Дисперсия выборочной совокупности

Дисперсию генеральной совокупности сг2 нормально распределенной случайной величины можно оценить, если известно распределение ее оценки — выборочной дисперсии . Распределение выборочной дисперсии можно получить при помощи распределения Пирсона или распределения. Если имеется выборка и независимых наблюдений х,, х ,х над нормально распределенной случайной величиной, то можно показать, что сумма [c.47]

Дисперсионный анализ состоит в выделении и оценке отдельных факторов, вызывающих изменчивость изучаемой случайной величины. Для этого производится разложение суммарной выборочной дисперсии на составляющие, обусловленные независимыми факторами. Каждая из этих составляющих представляет собой оценку дисперсии генеральной совокупности. Чтобы решить, значимо ли влияние данного фактора, необходимо оценить значимость соответствующей выборочной дисперсии в сравнении с дисперсией воспроизводимости, обусловленной случайными факторами. Проверка значимости оценок дисперсий проводится по критерию Фишера (см. гл. II, 11). Если рассчитанное значение критерия Фишера окажется меньше табличного, то влияние рассматриваемого фактора нет оснований считать значимым. Если же рассчитанное значение критерия Фишера окажется больше табличного, то рассматриваемый фактор влияет на изменчивость средних. В дальнейшем будем полагать, что выполняются следующие допущения 1) случайные ошибки наблюдений имеют нормальное распределение 2) факторы влияют только на изменение средних значений, а дисперсия наблюдений остается постоянной эксперименты равноточны. [c.75]

Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Гистограмма. Эмпирическая функция распределения. Выборочная средняя и дисперсия. [c.153]

Размерности математического ожидания и измеряемой величины совпадают. Размерность дисперсии соотносится с размерностью абсолютных отклонений и самой измеряемой величины как квадрат величины с ее первой степенью. Чтобы привести в метрологическое соответствие оценки отдельных значений измеряемой величины с абсолютными значениями отклонений, используют величину д/0( ) - В случае генеральной совокупности ее обозначают символом а и называют генеральным стандартным отклонением, а также просто стандартом и среднеквадратичным отклонением. Цля выборочной совокупности [c.818]

Воспроизводимость — метрологический параметр, характеризующий случайную погрешность методики анализа. Показателем воспроизводимости служит величина стандартного отклонения воспроизводимости, т. е. корень квадратный из выборочной дисперсии или дисперсии генеральной совокупности, взятый со знаком плюс. [c.39]

В основе микростатических оценок нормально распределенных случайных величин лежит распределение Стьюдента, которое связывает между собой три основные характеристики выборочной совокупности ширину доверительного интервала, соответствующую ему доверительную вероятность и объем выборки или число степеней свободы выборки = п — . Применение распределения Стьюдента для оценки неизвестного среднего ц нормальной случайной величины х основано на следующем. Пусть х, х , Хп — независимые наблюдения (результаты анализа) нормальной случайной величины X с неизвестными наблюдателю средним р, и дисперсией (т . Вычислим соответствующие выборочные параметры j и 5 и составим дробь t — х — р,) /5. Эта Дробь имеет рас- пределение Стьюдента с = п—1 числом степеней свободы. Сравним величину I с аргументом функции Лапласа и. Если ыл — мера отклонения среднего результата анализа от математического чэжидания р, в единицах генерального стандартного отклонения [c.92]

Дисперсию выборочной совокупности (5 ), состоящей из п значений, вычисляют по формуле [c.817]

Показано, что если имеется несколько выборочных совокупностей из и результатов, являющихся составными частями одной генеральной совокупности, случайные величины которой распределены нормально с параметрами fl и <7 , то средние х этих выборок подчиняются также закону нормального распределения с параметрами fi и jn. Отсюда дисперсия среднего [c.47]

Критерий, который позволяет на заданном уровне значимости (обычно выбирают р = 0,05, или р = 0,01) определить, яв ляется ли различие двух дисперсий случайным или значимым, носит название Р-критерия и основан на распределении Фишера. Критические значения критерия Ркр табулированы в Приложении 5 (для р = 0,05 и р = 0,01) в виде функции от двух переменных — числа степеней свободы выборочных совокупностей [c.105]

Введем понятие числа степеней свободы / Это число независимых переменных в выборочной совокупности за вычетом числа связей между ними. В уравнении (2.4) / = л -1, так как рассматривается рассеяние данных относительно среднего, т. е. на результаты наложена одна связь. Если известно генеральное среднее ц, то можно рассматривать рассеяние данных относительно и тогда дисперсия равна [c.46]

Величину 5 называют дисперсией выборочной совокупности. [c.141]

Объяснить значение фундаментальных статистических терминов дискретная и непрерывная случайная величина, генеральная совокупность, плотность вероятности, функция распределения случайной величины, моменты функции распределения, среднее, дисперсия, объем выборки, выборочное распределение, выборочные параметры. [c.416]

Случайные отклонения при малом числе опытов. На практике экспериментатор выполняет не бесконечно большое число опытов, а довольно малое (2—10), и имеет дело не с генеральной, а с выборочной совокупностью вариант (см. табл. 7.3). При этом распределение случайных ошибок подчиняется уже не закону Гаусса, а /-распределению, имеющему ту же форму, что и кривая Гаусса, но с большей величиной а. При этом /-критерий (или иначе ко- эффициент Стьюдента — Фише- "щ ра) зависит от доверительной е вероятности (Р) и числа опытов минус 1 (р = п.—1). Последнее представляет собой число степе- ней свободы и вводится тогда, когда неизвестно истинное значе- ние, а рассчитывается среднее X, поэтому при расчете дисперсии выборочной совокупности (5 ) в знаменателе ставится л—1. [c.135]

Рассчитанное значение / -функции для двух сравниваемых выборок находят как частное 5 /5 , причем оно составлено таким образом, что в числителе всегда находится большая из двух сравниваемых выборочных дисперсий. Если рассчитанное значение Р на заданном уровне значимости меньше табличного значения кр (/ь /г) ( 1 соответствует выборке с большей дисперсией), можно считать, что анализы, представленные соответствующими выборками, равноточны. Отсюда следует возможность их совместной обработки — усреднения и вычисления генерализованной дисперсии. Естественно, усреднение результатов можно производить только в том случае, если нет значимых различий не только для дисперсий, но и для средних арифметических выборочных совокупностей. [c.105]

Если расхождение между дисперсиями незначимо, можно сравнить средние х и I двух выборочных совокупностей, т. е. выяснить, есть ли статистически значимая разница в результатах химического анализа, полученных двумя разными методами, на двух разных приборах, разными аналитиками и т. д. Дпя решения поставленной задачи используют /-распределение. Рассчитывают среднее взвешенное двух дисперсий [c.52]

Поскольку выборочная дисперсия выборочной совокупности (хь Х2, Х5,. . ., Хп) не совпадает с дисперсией бесконечнозначной генеральной совокупности (хь Хг, Хз,. . ., Хоо), величины соответствующих среднеквадратичных отклонений тоже не совпадают, т. е. [c.63]

Оценка математического ожидания норд1ально распределенной случайной величины. При отсутствии грубых и систематических ошибок математическое ожидание случайной величины совпадает с истинным результатом наблюдений. Поэтому оценка математического ожидания имеет важное значение при обработке наблюдений. Легче всего оценить математическое ожидание при известной дисперсии генеральной совокупности (см. гл. II. 8). Генеральную дисперсию аг нельзя получить из наблюдений, ее можно только оценить при помощи выборочной дисперсии iP. Ошибка от замены генеральной дисперсии выборочной будет тем меньше, чем больше объем выборки и. На практике эту погрешность не учитьшают при л >50 и в формуле (11.49) для доверительного интервала генеральный параметр заменяют выборочным стандартом. В дальнейшем предполагается, что наблюдаемая случайная величина имеет нормальное распределение. [c.45]

Если материал, из которого должна быть отобрана проба, может быть разделен на логически оправданные группы, отбор проб можно проводить двумя совершенно различными методами. Несколько проб может быть взято в случайном порядке из всей массы материала. В другом случае выборочная совокупность может быть послойно разделена на выборочные группы, а затем внутри них снова случайным методом отобраны пробы. Как будет показано ниже, послойный отбор дает по меньшей мере такие же точные результаты, как и случайный отбор, а если дисперсия между выборочными группами сопоставима с дисперсией внутри таких групп, результаты получаются гораздо точнее. [c.611]

Среднее арифметическое ряда параллельных анализов лучше характеризует результат анализа, чем отдельные значения, т. е. отягощено минимальной случайной ошибкой. Получив представительную выборочную совокупность результатов измерений (л>20), стандартное отклонение оценивают по дисперсии [c.111]

Сравним две дисперсии при помощи / -распределения (распределение Фишера). Если имеются две выборочные совокупности с дисперсиями К, и и числом степеней свободы соответственно У5=и,-1 и /2 = И2 1,то рассчитывают Р ст равное отношению большей дисперсии к мёньшей [c.52]

Для оценки одной из важнейших характеристик — воспроизводимости анализа — необходимо получить представительную выборочную совокупность результатов измерений (п > 20). Тогда стандартное отклонение можно оценить по величине дисперсии [c.158]

Равенство дисперсии и математического ожидания используется и для проверки правильности работы пересчетной аппаратуры. Принцип метода заключается в сравнении выборочной дисперсии, определяемой по к параллельным измерениям N, с дисперсией генеральной совокупности, равной в радиометрии самой измеряемой величине Nef [c.109]

Подчеркнуть, что выборочные средние и дисперсия есть лишь оценки соответствующих (как правило, неизвестных) параметров генеральной совокупности. [c.416]

Анализ табличных данных позволяет сопоставить значения выборочных и генерализованных дисперсий и стандартных отклонений. -Значения выборочных параметров колеблются около соответствующих значений генерализованных параметров, причем отклонение лервых от вторых тем значительнее, чем менее представительна соответствующая выборочная совокупность хг.ь х,-,2 л ,,. . Разница в значениях выборочных и генерализованн-ых дисперсий достигает 30%, а в значениях стандартных отклонений 15—20%. Отсюда следует, что применение выборочных параметров непредставительных выборок (п С 10) для оценки результатов анализа с помощью функции нормиррванного стандартного распределения Лапласа сопряжено с заведомыми ошибками. [c.92]

Важно о етить, что все три величины — дисперсия, стандартное отклонение и относительное стандартное отклонение — характеризуют воспроизводимость результатов химического анализа. Иногда дисперсию выборочной совокупности обозначают не символом V (от англ. varian e), а (от англ. standard). [c.47]

Полученное значение Fэк n сравнивают с табличным (табл. 2.5) при числе степеней свободы /1- Заметим, что в таблицах число степеней свободы большей дисперсии приводится в горизонтальном ряду, мёньшей — в вертикальном и что /2) Ф Р /2, /). Если при выбранном уровне значимости (обычно р = 0,05 или р = 0,01), то расхождение между дисперсиями значимо и рассматриваемые выборочные совокупности отличаются по воспроизводимости. Если < F 6л. то различие в воспроизводимости имеет случайный характер и обе дисперсии К, и являются приближенными оценкам одной и той же общей для обеих выборок дисперсии генеральной совокупности. [c.52]

Полученное значение / эксп- сравнивают с табличными Чабл (табл. 2.7) при выбранной доверительной вероятности и числе степеней свободы/ = 1 - I п/2= 2- 1- В таблицах число степеней свободы большей дисперсии приводится в горизонтальном ряду, меньшей — в вертикальном ряду. Если > Р Р,при выбранной доверительной вероятности (обычно Р = 0,95 или Р = 0,99), то расхождение между дисперсиями значимо и рассматриваемые выборочные совокупности отличаются по воспроизводимости. Если приближенными оценками одной и той же общей для обеих выборок дисперсии генеральной совокупности. [c.70]

Поскольку выборочная дисперсия 5 выборочной совокупности хи Х2. .. Хп) не совпадает с дисперсией бесконечнозначной генеральной совокупности (л 1, Х2,. .., Хоо), значения выборочного 5 [c.75]

Пусть имеются две серии результатов анализа одного образца А и В, представленные в форме выборочных совокупностей с объ емами Па и пв. Если сравнение дисперсий 5л и с помощью Р-критерия показывает, что они значимо не отличаются друг от друга, закономерна постановка вопроса о том, значимо ли различие выборочных средних ха и Хв. Если выборочные средние отличаются лишь в силу случайного разброса, обе выборки можно считать принадлежащими одной генеральной совокупности. Это открывает возможность уточнения оценки математического ожидания и стандартного отклонения, поскольку число степеней сво- боды объединенной выборки больше, чем у обеих выборок А и В. Значимое различие выборочных средних свидетельствует о нали- [c.107]

Рассмотрим две нормально распределенные выборочные совокупности результатов анализа объемами щ и п , полученные независимыми методами. Очевидно их выборочные дисперсии 5 и 51 не будут совпадать между собой. Однако различие между ними может носить только случайный характер, поскольку они являются приближенными оценками одной и той же общей для обеих выборок генеральной дисперсии а . В таком случае результаты обеих выборок можно считать равноточными. С другой стороны, различие дисперсий может быть обусловлено значимой причиной, например, снижением уровня шумов за счет стабилизации источника возбуждения (спектральный ана-iиз) или экранирования регистрирующей ячейки (потенциомет-рия) в одной серии определений в отличие от другой. Очевидно, выборочные совокупности результатов анализа в этом случае не будут равноточными. [c.104]

В тех случаях, когда объемы всех выборочных совокупностей равны п = щ —... = Пк, однородность дисперсий и пригоД ность результатов анализа для совместной обработки удобно про- верять с помощью критерия Кохрана. Для этого вычисляют все выборочные дисперсии 5 и составляют отнощение наибольшей из дисперсий к общей сумме всех выборочных дисперсий [c.107]

При решении задач подобного типа по результатам нескольких выборочных совокупностей вычисляют случайную дисперсию (иногда ее называют остаточной или внутригрупповой) 5ост, а затем так называемую факторную дисперсию 5факт. обусловленную отклонениями средних на разных уровнях фактора от общего среднего, и сравнивают их между собой с помощью -кри-терия Фишера. Расположение материала, способы вычисления дисперсий, их сравнение, сравнение средних и оценка дисперсии фактора Оф рассмотрены ниже и проиллюстрированы на ряде примеров. [c.148]

Требуется выяснить, являются ли выборочные дисперсии 51 и значимо различными или же полученные выборки можно рассматривать как взятые из генеральных совокупностей с равными дис-. перснямн. Предположим, что первая выборка сделана из генеральной совокупности с дисперсией а вторая — из генеральной совокупности с дисперсией a2 . Проверяется нулевая гипотеза о равенстве генеральных дисперсий На. 01 = 02 . [c.47]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология