.-Т. э. 1-го порядка высокосимметричная конфигурация мол. системы при наличии электронного вырождения является неустойчивой и самопроизвольно деформируется. Волновые ф-ции и отвечающие им энергетич. состояния м.б. рассчитаны в рамках 1-го порадка возмущений теории. Так, ддя октаэдрич. комплексов переходных металлов искажение, ведущее к понижению симметрии двукратно вырожденного электронного состояния типа Е, м. б. связано с его взаимод. с двукратно вырожденным кoлeiбaт. уровнем е того же типа симметрии (см. Симметрия молекул). Для таких комплексов Я.-Т. э. проявляется в том, что у мол. системы существуют 3 эквивалентных минимума, отвечающих октаэдру, вытянутому (или сжатому) по одной из его 3 осей 4-го порядка. Если эти минимумы разделены невысокими барьерами, происходит туннельное расщепление энергетич. уровня. Между расщепленными уровнями возможны переходы, что проявляется в тонкой структуре оптич. спектров, изменении правил отбора, появлении новых линий в ИК спектре. [c.532]

Если использовать модель электрон на окружности для описания л-электронов в циклических сопряженных системах, то нужно заселить энергетические уровни электронами в соответствии с принципом заполнения, т. е. соблюдая принцип исключения Паули и правило Хунда. В соответствии с этим для (4п + 2)-л-систем возникает замкнутая оболочка (рис. IV. 12, а) и занятые собственные состояния, или орбитали, дают диамагнитный вклад в магнитную восприимчивость. В противоположность этому в 4п-л -электронных системах высшие занятые орбитали содержат каждая лишь по одному электрону, спины которых не спарены (рис. IV. 12, б), и эти соединения должны быть парамагнитными. В действительности ни циклооктатетраен, ни другие [4/г] аннулены не проявляют молекулярного парамагнетизма. Как гласит теорема, сформулированная Яном и Теллером, вырождение высшей занятой орбитали может быть снято за счет небольшого искажения симметрии молекулы, возможно за счет альтернирования длин связей. Это дает возможность обоим электронам занять один более низко лежащий энергетический уровень. На возникающей Энергетической диаграмме (рис. IV. 12, в) в соответствии с этим высшая занятая и нижняя свободная орбитали разделены лишь небольшой энергетической щелью. Это различие в энергиях значительно меньше, чем в случае (4п + 2)-л-систем. Взаимодействие с магнитным полем Во вызывает смешивание этих электронных состояний, что в соответствии с нашим ана" лизом, начатым в разд. 1 гл. II, приводит к парамагнитному вкладу в константу экранирования о. Он по величине больше. [c.98]

Состояние 1з является невырожденным Состояние с гаавным квантовым числом, равным двум, является четырехкратно вырожденным Одно состояние 25 также, подобно 1з, сферически симметричное Его собственная функция У1/2 (2-г/а)ехр(-г/2а) [c.42]

Тогда собственная функция, построенная как линейная комбинация всех собственных функций, соответствующих вырожденному энергетическому состоянию, будет являться рюшением уравнения с гамильтонианом вида Н Остается определить коэффициенты в данной линейной комбинации Их можно найти, если воспользоваться правилом антисиммет- [c.68]

Применение матриц Рэдфилда для представления релаксационного супероператора (разд. 2.3.2) позволяет записать это важное уравнение в более наглядной форме. В отсутствие вырождения каждый недиагональный матричный элемент a(i) на собственных состояниях Ж эволюционирует независимо [c.201]

Рис. 7.2.12. Схематическое изображение 2М-спектра спинового эха гомоядерной системы АВХ. Сигналы с амплитудами 2 р, находятся на пересечении наклонных линий с индексами рд и горизонтальных линий с индексами гз. Значками в форме бубен и трефов обозначены соответственно положительные и отрицательные сигналы. Общепринятая нумерация собственных состояний показана на рнс. 4.4.2,б, а аналитические выражения для интенсивностей можно найти в работе (7.30). Переходы 12> <-> 1б> и 16> <-> 18> имеют пренебрежимо малую интенсивность, поскольку одни нз АВ-подспектров практическе вырожден. По этой же причине очень малую интенсивность имеют восемь сигналов в АВ-части 2М-спектра, не отмеченные на этом рисунке. Следует заметить, что обозначение частотных осей отличается от принятых на других рисунках. (Из работы (7.30).)

Покажем, что орбитально невырожденному уровню -должек соответствовать нулевой момент (а следовательно, нулевой орбитальный магнитный момент). Предположим, что собственная функция (соответствующая некоторому собственному состоянию системы) является функцией комплексного переменного. В этом случае всегда существует по крайней мере еще одна независимая собственная функция, соответствующая состоянию с той же самой энергией, т. е. комплексно-сопряженная функция. Значит, любое состояние, которое может быть описано собственной функцией в комплексной форме, должно быть по меньшей мере дважды вырожденным. Наоборот, если состояние не вырождено, собственная функция должна быть действительной (по крайней мере в том случае, когда потенциальная энергия определяется [c.281]

В рамках линейной задачи об устойчивости неподвижного состояния Дэвис [141], пользуясь методом Галеркина, показал, что наличие боковых стенок снимает вырождение собственных функций в прямоугольном резервуаре с жесткими горизонтальными и вертикальными границами критическое число Рэлея меньше для тех валов, которые параллельны более короткой стороне резервуара. Именно такие валы предсказываются на основании амплитудного уравнения Ньюэлла—Вайтхеда—Зегеля [47 и его обобщения для суперпозиции систем взаимно перпендикулярных валов [55]. Вывод о предпочтительности валов, параллельных короткой стенке, подтвердили Шторк и Мюллер [142] в эксперименте, который был выполнен при различных отношениях сторон прямоугольного резервуара и различных аспектных отношениях и показал хорошее согласие с [141]. Линейная теория Эдвардса [143] довольно хорошо описывает режимы с различным числом валов, наблюдавшиеся в [142] при разной геометрии полости. В [143] найдено, что в резервуаре, близком к квадратному, вблизи порога неустойчивости могут возникать системы взаимно перпендикулярных валов. [c.89]

Если в общем случае вырождение или статистический вес г-того уровня равен g , то общее число собственных состояний для группы из j элементов равно числу способов, кото]р ш можно распределить п,- элементов по gi волновым функций . В связи с тем, что полная собственная функция в статистике Бозе—Эйнщтейна должна быть симметрична, ограничения чИойа элементов, связанных с каждой данной функцией, отсутствуют. Искомое число различных способов размещения равно числу способов размещения неразличимых частиц в ящике, разделенном на gi отделений, причем число частиц в каждом отделении не ограничивается. Пусть ящик разделен gi — i перегородками на отделений. Тогда все /г частиц оказываются распределенными по этим отделениям. Общее число перестановок П частиц и g,- —1 перегородок равно (ге —1) . Поскольку все щ частиц являются неразличимыми, перестановки самих частиц не приводят к новым состояниям. Поэтому общее число перестановок надо еще разделить на щ1. Далее, перестановки — 1 перегородок не изменяют того обстоятельства, что число отделений равно попрежнему Следовательно, необходимо разделить общее число перестановок еще на (g,- —1) . Число способов распределения Tii частиц по gj отделениям равно тогда числу различных собственных состояний в любой группе, содержащей элементов. Это число способов равно [c.386]

Индивидуальные собственные функции терма, как и весь терм, часто называют состояниями. Обычно различие очевидно. В тех случаях, когда различие выражено не столь явно, мы будем пользоваться для описания всей совокупности вырожденных состояний термином терм или уровень, а для описания индивидуальных состояний термином компонентные состояния. [c.65]

Здесь Г - индекс неприводимого представления, например квантовое число I для случая движения электрона в центрально-симметричном поле. Собственное значение (иГ) выписывают столько раз, какова его кратность (т.е. размерность оболочки). Верхние индексы у чисел Г указывают, что среди них могут быть и совпадающие. При заданных значениях (п. Г) задача может быть вырожденной, при этом следует выбрать порядок следования функплй в пределах выделенной оболочки. Если базисные функции р являются собственными функщ1ями оператора S , то можно условиться, что первыми, например, располагаются функции со спином вверх (5 = +1), а затем - со спином вниз (S = -1). Важно лишь общее утверждение о возможности нумерации состояний упоря- [c.104]

Если в молекуле нет вырождения электронных уровней, то эффект Фарадея возникает в связи с возмущением собственных волновых функций в поле 1)зо и потерей ими центра и плоскости симметрии. Так, возмущенная волновая функция может быть выражена через функцию в отсутствие поля г15о и волновые функции возбужденных состояний молекулы я >л уравнением [c.255]

Эффект Фарадея зависит от частоты используемого света. Изменяя частоту падающего света в значительном интервале, можно получить зависимость угла вращения от частоты а((а), т. е. кривую ДМОВ. Для приведенных примеров снятия вырождения уровней в поле (рис. XIV.6) кривые ДМОВ будут существенно различны. Для переходов (рис. XIV.6, а) дисперсионные кривые показателей преломления л (ш) и /ir( u) сдвинуты относительно друг друга, и кривая ДМОВ показана на рис. XIII.5. Для вырожденного основного электронного состояния (рис. XIV.6, б) заселенности расщепленных подуровней в магнитном поле различны. Это существенно изменяет форму кривой а((о) даже больше, чем различие в собственных частотах соо(г) и юо(/). Поэтому кривая разности п/(и>)—Пг(ш) практически по форме повторяет кривую л (со) или кривую ДОВ (см. гл. VHI). [c.256]

В определенных случаях нескольким собственным функциям, т. е. нескольким стационарным состояниям, отвечает одно и то же значение энергии. Такие стационарные состояния называют вырожденными состояниями. Число линейно независимых собственных функций у, которым отвечает одно и то же собственное значение Е, называют степенью вырождения. Выражение трехкратное вырождение означает, что данному Е отвечают три собственные функции. У), Уз и Уз аналогично употребляют термины двукратное вырождение и т. п. Чем выше симметрия поля, в котором находится частица (системг , и чем выше симметрия системы, тем чаще встречаются вырожденные состояния и тем выше степень вырождения. [c.14]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология