Метод уровней

Метод уровней . В данном и следующем параграфах мы будем анализировать общую задачу минимизации (IV,1), (IV,3), (IV,5), не предполагая множество Л выпуклым, а лишь замкнутым и ограниченным. Как и ранее, изложение проведем с привлечением двойственных переменных — функционалов над Z. [c.148]

Рис. 22. Геометрическая интерпретация метода уровней .

Метод штрафов . Если метод множителей Лагранжа можно трактовать геометрически как метод касательных (к границе Л) плоскостей, а метод уровней — как метод соприкасающихся сфер (или эллипсоидов), то традиционный метод штрафных функций можно назвать методом соприкасающихся параболоидов. В этом методе решения задачи (IV,1), ( ,3), (IV,5) рассматривается следующее однопараметрическое семейство определенных на Л функций [c.150]

От указанных недостатков свободен метод уровней, в котором не обязателен неограниченный рост коэффициентов в штрафных членах. [c.152]

Остановимся теперь на поисковых алгоритмах, использующих принцип последовательной безусловной минимизации. В связи с тем, что алгоритмы, основанные на методе штрафов подробно изложены во многих работах [103, с. 333—381 104], приведем только алгоритмы метода уровней . [c.153]

Алгоритмические аспекты метода уровней. Пусть а — решение задачи (IV,1), (IV,3), (IV,4) и р, = / (х ). Запишем функцию IV,21) в более удобном для дальнейшего обсуждения виде [c.154]

Решение тестовых задач с ограничениями. В табл. 25 и 26 приведены результаты решения некоторых тестовых задач с ограничениями с помощью методов уровней и штрафов . При использовании метода уровней одновременно с переходом от к [Х/г + 1 по формуле (IV,46) штрафные коэффициенты а,-, ру возрастали на порядок. Для некоторых вариантов в скобках даны результаты, полученные при неизменных в процессе решения значениях a , ру (= а, Р). Из табличных данных следует, что увеличение коэффициентов , р/ при решении задачи целесообразно и позволяет в общем случае сократить время ее решения. [c.158]

При этих условиях метод штрафов , как видно из табл. 25 и 26, оказывается в ряде случаев эффективнее метода уровней . Однако вопрос о предпочтении одного метода другому должен решаться с учетом рассмотрения практических задач. [c.159]

Таблица 2а. Решение тестовых задач с ограничениями с помощью метода уровней

В работе [158, с. 144—151] приведены результаты решения известной типовой задачи Отто и Вильямса с помощью различных методов оптимизации, в том числе метода штрафов , применение которого оказалось безрезультатным. Проведенное нами решение этой задачи посредством метода уровней позволило определить оптимальную точку для всех трех серий начальных значений варьируемых переменных. [c.162]

При решении встречающихся далее задач использовался в основном метод уровней . [c.162]

Решение задачи оптимизации. Задача оптимизации, сформулированная как задача определения условного экстремума функции девяти переменных, сводится к задаче на безусловный экстремум с помощью метода уровней (см. гл. IV). Целевая функция в данном случае будет иметь вид [c.174]

Таблица 29. Результаты оптимизации установки дистилляции нефти с применением метода уровней при различных значениях параметров алгоритма

Результаты оптимизации контактного аппарата с помощью метода уровней (цо = —1,2 = а,, = 10" = 10" = = Ю ) на основе различных алгоритмов безусловной минимизации приведены в табл. 31. Начальная точка выбрана следующей (а1,. . ., а,) = (0,061538 0,6462 0,0923 0,95 0,61389 0,0923) разрывные переменные — = 363 (°С) он = 444 =501 2 (т ) = 0,97. Соотношения (IV,82) при таком выборе значений разрывных переменных не выполнены. Отметим, что общая [c.186]

Расчет оптимального режима работы указанного контактного узла с учетом тепловых потерь выполнялся посредством метода уровней на основе BFS. [c.188]

Для решения задачи применялся метод уровней (см. [c.259]

Такая интерпретация задачи поможет в дальнейшем строить, функции Р. Ниже изложены три метода конструирования функции Р метод штрафов , метод множителей Лагранжа и так называемый метод уровней.] [c.91]

Различные аспекты метода уровней обсуждены в работах [15— 17]. Рассмотрим этот метод. Образуем функцию F из функций f vi w [см. функцию (V,7)] [c.98]

Для решения указанной системы можно использовать методы, описанные в главе III. В отличие от методов штрафов и метода уровней, где приходилось подбирать только один параметр, в данном случае подбирают п — р параметров по числу закрепленных на правом конце фазовых переменных. Вероятно такой подход целесообразно применять, когда число закрепленных переменных на правом конце мало. [c.113]

Метод уровней. Функции Q и запишутся так [c.198]

Таким образом, соответствующий двухуровневый вычислительный процесс для метода уровней (см. предыдущий метод) включает определение точной верхней грани, т. е. sup р, (R ) при у. (R l) [c.114]

Рассмотрим теоретически некоторые особенности совместного применения методов уровней и штрафов и квадратичных методов безусловной минимизации, ориентируясь на эффективность алгоритма оптимизации в целом. Результаты такого рассмотрения могут оказаться полезными при анализе практического применения этих алгоритмов в каждом конкретном случае. [c.122]

Предположим, что рассматриваемая задача содержит ограничения лишь в форме равенств. Обратимся к методу уровней. В этом случае минимизируемая функция имеет вид (IV, 36) с p = О, / = д. [c.122]

Матрицы, входящие в правую часть этой формулы, имеют одинаковую форму представления они получены в результате умножения вектора на свой транспонированный вектор. Ранг подобных матриц, очевидно, равен единице. Так как ранг суммы матриц не превосходит суммы рангов ее составляющих, то при р < п — 1 ранг матрицы (х ) оказывается меньшим п, т. е. она является вырожденной. Если на нижнем уровне для минимизации функции а(- ) применяется метод Ньютона [см. выражение (1,43)], то в общем случае эффективность его для рассматриваемой ситуации значительно снижается [81, с. 79—86] вместо квадратичной скорости сходимости можно гарантировать лишь линейную скорость, характерную для обычного градиентного метода. Следовательно в целом эффективность алгоритма метода уровней, используемого совместно с методом Ньютона для выполнения безусловной минимизации, должна снижаться по мере приближения значения параметра л к л. Отсюда следует также, что в общем случае метод уровней целесообразно применять лишь для локализации решения задачи на условный экстремум, в частности задавать начальные приближения для х и [Л, достаточно близкие к х, х, нецелесообразно, Последний из упомянутых моментов часто проявлялся при расчетах на ЭВМ с использованием на нижнем уровне других квадратичных методов безусловной минимизации. [c.122]

Для преодоления указанных трудностей при решении задач на условный экстремум и уточнения положения экстремума целесо-образно использовать комбинацию методов уровней и штрафов, первый — в начальной фазе оптимизации, второй — в заключительной. От этих недостатков свободен метод модифицированной функции Лагранжа, который находит в последнее время все более широкое применение. [c.123]

В задаче нелинейного программирования (VI, 27) на все структурные переменные наложены простейшие ограничения, имеющие вид неравенств типа больше—меньше , а также линейные ограничения типа (1,7). Использование метода штрафа и метода уровней для учета этих ограничений может существенно ухудшить характеристики поиска, поэтому при решении задач синтеза важную роль должны играть методы поиска с непосредственным учетом линейных ограничений. [c.204]

Вычислим квазиклассическим методом уровни энергии и волновую функцию частицы массы д, движущейся в одномерной [c.96]

Для анализа спектров с относительно большими значениями //Дv (соответствующие спин-системы называют сильно связанными , хотя абсолютное значение / может быть и не очень большим) не требуется конкретная физическая модель — нам нужно знать не тип молекулы, а число спинов в системе. Анализ спектра сводится к вычислению с помощью квантовомеханических методов уровней энергии и волновых функций стационарных состояний системы связанных спинов, находящихся в статическом внешнем магнитном поле, и затем к нахождению переходов между этими уровнями под действием приложенного ВЧ-поля, для чего используются методы теории возмущений и правила отбора. При этом положения линий в спектре будут функциями расстояний между энергетическими уровнями, а их относительные интенсивности будут определяться вероятностями соответствующих переходов. При удачном выборе параметров расчетные спектры, как правило, будут очень хорошо согласовываться с экспериментальными. По найденным таким образом значениям химических сдвигов и констант спин-спинового взаимодействия можно попытаться воспроизвести структуру изучаемой молекулы или полимерной цепи. Если же строение цепи известно (а так оно обычно и бывает при иссле- [c.43]

Следует отметить, что (составная) ф5 нкция (IV,21) метода уровней выглядит сложнее если в функции (IV,7), (IV,31), используемые соотве тственно в методах множителей Лагранжа и штрафных функций, критерий / (х) входит в неискаженном виде, то функция (IV,21) метода уровней нелинейна относительно /. [c.152]

Алгоритм XIII может быть следующим образом видоизменен. С изменением [х по формуле (IV,46) (шаг 3 алгоритма XIII) можно одновременно увеличивать все или некоторые коэффициенты а,, Ру в формуле (IV,37). Этот алгоритм будет реализовывать некоторую комбинацию методов уровней и штрафов . [c.156]

Опыт исно.иьзования метода уровней показал [c.174]

Для решения этой задачи применялся метод уровней (IV,21). В качестве начальной точки Хд в пространстве поисковых переменных (xi, 2,. - Хд) была взята точка с координатами (40 ООО, 37 800, 20 ООО, 4 ООО, 37 440, 54 080 ООО, 171 400 ООО, 21 ООО, 31 ООО), лежаш,ая внутри области (IV,77)—(IV,79), но не удовлет-воряюш,ая ограничениям (IV,70)—(IV,76). Значение критерия оптимизации (IV,80), вычисленное в этой точке, оказалось равным [c.179]

Эквивалентная задача (впрочем, как и исходная) представляет собой задачу на условный экстремум, для решения которой использовалась условная оптимизация метод уровней и метод модифицированной функции Лагранжа. Для выполнения безусловной минимизации составной функции (нижний уровень оптимизации) применялись методы квазиньютоновского типа — DFP, BFGS, SSVM [см. (III, 81), (111,84)1. Расчет производных минимизируемой функции выполнялся как аналитически — с привлечением сопряженного процесса [3, с. 142], так и методом конечных разностей, что позволило провести сравнение результатов оптимизации по эффективности и точности решения . [c.146]

Соответствующие вычпслеиия производятся лгетодо.м U. Рассчитанные этим методом уровни и АО приведены в таблицах [9, 101. На практике для простоты часто используют также функции, радиальные части которых заданы в аналитической форме в виде одной экспоненты ае " " или суммы нескольких таких экспонент 1 ехр (—а г) + U2 ехр (—a r) -f- , где коэффициенты п показатели подобраны так, чтобы достигалось возможно лучше приближение к радиальным частям самосогласованных функций [11, 12]. Довольно часто пользуются слейтеровскими радиальными функциями [c.19]

Конкретный вид функции Р Х, Р) следует согласовывать с методами минимизации ее, т. е. учитывать гладкость штрафа, простоту вычисления функций и ее производных, свойства выпуклости и т.д. Уязвимой стороной метода является овражность функции Р Х, р), даже если исходная функция для критерия оптимизации 1 Х) не имела оврагов , что существенно затрудняет задачу поиска оптимальных параметров. Из других приемов сведения к задаче безусловного экстремума упомянем методы уровней и множителей Лагранжа [20]. [c.152]

Благодаря полному использованию хлора и практически полналу отсутствию не утилизируемых отходов, себестоимость получаемых хлорметанов будет находиться на самом низком из известных методов уровне. Расходные коэфсипиенты по сырью на I т хлорметанов составляют хлор - 0,92 т, природный газ - 303 шл , кислород -205 нм . Энергетические расходы электроэнергия - 360 кВт/т, пар - I ГкЕл/т, холод - 0,24 Гкал/т. В качестве побочных продуктов выделяются солевой раствор (0,03 т/т) и кубовые остатки ректификации (0,01 т/т). Полученные хлорметаны по качеству отвечают требованиям высших сортов ооответствующих ГОСТов. [c.28]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология