Фазовое пространство, изображение

Очевидно, фазовая траектория и реальная физическая траектория, описываемая движущимися телами, — совершенно различные понятия. Графически мы можем представить фазовую траекторию только для систем с одной степенью свободы, когда фазовое пространство двумерно (плоскость pq). Так, фазовая траектория частицы, движущейся прямолинейно и равномерно вдоль оси х (рх = onst), имеет вид, изображенный на рис. 5. [c.35]

Рис. Н-8. Изображение траектории для фазового пространства произвольной размерности.

Рис. 3.13. Преобразование фазового пространства от плоскости объекта до плоскости изображения для нелинейной линзы.

Классификация задач по группам с числом независимых переменных, большим и меньшим трех или равным трем как характеристика размерности задач с большим и малым числом переменных, разумеется, весьма условна и в данном случае выбрана скорее из соображений наглядности графического изображения пространства изменения переменных задачи — фазового пространства. (При числе переменных большем трех графическое изображение фазового пространства отсутствует.) Тем не менее, такая классификация до некоторой степени все же отражает действительные трудности, возникающие при решении задач с размерностью выше трех. [c.34]

Микросостояние системы удобно изображать точкой в 2/-мерном евклидовом пространстве, построив 21 осей и откладывая на них значения координат и импульсов. Это пространство называется фазовым пространством, а точка, изображающая микросостояние, —фазовой точкой. С течением времени состояние системы будет изменяться, и фазовая точка будет описывать в фазовом пространстве линию, которая называется фазовой траекторией. Движение частиц происходит в обычном пространстве, а фазовое пространство применяется для графического изображения микросостояния системы. [c.286]

Число степеней свободы f для частицы, движущейся в трехмерном потенциальном ящике, 3, для ротатора 2, для линейного осциллятора 1. Таким образом, каждому квантовому состоянию можно сопоставить ячейку объема в ц-пространстве величина ДЙ дает число таких ячеек в объеме Ду. Если для описания квантового осциллятора пользоваться классическим фазовым пространством, то эллипсы, изображенные на рис. П. 1, надо располагать дискретным образом, так чтобы площадь кольца между соседними эллипсами равнялась Л. Это кольцо и есть элементарная ячейка в фазовом пространстве одномерного гармонического осциллятора. [c.81]

Наглядное изображение фазового пространства произвольной размерности п отсутствует. Исключение составляют лишь случаи п = 2 и п = 3, когда фазовое пространство изображается в виде фазовой плоскости или доступно для изображения обычными приемами объемного чертежа (рис. П-6, п = 2 и рис. П-7, м==3). Для более высокой размерности понятие фазового пространства служит лишь удобной математической абстракцией, позволяющей повысить наглядность проводимых рассуждений. При этом координатные оси на чертеже можно опустить (рис. П-8). Тогда положение любой точки на траектории задается п-мерным вектором, составляющие которого определяются значениями фазовых координат в рассматриваемый момент времени, т. е. [c.56]

Следует сразу отметить, что в общем случае размерности векторов У, и не равны между собой, т. е. не равны между собой числа п, т и г. Поэтому для изображения векторов и 7 могут потребоваться фазовые пространства другой размерности. [c.72]

В отсутствие сильного упругого затухания из-за многократного рассеяния уширенная резонансная структура полного сечения а (уА), изображенная на рис. 8.17, непосредственно отражает средний комплексный потенциал, который изобара А (1232) "чувствует" в ядре. Основным механизмом увеличения ширины А является связь с абсорбтивными каналами, которая больше чем компенсирует уменьшение фазового пространства распада А - яН из-за принципа Паули. [c.347]

Воспользуемся далее понятием фазового пространства, в котором состояния объекта управления изображаются точками. В общем случае, т. е. когда имеется произвольное число п переменных состояния, фазовое пространство можно представить л-мерным пространством, не имеющим наглядной графической интерпретации при л>3. Если п = 2, фазовое пространство переходит в фазовую плоскость и изображение состояния объекта становится особенно наглядным (рис. V- ) при значениях переменных состояний Х°1 и х°2 им будет точка [c.141]

Для иллюстрации этого удобно воспользоваться понятием фазового пространства, в котором состояния объекта управления изображаются в виде точек. В общем случае произвольного числа п выходных переменных фазовое пространство представляется как л-мерное пространство, которое для числа переменных больше трех не имеет наглядной графической интерпретации. В случае, когда п = 2, фазовое пространство переходит в фазовую плоскость и изображение состояния объекта становится особенно наглядным (рис. 1-28). В этом случае изображением состояния объекта при значениях выходных переменных у и у будет точка у°. [c.89]

Преимущество диаграммы в фазовом пространстве заключается в том, что изобилие пересекающихся лучей в конфигурационном пространстве в фазовом пространстве размазывается так, что траектории остаются раздельными. Также очевидно, что существует преобразование (хотя не обязательно реализуемое), которое преобразует фазовое пространство в плоскости изображения либо в сфокусированное изображение, либо в фазовое пространство, которое минимизирует произведение максимального положения и угловых разбросов. [c.122]

Динамические состояния системы образуют множество (оо ), где / — число степеней свободы системы. Поэтому каждое состояние может быть представлено точкой в 2/-мерном пространстве, которое называется фазовым пространством системы. Однако вместо точного изображения динамического состояния, которого можно достичь, обозначив точное положение в фазовом пространстве точки, изображающей состояние, вводится следующее приближенное представление. [c.145]

При (7 = 10, b = S/3 и r = 28 эта система имеет странный аттрактор с размерностью D = 2,05 0,01, изображение которого, образованное интегральными кривыми в фазовом пространстве, удивительно напоминает крылья бабочки с узором, похожим на разводы, получаемые при перемешивании красок. [c.33]

Будучи фундаментальным положением учения о гетерогенных равновесиях, правило фаз играет большую роль при анализе различных диаграмм состояния, которые обычно строят в координатах состав — температура и которые изображают на плоскости или в пространстве фазовые равновесия в различных системах в зависимости от их химического состава и температуры. Правило фаз позволяет определить максимально возможное число равновесных фаз системы в заданных условиях. Оно позволяет контролировать правильность экспериментального построения диаграмм состояния и устранять возможные ошибки в изображении фазовых равновесий. [c.268]

В задачах вариационного исчисления (стр. 214) недостаток граничных условий восполняется условиями трансверсальности, число которых равнялось числу недостающих граничных условий Для уравнения Эйлера. Аналогичные условия трансверсальности можно получить и при использовании принципа максимума. Рассмотрим порядок вывода этих условий на примере задачи о быстродействии для процесса, описываемого системой трех уравнений, что соответствует изображению фазовой траектории в трехмерном пространстве переменных х, х2 и х3. [c.330]

Наглядное изображение фазового пространства произвольной размерности п отсутствует. Исключение составляют лиьиь случаи [c.54]

Решение задачи для одномерного гармонического осциллятора можно записать в виде p = a os(ut, X = bsin oi. В соответствуюш ем двумерном Г-пространстве данные уравнения будут параметрическим представлением эллипса p/aY + х/ЬУ= 1. Хотя уравнение этой динамической кривой является важным соотношением, которому должны удовлетворять р ж х, она не дает информации о развитии системы во времени. С другой стороны, в 2N -Ь 1)-мерном расширенном фазовом пространстве (Г-пространстве), которое включает ось времени, кривая, прочерчиваемая точкой системы, дает полное динамическое решение задачи. Для рассмотренной задачи с гармоническим осциллятором эта кривая является пересечением двух поверхностей а = p/ os oi, b = /sin o . Динамический путь изображен на рис. 1.7. [c.24]

Чтобы получить выражение термодинамической вероятности по Ферми — Дираку, рассуждаем так. Пусть некоторый участок фазового пространства состоит из У ячеек и содержит при заданном макросостоянии N частиц. В пределах этого участка какое-либо микрораспределение можно символизировать рядом цифр О и 1, причем цифра О будет означать пустую ячейку, а цифра 1 — заполненную ячейку, т. е. ячейку, содержащую одну частицу следовательно, этот ряд будет содержать N единиц и (К — Ы) нулей. Любая перестановка единиц и нулей даст символическое изображение нового микрораспределения. По теории соёдинений число таких перестановок из У элементов, когда имеется N одинаковых элементов одного сорта и (У —М) одинаковых элементов другого сорта, равно [c.137]

В настоящее время главное место в статистике занимает не комбинаторный метод, а метод ансамблей, установленный Гиббсом. В этом случае пользуются не шестимерным фазовым пространством, а пространством 6 N измерений, где N — число молекул в системе, причем 3 N осей фазового пространства служат для изображения координат молекул и столько же осей служит для изображения импульсов молекул. Мгновенное механическое состояние термодинамической системы изобразится точкой в таком 6N-мерном пространстве. Зная положение фазовой точки, можно судить о пространственном расположении всех N частиц системы и об их мгновенных скоростях. Любое изменение состояния системы изображается в гиббсовском фазовом пространстве движением фазовой точки по некоторой траектории, ко1Х)рая может быть предуказана по законам механики. [c.137]

Системы, состоящие из одинаковых молекул. В системах, состоящих из большого числа одинаковых молекул, которые представляют интерес для химика, целесообразно рассматривать пространственное изображение всех координат и количеств движения для одной молекулы, включая сюда и те величины, которые связаны с поступательным, вращательным и колебательным движениями, отдельно от системы в целом. Для того чтобы различать фазовые пространства, фазовое пространство с 2/ прямолинейными осями, уже использованное для представления си-стежпы или ансамбля систем, было названо у-пространством, причем буква у указывает, что такие системы относятся к газу, т. е. к совокупности молекул. Пространство, применяемое для отдельной молекулы или молекул, обозначается как -пространство, причем буква р указывает, что такие системы относятся именно к отдельным молекулам. Подобно тому как изображающая точка в у-пространстве характеризует точное состояние системы, так и точка в .-пространстве точно определяет положение и количество движения отдельной молекулы. Очевидно, что число осей в (А-пространстве меньше числа осей в у-пространстве. Если молекула имеет г степеней свободы, то -пространство будет обладать 2г измерениями, и если система содержит п одинаковых молекул, то общее число степеней свободы / будет равно пг, а число измерений у-пространства, равное 2/, составит 2лг. [c.359]

Введение. В предыдущих параграфах основное внимание сконцентрировано на анализе поведения ограниченной области-фазового пространства с рассмотрением движения ее границ. Однако в 3.4 мы встретились с нелинейным преобразованием, в котором выбор оптимальных параметров преобразования зависел от распределения плотности. Другая ситуация, когда распределение плотности играет важную роль, возникает при определении предельной плотности тока в пучке. Для безаберрационной системы линз плотность тока в пучке ограничена как начальным распределением по скоростям, так и собственным пространственным зарядом пучка. Параметры линз, однако, можно выбрать так, что основным ограничивающим фактором будет только распределение по скоростям. В этом случае Ленгмюр, 113], используя геометрическое доказательство, а также Пирс [20], используя теорему Лиувилля, получили выражения для предельной плотности тока пучка. Однако в методе Пирса при вычислении плотности тока в любой плоскости, отличной от плоскости изображения, возникают некоторые трудности, для преодоления которых Лихтенберг [171 ввел распределение плотности в метод эллипсов и получил результаты, аналогичные результатам Пирса. [c.131]

В заключение этого элементарного термодинагушческого анализа определим области устойчивости упорядоченной и неупорядоченной фаз в пространстве параметров потенциала г, и, и,. .. Конкретно укажем области устойчивости на плоскости г, и при фиксированных значениях и. Так,, при и = О на основании сказанного выше имеем простейшую фазовую диаграмму, изображенную на рис. 1.4. При наличии кубического члена в Ф описанная выше ситуация иллюстрируется рис. 1.5. Сплошная линия отвечает фазовым переходам первого рода. Она соответствует решению [c.12]

Фазовое пространство разделяется на ряд очень малых ячеек, каждая из которых имеет одинаковый сверх -объем (гиперобъем) т. Тогда состояние характеризуется заданием ячейки, в которую попадает точка, описывающая это состояние. Таким образом, все состояния, которые определяются точками, лежащими в одной ячейке, не считаются различными. Это изображение состояния системы было бы абсолютно точным, если бы ячейки были выбраны бесконечно малыми. [c.146]

Удобным способом наглядного изображения движений является метод фазового пространства. Описание этого способа на примерах простых биосистем имеется в работе [179]. Суть метода заключается в следующем. Рассматривается пространство, координатами в котором являются фазовые переменные системы Х, Х2, Хт в соответствии с приведенным в разд. 3.2 определением. Задание текущих величин фазовых координат определяет в этом пространстве некоторую точку Р — изображающую точку. При изменении фазовых координат во времени изображающая точка описывает в фазовом пространстве траекторию, по виду которой моэ4но судить о свойствах системы. Наиболее удобен этот метод для исследования систем второго порядка, когда фазовых координат всего две, и фазовое пространство превращается в фазовую плоскость. Рассмотрим этот случай подробнее. [c.86]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология