Нелинейные стохастические дифференциальные уравнения

Наличие этой неустойчивости радикально меняет весь механизм колебаний уровня Каспийского моря, для описания которого необходим подход с позиции теории сложных систем. Б этом случае динамическая система уравнений водного баланса оказывается существенно нелинейной, характер ее решений меняется возникают не единственные и неустойчивые решения -необходимые атрибуты ее сложной эволюции. При учете случайных вариаций параметров системы (например, количества осадков и речного стока) решения стохастических дифференциальных уравнений имеют бимодальное распределение и "вездесущность гауссовского распределения" уже теряет свою силу. Для анализа такого рода процессов необходим принципиально новый подход линейные стохастические модели, которые так популярны в гидрологии, здесь малопригодны. [c.51]

Нелинейные стохастические дифференциальные уравнения 36 [c.4]

В обш ем случае (5.1) — система нелинейных стохастических дифференциальных уравнений, порядок которой заранее неизвестен. [c.282]

НЕЛИНЕЙНЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [c.361]

Возникает вопрос соответствие гамма-распределения натурным данным - это хорошая аппроксимация или природная закономерность Покажем, что гамма-распределение плотностей вероятностей значений речного стока можно получить из решения нелинейного стохастического дифференциального уравнения водного баланса речного бассейна. [c.186]

Прежде всего необходимо различать внешний и внутренний шумы . Внешним шумом называют флуктуации, возникающие в детерминистической системе под воздействием случайной силы, стохастические свойства которой считаются известными. Стохастические задачи, возникающие в технике, относятся к такому типу (например, случайная нагрузка на мост или передача случайного сигнала через нелинейное устройство). Такие случаи описываются стохастическими дифференциальными уравнениями в гл. 14 и представляют задачи скорее математические, чем физические. [c.228]

На основе исследований распределения Пирсона типа V установлены новые эмпирические вероятностные закономерности катастрофических наводнений. Предложены возможные физические механизмы, ответственные за эти закономерности. Показано, что уравнение водного баланса речного бассейна при учете нелинейной зависимости стока от влагозапаса может быть преобразовано в стохастическое дифференциальное уравнение с мультипликативным белым шумом. Найдено, что стационарное решение уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова, записанное для плотности вероятности распределения стока, степенным образом зависит от величины стока, что и объясняет степенную статистику катастрофических наводнений. Установлено, что степенной закон распределения вероятностей является промежуточной асимптотикой и перестает быть справедливым для условий большой увлажненности речных бассейнов. Проведены ра- [c.8]

B.Н. Да, да, вроде того. Надо предложить какую-то конструктивную гипотезу. Мы выполнили анализ того стохастического дифференциального уравнения, о котором я говорил, и оказалось, что степенной закон возникающий за счет нелинейной связи между стоком и влагозапасом и характеризующийся сильной нелинейной связью, с ослабеванием этой связи начинает постепенно сходить на нет. И в области больших значений исследуемой величины вырождается в гауссовский закон, т.е. экспоненциальный. Но в достаточно широкой области он справедлив. А поскольку сейчас мы живем в такую климатическую эпоху, что увлажненность суши еще не так велика (примерно 20-40 см в десятиметровом слое воды - это достаточно мало), то такие гигантские наводнения происходили в прошлом, случаются в настоящем и еще будут случаться в будущем. Потому что ограничения на расход воды, на увлажненность речных бассейнов еще далеко не достигнуты. [c.298]

Итак, сформулируем стратегию решения нелинейного стохастического ди( х )еренциального уравнения (14.5.1). Сначала приводим его к эквивалентному линейному виду (14.5.2). Затем применяем метод, сформулированный в предыдущих параграфах, для того чтобы найти приближенное дифференциальное уравнение для среднего " р(и, t)y при условии, что число Кубо мало. В результате получается уравнение для распределения вероятности Р(и, t) в виде [c.362]

Химическая машина , вообще говоря, характеризуется не непрерывным, но дискретным набором состояний. Применение аппарата дифференциальных уравнений к такой системе означает включение дискретных состояний в некоторое непрерывное множество. Такая процедура не препятствует трактовке поведения дискретной системы, напротив, при надлежащем выборе модели она позволяет его проанализировать. Вместе с тем аппарат детерминистических, континуальных дифференциальных уравнений может оказаться недостаточным для исследования процессов, протекающих с участием малого числа молекул или малого числа особей. Такие процессы являются стохастическими, вероятностными, их анализ требует применения теории вероятности, в ряде случаев — теории цепей Маркова. Вопрос о математическом аппарате должен решаться отдельно для каждого класса моделей. Само моделирование определяется изучаемым процессом и непосредственно зависит от шкалы времени, в которой он развивается. В любой биологической системе происходит множество нелинейных кинетических процессов, характеризуемых собственными временами. [c.486]

Роль флюктуационных эффектов может быть весьма значительной, особенно в переходной и (или) критической областях, т. е. там, где имеет место нарушение устойчивости состояния. Флюктуации в неравновесной среде и в самой неравновесной системе могут влиять на физико-химические процессы самоорганизации в ней, а эти процессы в силу обратной связи в нелинейных системах могут, в свою очередь, существенно влиять на характеристики и особенности флюктуаций. К этим особенностям прежде всего относятся амплитуда и длительность существования флюктуаций, которые могут играть определяющую роль в процессе образования новых структур. Такой процесс — существенно стохастический и может приводить к своеобразному ветвлению генеалогического древа эволюции . Описание самоорганизации требует применения качественной теории дифференциальных уравнений как в обыкновен- [c.7]

Уровенный режим моря определяется водным балансом самого моря (атмосферными осадками на акваторию, речным стоком, испарением и стоком морской воды в залив Кара-Богаз-Гол) и водным балансом его речного бассейна. Эти важнейшие гидрологические величины сильно и непредсказуемо меняются во времени, так что формирование климата водосборного бассейна моря выглядит случайным процессом. Математически водный баланс моря и его бассейна можно описать системой нелинейных стохастических дифференциальных уравнений с соответствуюш ими начальными и граничными условиями. Нелинейность уравнений принципиальна, так как площадь зеркала испарения и слой испарения зависят от уровня моря, а сток речных вод и испарение с поверхности бассейна сильно и нелинейно зависят от влагозапасов суши. [c.4]

Это, в свою очередь, означает, что при аппроксимации стока и испарения процессами типа белого шума нелинейное стохастическое дифференциальное уравнение водного баланса необходимо записывать в интерпретации Стратоновича. При е О [c.116]

В задаче (3.9.6) величина Q является параметром состояния и характеризует приток речных вод, который со временем меняется достаточно сильно. Предположим, что колебания притока воды происходят очень быстро, т.е. случайная величина 2-слабокоррелирована. Тогда получим следующее нелинейное стохастическое дифференциальное уравнение [c.125]

Сущность моих претензий состояла в следующем. Уровенный режим моря определяется водным балансом самого моря (осадками на акваторию, речным стоком, испарением и стоком морской воды в залив Кара-Богаз-Гол) и водным балансом его речного бассейна. Все эти важнейшие гидрологические величины сильно и непредсказуемо изменяются во времени, так что на современном уровне знания климат водосборного бассейна моря выглядит случайным процессом. Если аккуратно записать водный баланс моря и его бассейна математически, то придем к системе нелинейных стохастических дифференциальных уравнений [c.265]

Кинетика гетерогенных процессов обмена в общем случае определяется скоростяхми протекания целого комплекса микро-и макроскопических процессов скоростями химических реакций, интенсивностью адсорбционно-десорбционных процессов, скоростью диффузии реагентов в гидродинамическом пограничном слое и т.д. Полное и точное математическое описание всех этих процессов приводит к громоздким системам дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, решение которых с необходимой точностью не всегда удается получить не только аналитически, но даже численными методами. Трудности полного математического описания кинетики гетерогенных процессов являются причиной широкого распространения методов формальной кинетики, в которой используются линейные или нелинейные кинетические дифференциальные уравнения, в состав которых входят константы, определяемые в результате обработки экспериментальных данных. Такие кинетические уравнения удовлетворительно описывают кинетику процессов обычно только для отдельных элементов общей поверхности межфазного контакта для отдельного зерна катализатора, для единичного элемента диспергированного адсорбента и т. д. С другой стороны, расчет технологических процессов требует анализа кинетики гетерогенного обмена для всей поверхности межфазного контакта, с учетом реальных условий протекания процесса в конкретном аппарате или реакторе. На практике в большинстве случаев условия протекания гетерогенного обмена неодинаковы в различных частях общей поверхности межфазного контакта и могут различным образом изменяться во времени. Причинами этого являются застойные зоны, флуктуации скоростей относительного движения фаз, пузыри и каналообразованне в реакторах с кипящим слоем и т. д. Таким образом, даже если в распоряжении исследователя имеется адекватное математическое описание кинетики процесса для отдельного элемента поверхности межфазного контакта, переход к описанию кинетики исследуемого процесса на всей поверхности межфазного контакта в условиях реального промышленного аппарата может оказаться достаточно сложным вследствие того, что многие физические процессы, влияющие на функционирование реальных аппаратов, имеют стохастическую природу. [c.197]

Основной результат, достигнутый в этой области, можно сформулировать следующим образом. Решения детерминированных систем обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка с числом уравнений, равным или большим трех, часто оказываются плохо прогнозируемыми (и стохастическими с точки зрения экспериментатора) даже в том случае, когда решение существует и единственно и, следовательно, в лом решении не возникает никаких особенностей. Такая структура решений обусловлена тем, что каждая фазовая траектория неустойчива (т.е. с течением времени расстояние между двумя первоначально бли чими фазовыми траекториями экспоненциально растет). Множество фазовых траекторий (странный аттрактор) компактно в том смысле, что все его точки не выходят за пределы некоторого конечного фазового объема. Для неконсервативных систем фазовый объем (точнее, лебегова мера) равен нулю, подобно тому, как равен нулю объем турбулентной жидкости при Re OO. Распределение фазовых точек также напоминает распределение точек, принадлежащих турбулентной жидкости, в физическом пространстве. Связь между странными аттракторами и фракталями прослеживается вполне отчетливо (Мандельброт [1976 ). [c.29]

Кинетика гетерогенных процессов обмена в сложных случаях определяется скоростями протекания целого комплекса микро- и макроскопических процессов. При этом полное и точное математическое описание всех этих процессов приводит к громоздким системам дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, решение которых с необходимой точностью не всегда удается получить не только аналитически, но даже численными методами. Трудности полного математического описания кинетики гетерогенных процессов являются причиной широкого распространения методов формальной кинетики. Кинетические уравнения, в состав которых входят эмпирические константы, удовлетворительно описывают кинетику процессов, как правило, только для отдельных элементов общей поверхности межфазного контакта для отдельного зерна катализатора, для единичного элемента диспергированного адсорбента и т. д. С другой стороны, расчет технологических процессов требует анализа кинетики гетерогенного обмена для всей поверхности межфазного контакта с учетом реальных условий протекания процесса в конкретном аппарате или реакторе. Методам статистической макрокинетики, т. е. методам описания кинетики гетерогенных процессов в таких макроскопических условиях реальных аппаратов и реакторов, которые не могут быть описаны только детерминированными соотношениями и требуют использования статистических подходов, посвящена третья глава книги. В качестве гидродинамического введения к развиваемым в этой главе методам статистического описания и моделирования широкого класса процессов массопереноса в условиях интенсивного перемешивания рассматриваются некоторые результаты исследования двухфазной турбулентности в псевдоон<иженном слое, стохастический характер которой приводит к ряду типичных нелинейных эффектов, [c.10]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология