Функции ортонормируемые

Рл (1) лг(2) л/(Л ) Одноэлектронные функции ) ортонормированы [c.64]

При других значениях переменных = О (/ = 1, 2,..., т). Эти функции ортонормированы и процедура расчета коэффициентов уравнения [c.132]

Если функции ортонормированы, то [c.99]

Все атомные одноэлектронные функции ортонормированы, причем это распространяется также на функции, относящиеся к разным состояниям атома в целом. [c.595]

Эрмитовому оператору (11.28) соответствуют ортогональные собственные функции, которые могут быть связаны с проекционным оператором Рр или дополнительным оператором Q. Пусть ф,- — собственная функция, соответствующая оператору Рр (занятая орбиталь, принадлежащая подсистеме 5р), а ф — собственная функция, соответствующая Q (виртуальная орбиталь). Эти функции ортонормированы, поэтому [c.106]

I XiP tk Тяд) (1.55) Спиновые функции ортонормированы [c.27]

Предположим, что мы построили все наборы линейно независимых спиновых собственных функций 0 ( =1. 2,. .., 5)). которые можно получить (например, методом диаграммы ветвления) из 2 имеющихся спиновых функций-произведений. Взятые вместе для всех возможных значений 5 и Л1 (0< 5< М=5, 5—1,.... .., —5), они дают в точности 2 независимых спиновых функций, и от них, разумеется, можно перейти к 2 простым функциям-произведениям, просто переходя к другому базису в полном 2л -мерном спиновом пространстве поскольку оба набора спиновых функций ортонормированы, то они должны связываться друг с другом некоторым унитарным преобразованием (см. в конце разд. 2.3), и если к любой базисной спиновой функции-произведению, скажем 0, применить обратное унитарное преобразование, то оно переведет ее в линейную комбинацию функции Таким образом, [c.98]

В итоге мы приходим к несколько обобщенной задаче на собственные значения определенной матрицы (которая, очевидно, переходит в обычную задачу на собственные значения матрицы, если, как это всегда можно сделать, не изменяя множества функций , ортонормировать в результате чего S станет единичной матрицей). Обращаясь теперь к более общему случаю, мы докажем следующее утверждение. Пусть множество пробных функций образует некоторое линейное пространство. Тогда всякий раз, хотя 4 ь и Ejf могут служить всего лишь приближе- [c.44]

Энергию системы (при условии, что одноэлектронные функции ортонормированы) можно записать так [c.12]

Координатные части их ортонормированы, а 81(01) означает спиновую часть этих функций, которая равна либо а(/), либо р(/). В дальнейшем мы будем рассмат- [c.49]

Собственные функции гармонического осциллятора (5.23) ортонормированы, т. е. [c.169]

В случае электронно-колебательных переходов как функции 4/3 и 4/3, таки у , и / , относятся к разным электронным состояниям и потенциальным поверхностям Поэтому, если интегралы уэ ( э = (функции всегда ортонормированы), то интегралы у 1 уя дУ 8 (колебательные функции разных электронных состояний не ортогональны) Напомним, что 5 -символ Кронекера 5 = 1 при одинаковых значениях штрих и два штриха, и нуль во всех остальных случаях Интегралы [c.340]

Молекулярные орбитали а ортонормированы по отношению к изолированной системе А. МО также образуют ортонормированный набор в изолированном состоянии системы В. МО и МО в общем случае являются неортогональными, за исключением случая бесконечного разделения. Мы можем считать все функции действительными. [c.39]

С другой стороны, функции g ot ортонормированы, и, следовательно, [c.142]

Предположим, что множество точек 0 и весов выбраны так, чтобы тригонометрические функции были ортогональны. Ортонормируем теперь систему тригонометрических функций, обозначая соответствующие нормирующие множители как и Тогда [c.144]

Следствие теоремы 1. Пусть заданы компактное в себе множество X и вектор-функция / = /J (1 г /г) и матрица М( ) неособенная. Тогда для (первые s компонент f) существует вероятностная мера на X и матрица С размерности (s X к) ранга S, такая, что функции h x) (i =1,..., s), где h(a ) = f(a ), ортонормированы между собой относительно ( ) и ортогональны к fj (/ s) и удовлетворяют условию 8 [c.158]

Если молекулярная волновая функция нормирована и орбитали ортонормированы, интегралы (1)—(3) все имеют коэффициент +1, тогда как интегралы (4) имеют коэффициент —1. [c.75]

Подставьте (Х.8) в (Х.9) и учтите, что х) — собственные функции оператора Н, а функции г ) ортонормированы. Вы должны получить равенство [c.154]

Дальнейшие ограничения, накладываемые на коэффициенты сопряжения векторов, можно вывести исходя из того, что собственные функции I /ь /2, /, пг) ортонормированы, т. е. [c.465]

Предположим, что функции фИ ) ортонормированы , т. е. [фг Йф/И г = 6,-/ ((,/ = 1, 2,. .. п) (11.35) [c.44]

Для того чтобы найти оптимальную волновую функцию, потребуем, чтобы энергия Е являлась стационарной по отношению к вариациям коэффициентов и по отношению к вариациям вида орбиталей А, В,.... Кроме того, потребуем, чтобы (Ч Ч )=1 и чтобы орбитали А, В,. .. были ортонормированы. Вместе с этими дополнительными условиями условие б =0 приводит тогда к совершенно общим уравнениям [19], из которых определяются как коэффициенты разложения, так и оптимальные орбитали. Уравнение для орбиталей при этом связано с определенной одноэлектронной задачей, которая в принципе может быть решена с использованием итерационной процедуры стандартного метода ССП. [c.183]

В качестве исходной точки при рассмотрении возму-щения собственного значения энергии д, хюккелевской МО используем уравнение (1) (разд. 6.2). Функция г 5дг ортонормирована, поэтому справедливо следующее соотношение [c.241]

Итак, мы получили две спиновые волновые функции — 51/2 (5г) и 5-1/2 ( г)- Эти функции ортонормированы, в чем легко убедиться, если вспомнить, что их аргументы принимают лишь два значения в отличие от координаты х, имеющей непрерывный ряд значений. Нормированность функции / х) требует, чтобы [c.81]

Сферические функции, определенные формулой (1.60), ортонормиро-ваны [c.19]

Система собственных функций г-го вырожденного состояния не обязательно ортогональна, однако всегда можно найти такие их линейные комбинации, которые будут ортогональны. В дальнейшем будем считать, что система собственных функций оператора Н ортонормирована. Условие одновременной ортогональности и нормированности функций Р, (г=1, 2. .., со) записывается следующим образом [c.13]

Применим вариационный принцип для нахождения орбиталей Т,. Вывод уравнений Хартри- Фока проводится аналогично выводу уравнений Хартри. Орбитали Т, по условию счигаем ортонормиро-ванными, по )тому минимизация полной энергии Е (3.34) должна проводиться при учете условия ортонормироиаипости. Для этого составляется новая функция (функционал) [c.65]

Особенно легко выразить коэффициенты С , когда функции ф ортонормированы (см. гл. IV, стр. 100—102). В этом случае в правой части уравнения (VIII. 38) все слагаемые, кроме v-ro, обра-ш,аются в нуль, а v-e слагаемое равно Су,. Получим [c.199]

Такие три гибридные функции также ортонормированы и имеют вид, показанный на рис 1 13 и функции, во-первых, имеют резко выраженный сдвиг максимума в сторону от начала координат вдоль прямых, расположенных под углом 120 друг по отношению к другу, а во-вторых, они переходят друг в друга при повороте на этот угол Еще более сложные гибридные орбитали могут быть получены в том случае, когда используются все четьфе функции, отвечающие значению главного квантового числа, равного двум Явный вид этих функций может быть записан так [c.47]

Выражение (7.44) служит отправной точкой для вывода уравнений самосогласованного поля Хартри — Фока. Процедура их вывода заключается в том, чтобы минимизировать выражение (7.44) путем варьирования орбиталей (таким образом, она является вариационной процедурой), соблюдая при этом требование, чтобы одноэлектронные орбитали были ортонормиро-ванными. Для этого используется математический прием, называемый методом множителей Лагранжа (см. разд. 5-1 в книге [7]). Варьируемую функцию представляют в виде суммы рассматриваемой функции и произведений каждого ограничительного условия на неопределенный (постоянный) множитель. Вариация этой суммы считается равной нулю. В данном случае ограничительными условиями являются требования нормированности каждой орбитали и ортогональности каждой пары орбиталей. Таким образом, варьируемую величину следует записать в виде Я>-f I множители [c.155]

В этом случае функции фп( , Ri) вещественны и ортонормиро-ваны / [c.442]

Здесь учитывалось то обстоятельство, что гамильтониан Ж не зависит от спиновых переменных это позволило провести разделение пространственных и спиновых переменных при интегрировании. Переменные интегрирования указаны индексами за дираковскими скобками. (Мы используем здесь обозначения, введенные в гл. 5, которые позволяют записывать многократные интегралы в компактной форме.) Поскольку спиновые функции а (г) и р(г) ортонормированы [см. (4.82), (4.83)], имеем [c.189]

Если в гильбертовом функциональном пространстве На, где определен оператор Л, найдется полная ортонормиро-ванная система функций (3.364), которая совпадает с собственными функциями соответствующей задачи Штурма— Лиувилля для уравнения теплопроводности (3.354), то приближенное-решение (3.362), найденное по методу Ритца с последующим переходом в область оригиналов, будет совпадать с я-й частичной суммой точного решения. [c.173]

Таким образом, формально количество спина, связанное с орбитальной функцией плотности di= (f , равно Qsii, и если предположить, что базисные орбитали ортонормированы, то на основании выражения (4.9.3) сразу получим [c.140]

Это разложение называется к.шстерным разложением рассматриваемой волновой функции, связанным с базисом спин-орбиталей фь фг, фзЬ Эти базисные функции определяют вид первого ведущего члена разложения, который является просто слейтеровским детерминантом, составленным из этих спин-орбиталей. Последующие члены разложения получаются из этого слейтеровского детерминанта путем замены в нем одной, двух или трех базисных функций на одно-, двух- или трехэлектронные кластерные функции . По определению кластерные функции ортогональны тем орбитальным функциям-произведениям, которые они заменяют. Ввиду наличия операторов антисимметризации А можно считать без ограничения общности, что эти кластерные функции также сильно ортогональны вообще ко всем базисным функциям. Такое их свойство следует из того, что, например, разложение функции ф (х1, Хг) по функциям фь фг, фз и всем остальным функциям ф4, фв,. .., добавляемым для того, чтобы получить полную систему функций, не содержит слагаемых с функциями ф1 и фг (по определению), и, кроме того, любое слагаемое, содержащее фз, не будет давать вклада после антисимметризации произведения ф (х1, Хг)фз(Хз) (так как приведет к детерминанту с двумя одинаковыми столбцами). Такого же рода рассуждение можно провести для всех остальных кластерных функций, и поэтому далее мы можем использовать тот факт, что не только спин-орбитали ортонормированы, но что также и все кластерные функции сильно ортогональны к базисным СП и и-орбиталям ведущего детерминанта кластерного разложения. [c.243]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология