Гармонический осциллятор собственная функция его

Рис. 12. Уровни энергии и собственные функции двухатомной молекулы аппроксимированной гармоническим осциллятором.

Собственные функции гармонического осциллятора имеют вид [c.168]

Собственные функции гармонического осциллятора (5.23) ортонормированы, т. е. [c.169]

В области д >0 Т описывается тем же волновым уравнением, что и обычный гармонический осциллятор. Однако приемлемы только решения, которые обращаются в нуль в начале координат (граничное условие). Следовательно, собственными значениями энергии для обычного осциллятора являются те значения, которые соответствуют нечетным волновым функциям. Четность волновых функций простого осциллятора чередуется по мере увеличения квантового числа V начиная с четного основного [c.107]

Следовательно, функция ф, -собственная для с собственным значением, на единицу большим, чем у ф . Аналогично можно показать, что оператор Ь переводит функцию ф также в собственную для оператора но с собственным значением, на единицу меньшим. Вспоминая то, что было сказано при рассмотрении задачи о гармоническом осцилляторе (гл. I, 5), можно сразу же сказать, что операторы суть операторы повышения и пони- [c.95]

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих применение вариационного метода к вычислению собственных значений и собственных функций оператора Гамильтона. Вычислим вариационным методом энергию основного состояния одномерного гармонического осциллятора, т. е. системы, имеющей оператор Гамильтона [c.224]

Колебательные правила отбора получаются из уравнения (9), если подставить в него вместо собственных волновых функций г произведение функций гармонического осциллятора и вместо компонент поляризуемости—разложение в ряд, даваемое выражением (4). Тогда для матричных элементов получается выражение [c.133]

Если бы в этом операторе не было последнего члена, то мы имели бы обычную задачу о гармоническом осцилляторе с оператором решения которой нам известны (см. 5 гл. I). Попробуем теперь найти оценку для собственных значений и собственных функций гамильтониана (16) с помощью линейного вариационного метода. Выберем для простоты в качестве базиса первые четыре собственные функции гармонического осциллятора [см. равенства (1.5.14)и(1.5.15)] [c.150]

Леггетт и его сотрудники провели детальный анализ этой модели в ряде статей [103]. Используя эти результаты, попробуем рассмотреть вероятности квантовых переходов между начальным и конечным собственными состояниями квантовой системы в термостате. Как было сказано выше, термостат представляет собой огромное число уровней гармонических осцилляторов, линейно связанных с соответствующими уровнями с помощью констант сопряжения С. Число уровней энергии термостата (т. е. число частот осцилляторов) очень велико, и они образуют почти непрерывный спектр, который включает измененные собственные функции исходной системы. Вероятность перехода <г/- //> определяется с помощью золотого правила Ферми [103] [c.127]

График собственных функций гармонического осциллятора приведен на рис. 9. Точки, в которых волновая функция обращается в нуль (пересекает ось л ), называются узлами. Функция 11)0 не имеет узлов, т имеет один узел при д = О, Фа имеет два узла при X = Хо/ 2. Вообще можно показать, что число узлов функции 115 равно п. [c.106]

Полученное равенство (Vil.40) не что иное, как уравнение для линейного гармонического осциллятора (см. 6 гл. VI). Его собственные значения и собственные функции известны [c.126]

Ф И г. 5. Уровни энергии и собственные функции гармонического осциллятора, [c.107]

Следовательно, надо найти не только подходящее значение полной энергии, но и правильное начальное значение производной волновой функции, соответствующее начальному Значению волновой функции при равновесном расстоянии между ядрами. Это влечет за собой значительное увеличение объема вычислений. Кроме того, рекомендуем с самого начала проводить вычисления с более высокой точностью. При поиске собственных значений энергии ангармонического осциллятора используйте в качестве начального приближения результаты, полученные для гармонического осциллятора. [c.251]

Отметим, наконец, что в последнее время появились квантовохимические исследования влияния ангармоничности на колебания простых систем. Но обычно ангармоничность учитывается только для некоторых степеней свободы [347—350]. С помощью неэмпирических расчетов методом ССП для молекулы НЫО найдены [351] не только кубические, но и квартичные силовые постоянные. Интересный (хотя и ограниченный простыми системами) подход представлен работами, в которых колебательная задача для ангармонической потенциальной гиперповерхности решается с помощью разложения волновой функции по собственным функциям гармонического осциллятора (метод взаимодействия конфигураций ядер ) [352—355]. [c.91]

В параграфе 11,3 было показано, что каждое нормальное колебание принадлежит к определенному представлению или типу симметрии. Тип симметрии определяется поведением соответствующей нормальной координаты т] по отношению к операции симметрии. Если все это известно, легко найти тип симметрии собственной функции ij)B по крайней мере для невырожденных колебаний. В случае гармонического осциллятора ijj , пропорциональна полиному Эрмита у-той степени, где v — колебательное квантовое число, [c.95]

Энергия гармонического осциллятора, находящегося в основном состоянии с энергией /г , описываемом собственной функцией 1130, может увеличиваться только на целое число квантов йсо. Таким образом, У —оператор, пересчитывающий кванты, и V есть число квантов энергии йсо в состоянии, описываемом функцией [c.186]

Длина а является стандартным отклонением л от его среднего значения л ,, и является мерой того, насколько точно известно первоначальное положение частицы. Поскольку собственная функция основного состояния гармонического осциллятора также является функцией ошибок Гаусса, мы можем получить это первоначальное распределение, привязав частицу к пружине и охладив всю систему до абсолютного нуля, так что она будет находиться в состоянии с самой низкой энергией, и затем освободив частицу от пружины во время = 0. [c.398]

В простых случаях, и с разумно выбраной пробной собственной функцией, результаты вариационного метода тождественны с результатами, полученными путем решения уравнения Шредингера. В качестве примера рассмотрим гармонический осциллятор, для которого оператор Гамильтона имеет вид [c.133]

Математическая форма собственных функций Хи, являющихся решением уравнения (2-1) для гармонического осциллятора, оказывает очень большое влияние на вероятности переходов (см. ниже). [c.42]

Если предположить, что двухатомная молекула имеет постоянный дипольный момент (в противном случае она не имела бы колебательно-вращательного спектра), то вероятность данного перехода может быть найдена, как и раньше, подстановкой приближенной собственной функции для линейного гармонического осциллятора [уравнение (8.44)] в уравнение (27.3). Таким путем найдено, что вероятность будет тлична от нуля только в том случае, когда изменение колебательного квантового числа двух состояний, между которыми происходит переход, равно единице. Отсюда следует, что правилом отбора для линейного гармонического осциллятора будет условие [c.189]

Если предположить, что собственные функции гармонического осциллятора непрерывны, ограниченны и имеют единственное значение, то, решая уравнение Шредингера для V = получим ряд дозволенных значений энергии системы [c.41]

Собственные функции этого оператора приведены в гл. 5 при рассмотрении гармонического осциллятора они имеют вид [c.541]

Рассмотрим теперь систему, с остоящую из частицы, совершающей гармоническое движение вдоль оси лг. Пусть заряд частицы равен - -5, а заряд, расположенный в положении равновесия, равен —е. Тогда мгновенное значение электрического дипольного момента будет ех. Волновые функции системы будут собственными функциями гармонического осциллятора (гл. V, раздел 5). Переход между состояниями и т будет возможным только тогда, когда интеграл [c.156]

В динамической теории кристаллической решетки Борна и Кармана [869а, 8701 (1912— 1915 гг.) кристалл рассматривается как система гармонических осцилляторов, частоты которых соответствуют собственным частотам кристалла. Внутренняя энергия и теплоемкость сложных соединений, молекулы которых состоят из р атомов, согласно этой теории могут быть выражены в виде комбинации функций Дебая и Эйнштейна (см. [93а1) [c.140]

Дальнейшее решение задачи может быть проведено по методам теории возмущений, аналогично тому, как это было выполнено выше для двухатомной молекулы. При этом члены третьего и четвертого порядков рассматриваются как возмущение . Решение невозмущенной задачи дает совокупность гармонических частот йj и собственных функций гармонических осцилляторов 11)г, соответствующих нормальным колебаниям Qi (/ = 1, 2,. .., п). Решение этой задачи подробно рассмотрено в 7 и 10. Полная волновая функция невозмущенной системы представляет собой произведение собственных функций отдельных нормальных колебаний (см. (7.2)). При помощи этой функции могут быть найдены поправки первого и второго приближения к невозмущенной энергии в соответствии с формулами (15,8) (15.9). Поправка первого приближения, обусловленная кубическими членами, равна нулю, так как в произведение Q QjQk по крайней мере одна нормальная координата входит в нечетной степени. Поправки второго приближения для кубических членов и первого приближе ния для членов четвертой степени имеют одинаковьп-порядок величины. С учетом этих поправок для колеба тельной энергии получается выражение (см. [83]) [c.286]

При колебательных переходах волновые функции в интеграле (10.102) представляют собой произведения собственных функций гармонических осцилляторов вида (7.3), т. е. [c.205]

Первый член всегда равен нулю, кроме случая, когда о = и" вследствие ортогональности собственных волновых функций Следовательно, этот член не дает вклада в интенсивность колебательных переходов, однако именно он определяет интенсивность вращательного спектра. Второй член будет равен нулю всегда, кроме случая, когда хотя бы одно квантовое число v изменяется на единицу (т. е. Ду =. Ы) и производная да у1ддХ отлична от нуля. Следовательно, в приближении гармонического осциллятора в спектре комбинационного рассеяния могут проявляться только частоты основных колебаний. Более того, не все основные частоты будут разрешены, а именно проявляться будут только частоты, связанные с нормальными колебаниями, при которых происходит изменение поляри- зуемости. [c.133]

Смотреть страницы где упоминается термин Гармонический осциллятор собственная функция его: [c.44] [c.219] [c.29] [c.77] [c.78] [c.310] [c.310] [c.193] [c.193] [c.217] [c.234] [c.99] [c.284] [c.297] [c.338] [c.219] [c.137] [c.245] [c.29] [c.77] [c.78]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология