Экстремумы множителей Лагранжа

Аналитический поиск экстремума Метод множителей Лагранжа [c.142]

Классические методы решения экстремальных задач. К числу классических математических методов определения экстремума функции многих переменных относятся 1) метод поиска оптимума путем решения системы нелинейных уравнений, полученных при приравнивании нулю частных производных минимизируемой функции по оптимизируемым параметрам 2) метод неопределенных множителей Лагранжа. В математическом плане оба метода достаточно хорошо известны, поэтому основ- [c.122]

Поскольку общая методика решения задачи оптимального поэлементного резервирования ХТС состоит в том, что неравенства для ограничений (8.2) или (8.6) заменяют равенствами, а затем проводят поиск минимума или максимума КЭ, то для поиска экстремума КЭ (8.1) или (8.5) можно применить метод неопределенных множителей Лагранжа. Идея метода заключается в следующем. [c.208]

В простейших случаях, когда целевая функция задана аналитически, используют классические методы нахождения экстремума методами дифференциального исчисления. При наличии ограничений типа равенств, наложенных на независимые переменные, используют метод множителей Лагранжа. В более сложных случаях, когда критерий оптимальности представлен в виде функционалов, используют методы вариационного исчисления-, при оптимизации процессов, описываемых системами дифференциальных уравнений, применяют принцип максимума Понтрягина. Используют также динамическое, линейное программирование и другие методы оптимизации. [c.38]

Следует подчеркнуть, что для поиска условного экстремума функции многих переменных метод штрафов более экономичен, чем метод множителей Лагранжа, так как, во-первых, не приходится увеличивать число подбираемых величин и, во-вторых, он применим к более широкому классу функций. [c.194]

Поиск экстремума, множители Лагранжа, вариационные методы, принцип максимума [c.109]

Изменение Ag целевой функции должно быть максимальным, точнее говоря, ДУ1 и ДУа подбираются так, чтобы при выполнении условия (15-55) изменение было максимальным. Это условный метод нахождения экстремума, причем решить такую задачу можно с помощью множителей Лагранжа. Решение приводит к следующей зависимости [c.334]

Для поиска экстремума простых дифференцируемых функций, когда на переменные наложены условия типа равенств, часто используют метод неопределенных множителей Лагранжа- Если переменные связаны условиями [c.178]

Определение экстремальных точек функции многих переменных для весьма важного случая наличия дополнительных связей между оптимизируемыми параметрами может быть осуществлено с использованием классического математического метода множителей Лагранжа. Пусть имеем функцию цели хг, Хп), экстремум которой требуется найти, причем имеют место дополнительные условия [c.124]

Решение этой задачи можно провести непосредственно по (2.49), но при этом следует иметь в виду, что вариация величины, оптимум которой ищется, приводит к изменению значений Яei потоков, т. е. необходимо совместное решение (2.49) и (2.25). Значительно проще можно решить задачу оптимизации методом множителей Лагранжа [33], если исследовать на экстремум функцию [c.43]

Метод неопределенных множителей Лагранжа прост и удобен для реализации на современных ЦВМ, но имеет ряд существенных недостатков. В связи с этим предложен [126] улучшенный в отношении скорости приближения к экстремуму КЭ модифицированный метод. Данный метод является параметрическим обобщением метода неопределенных множителей Лагранжа для случая дискретных переменных [126]. [c.214]

В данном разделе предлагается простой способ вывода необходимых условий оптимальности первого и второго порядков для общих дискретных задач управления циклическими адсорбционными процессами. Он основан на известных результатах нелинейного программирования и в отличие от традиционных подходов [62] предъявляет минимальные требования гладкости к данным задачи оптимизации. Доказательство принципа максимума, как и необходимых условий оптимальности второго порядка, проводится по одной схеме [63, 72] по части ограничений задачи строится варьированное семейство, содержащее исследуемый допустимый процесс по остальным ограничениям формируется вспомогательная задача нелинейного программирования с известным решением для данного решения записываются и потом расшифровываются локальные условия экстремума первого или второго порядка и затем устанавливается существование универсальных множителей Лагранжа, не зависящих от способа построения варьированного семейства. [c.185]

Применяя метод множителей Лагранжа, сведем задачу к определению экстремума функции [c.77]

Для отыскания наибольшей области асимптотической устойчивости необходимо использовать теорию оптимизации. Это становится ясным при формализации процедуры поиска и-контура, который касается кривой и = 0. Такой и-контур может быть установлен двумя способами 1) нахождением минимума при условии, что и = О, и 2) нахождением максимума при условии, что V = К и К увеличивается до тех пор, пока не будет достигнут максимум V = 0. Оба указанных способа можно выразить в формулах классического исследования экстремума с помощью множителей Лагранжа. [c.100]

В вариационном методе доказывается, что можно подобрать такие множители Лагранжа Хрд, что функционал - Л будет достигать безусловного экстремума на тех же функциях, на которых достигает экстремума функционал (1.107) при дополнительных условиях (1.110). Соответствующие уравнения Эйлера имеют вид [c.45]

Условия нормировки можно учесть обычным образом с помощью множителей Лагранжа При этом получается задача на экстремум функционала [c.100]

Метод неопределенных множителей Лагранжа при решении подобных задач состоит в следующем. Умножим второе из уравнений (VII. 14) на —а, а третье на —р и сложим. Тогда условие экстремума для 1пР приобретает вид [c.202]

Нахождение условного экстремума функции методом неопределенных множителей Лагранжа приводит к равенствам [c.112]

При поиске экстремумов функционала Е, значения которого зависят от выбора функций г]),- при дополнительных условиях их ортонормированности, как уже было сказано в 1 гп. Ш, можно воспользоваться методом неопределенных множителей Лагранжа. Именно, отыскание условного экстремума эквивалентно поиску безусловного экстремума функционала [c.277]

В основном при использовании метода множителей Лагранжа приходится решать те же задачи, что и без ограничений. Некоторое усложнение в данном случае возникает лишь от введения дополнительных неопределенных множителей, вследствие чего порядок системы уравнений, решаемой для нахождения экстремумов критерия оптимальности, соответственно повышается на число ограничений. В остальном процедура поиска решений и проверки их на оптимальность отвечает процедуре решения задач без ограничений. [c.31]

Из аналитических методов внимание в основном уделено методам отыскания безусловных экстремумов. Задачи с ограничениями а независимые переменные и сводящиеся к ним, для решения которых используют множители Лагранжа, приведены в следующей главе. [c.92]

Практически часто бывает трудно, а иногда и вообще невозможно аналитически решить систему уравнений (IV, 2) относительно некоторых переменных, т. е. представить ее в виде соотношений (IV, 3). Поэтому для решения задач отыскания экстремума функции многих переменных (IV, 1) с ограничениями на независимые переменные (IV, 2) обычно используют метод неопределенных множителей Лагранжа, вывод основных соотношений которого рассмотрен ниже. [c.149]

Следует особо подчеркнуть, что метод множителей Лагранжа позволяет найти лишь необходимые условия существования условного экстремума для непрерывных функций, имеющих к тому же непрерывные производные. Полученные в результате решения, систем уравнений (IV, 2) и (IV, 13) значения неизвестных Xi могут и не давать экстремального значения функции R, точно так же как в задачах на безусловный экстремум, приведенных в предыдущей главе. Поэтому найденные при решении указанных систем уравнений значения переменных, вообще говоря, должны быть проверены на экстремум с помощью анализа производных более высокого порядка или какими-либо другими методами. [c.152]

В качестве простейшего примера применения множителей Лагранжа для отыскания условного экстремума заданной функции решим задачу расчета размеров цилиндрической емкости заданного объема V, которая имела бы минимальную поверхность 5. [c.152]

Можно показать [3], что, как и в обычном анализе, введением множителей Лагранжа изопериметрическая задача сводится к задаче отыскания безусловного экстремума некоторого нового функционала [c.222]

Метод множителей Лагранжа. Этот метод обычно используется, когда на переменные накладываются ограничения типа равенств. Так, если требуется найти экстремум функции F (i i, х ,. . ., х ) при наличии ограничений типа равенств на независимые переменные [c.143]

Мы здесь остановимся на другом способе решения этой задачи. На уравнения (И) можно смотреть, как на связи, которые наложены на переменные х , и поэтому можно воспользоваться правилом множителей Лагранжа и заменить поиск экстремума функции а = Хп поиском экстремума функции [c.30]

Согласно основной лемме вариационного исчисления при независимой вариации 0<ф, одной лишь функции необходимое условие экстремума функционала б/, = О означает равенство нулю того выражения, на которое под интегралом умножается бг1),<1). Прежде чем, однако, выписать это требование, отметим, что при вещественных функциях и вещественных вариациях бф, приращение Z совпадает со всем тем, что выписано в правой части (6) перед Z, а при комплексных функциях г ), и комплексных вариациях бг1) Z почти полностью совпадает с выражением, комплексно сопряженным выписанному в правой части (6) в явном виде различаются лишь те члены, которые содержат неопределенные множители Лагранжа, за счет того, что в [c.278]

Из аналитических. методов внимание в основном удалено методам отыскания безусловных экстремумов. Задачи с ограничениями на независимь[е переменные и сводяш,иеся к ним, для реи[ения которых используют множители Лагранжа, приведен ) в сле ующей главе. [c.87]

Математическое описание процессов в реакторах идеального перемешивания представляет собой систему алгебраических уравнений. При поиске экстремума необходимо учитывать ограничение на общую величину нотока, поступающего в реакторы, — п. При решении такой задачи удобен метод множителей Лагранжа. [c.217]

При т=1 задача не нмеет решения при т> (рис. 3.7) это задача на условный экстремум, которая может быть решена, на зрнмер, методом неопределенных множителей Лагранжа. Так [c.189]

Функция желательности. Задачу оптимизации процессов, ха-ракгеризующихся несколькими откликами, обычно сводят к задаче оптимизации по одному критерию с ограничениями в виде равенств или неравенств. В зависимости от вида поверхности отклика и ха-ракгера ограничений для оптимизации предлагается использовать методы неопределенных множителей Лагранжа, линейного и нелинейного программирования, ридж-анализ [10] и др. К недостаткам этих способов решения задачи оптимизации следует отнести вычислительные трудности. В частности, при описании поверхности отклика полиномами второго порядка решение задачи на условный экстремум с применением неопределенных множителей Лагранжа приводит к необходимости решать систему нелинейных уравнений. Поэтому одним из наиболее удачных способов решения задачи оптимизации процессов с большим количеством откликов является использование предложенной Харрингтоном [23] в качестве обобщенного критерия оптимизации так называемой обобщенной функции желательности О. Для построения обобщенной функции желательности О предлагается преобразовать измеренные значения от- [c.207]

В настоящее время отсутствует общепринятая классифика-пия методов поиска экстремума нелинейной функции многих переменных. Обычно в качестве отдельной группы выделяют методы, разработанные в классической математике метод поиска оптимума путем решения системы нелинейных уравнений, полученных при приравнивании нулю частных производных исследуемой функции по оптимизируемым параметрам, и метод неопределенных множителей Лагранжа. Эти методы позволяют решать задачи поиска оптимума нелинейной функции многих переменных только при отсутствии ограничений на оптимизируемые параметры или при ограничениях в виде равенств. Поэтому указанные методы нельзя относить к методам нелинейного математического программирования. [c.121]

Функции Qi линейно зависят от аргументов и ф,-. К такому случаю приводит применение метода множителей Лагранжа. Как было показано (см. стр. 174), функция Q при этом обладает свойствами формул (VIII,58) и (VIII,61). Заметим, однако, что здесь минимуму функции F может отвечать седловая точка функции Q (см. стр. 177). Поэтому, если не выполняются особые условия выпуклости 14], в правой части равенства (VIII,58) должна стоять не операция min , а операция поиска экстремума. [c.196]

Применим теперь общие положения метода неопределенных множителей Лагранжа [154, 253] и двойственности для задач на условный экстремум к шшей общей экстремальной задаче на минимум функщюнала (7.25) при Ах = Q jn У = /, (х) — fff. А — полная матрица соединений узлов и ветвей, 2 - (2 QmY. [c.97]

Пример 3 2 Решение задач оптимизации модели на основе уравнения регрессии методами классического аналитического поиска экстремума и Гаусса-Зейделя 76 Пример 3. 3 Расчет оптимальных размеров слоя катализатора в реакторе термокаталитической очистки отходящих газов от пргшесей углеводородов методом неопределенных множителей Лагранжа 79 Пример 3.4. Выбор рациональной схемы взаимного расположения аппаратов на базе [c.162]

Итак, в результате таких операций мы получили, что системам уравнений (34), (36) должны удовлетворять как величины Хк (А = 1,.,., т), так и значения независимых переменных х, (г = 1.,..,п), при которых функция / имеет ус,повный экстремум. Заметим, что переменные должны также удовлетворять системе исходных ограничений (30). Таким образом, мы получили п + т уравнений для определения п + т неизвестных величин, а именно, п значений Х , в которых достигается условный экстремум функции / и т соответствующих этому экстремуму значений множителей Лагранжа Х . [c.29]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология