Умножение квадратных матриц

Умножение квадратных матриц [c.148]

Формальные параметры процедуры Л — исходная матрица, В — матрица результата, к — постоянная величина, п, т — размерность матрицы. При умножении квадратной матрицы порядка п на число к ее определитель увеличивается в /с" раз. [c.233]

Алгоритм составлен с использованием дополнительной процедуры умножения квадратных матриц, которая локализована внутри основной процедуры. Ее формальными параметрами являются N — порядок матрицы ХР — начальное приближение А — исходная матрица ерв — точность. Выходное значение присваивается ХР. [c.242]

Если при умножении квадратной матрицы А на вектор-столбец Хг получается тот же вектор, умноженный на собственное число Хг [c.160]

Например, заголовок процедуры умножения двух квадратных матриц может иметь следующий вид (см. стр. 95) [c.105]

Операция умножения определена не только для квадратных матриц, но также и для прямоугольных. Однако при перемножении прямоугольных матриц необходимо соблюдать следующее условие соответствия размерностей число столбцов матрицы-множимого должно быть равно числу строк матрицы-множителя. Число столбцов матрицы-результата будет равно числу столбцов матрицы-множителя, а число строк — числу строк матрицы-множимого. [c.234]

При соблюдении размерностей перемножаемых матриц операция умножения обладает следующими свойствами умножение матриц ассоциативно (АВ) С = Л (ВС)-, умножение матриц дистрибутивно А - - В) С = АС + ВС единичная матрица коммутативна (перестановочная) с любой квадратной матрицей того же порядка, т. е. АЕ = ЕА = А нри перемножении квадратных матриц определитель матрицы произведения равен произведению определителей матриц сомножителей. Например, если и jB—квадратные матрицы порядка п, то [c.234]

В соответствии с уравнением (8.2) результатом умножения двух векторов будет либо квадратная матрица (когда вектор-столбец умножают на вектор-строку), либо одно число (когда вектор-строку умножают на вектор-столбец). [c.159]

Согласно уравнению (111.184), умножение вектора а на квадратную матрицу К равноценно вычислению нового вектора, который выражает скорость изменения а во времени. Геометрически это взаимодействие между векторами в уравнении (111.184) или, что то же самое, между переменными в уравнениях (111.183) можно интерпретировать как вращение, которому подвергается вектор состава чистого компонента, когда его преобразуют с помощью матрицы К. Очевидно, что, кроме векторов для чистых компонентов, большинство других векторов состава также может вращаться посредством матрицы К. Из всех возможных направлений вращения векторов состава для обратимой га-компонентной мономолекулярной системы всегда существует п независимых направлений, где векторы под действием К изменяют только свою форму. Эти независимые направления Уэй и Претер назвали характеристическими направлениями. [c.200]

Если квадратная матрица не имеет обратной, то она называется сингулярной. Например, если в системе уравнений второго порядка одно уравнение получается из другого умножением на некоторое число, то матрица коэффициентов будет сингулярной. Так, матрица системы [c.310]

Совокупность квадратных матриц, удовлетворяющих приведенному определению, образует группу матриц-, элементами этой группы являются квадратные матрицы, законом композиции группы служит правило умножения матриц. Как известно, умножение матриц обладает свойством ассоциативности. Наконец, каждой регулярной матрице можно поставить в соответствие обратную матрицу. [c.340]

Эта формула означает, что две матрицы можно перемножить только тогда, когда левая имеет столько же столбцов, сколько строчек имеет правая матрица. Необходимость этого условия вытекает из того, что индекс /г изменяется одновременно по всем строчкам первой и по всем столбцам второй матрицы. Умножение матриц некоммутативно, точно так же как не всегда коммутирует умножение операций симметрии. Так, в рассмотренном ранее примере умножения двух квадратных матриц при изменении /2 1] /7 3] /15 16 [c.103]

Указанное свойство матриц имеет очень важное значение для теории симметрии. Каждая точечная групна обладает характерным для нее набором элементов симметрии и своей таблицей умножения. Матрицы, отличаясь от операций симметрии своей математической природой, воспроизводят, имитируют самое важное в свойствах точечной группы — таблицу группового умножения, т. е. закон связи между элементами группы, они как бы описывают нам группу, но только на своем языке — языке матричного исчисления. Теперь становится понятным, почему математики, говоря о совокупности квадратных матриц, повторяющих основные свойства группы, употребляют термин представление данной группы симметрии . Каждая группа может иметь бесчисленное множество представлений, которые могут отличаться друг от друга как размерностью своих матриц, так и видом матричных элементов. Часто представление группы осуществляется и просто набором чисел, каждое из которых, впрочем, можно рассматривать как квадратную матрицу единичной размерности. [c.31]

Эта функция носит специальное название следа квадратной матрицы А и обозначается как Sp А, или ir А. При умножении матрицы на число а каждый ее элемент, в том числе ац, умножается на а. Поэтому [c.19]

При анализе свойств определителей было установлено, что определитель диагональной матрицы равен произведению ее элементов, стоящих на главной диагонали. Если какую-либо квадратную матрицу А порядка п умножить слева на диагональную D, то каждая строка Al матрицы А умножится на соответствующий элемент (1ц диагональной матрицы. Согласно свойству 2 определитель вновь полученной матрицы DA будет равен определителю А, умноженному на произведение элементов da, т. е. на определитель D [c.29]

Множество квадратных невырожденных матриц порядка п с операцией умножения двух матриц образует мультипликативную фуппу. Нейтральным элементом в этом случае является единичная матрица Е, а обратным [c.337]

Легко видеть, что при умножении матриц их нельзя менять местами (операция умножения матриц некоммутативна). Для матриц А(тхп) и В(пхт) существуют как произведение АВ, так и произведение ВА, но размерность получающейся матрицы будет т Х.т) в первом случае и (м X )—во втором. В этом случае говорят, что матрица А умножается на В справа и слева, соответственно. Даже для квадратных матриц, вообще говоря, АВ ф ВА. [c.128]

Умножение (слева) прямоугольной матрицы на квадратную диагональную матрицу эквивалентно умножению каждой строки исходной матрицы на соответствующий элемент диагональной матрицы, поэтому [c.222]

Квадратные корни из диагональных элементов матрицы после их умножения на /-критерий дают доверительные интервалы [c.108]

Преобразование подобия (5.27) не меняет ранга матрицы, поскольку ранг произвольной матрицы остается тем же при умножении ее справа или слева на квадратную неособенную матрицу [c.59]

Если имеется система линейных уравнений AX=Y, то в результате выполненных умножений она перейдет в эквивалентную систему (S — квадратная неособенная матрица, так что умножение А на нее не меняет ранга А) [c.105]

Процедура MULT предназначена для умножения квадратных матриц. Ее формальными параметрами являются А, В — матрица-множимое и матрица-множитель соответственно, С — матрица-произведение п — порядок. Процедура МА ТА предназначена для сложения матриц, умножения матрицы на константу, сложения с единичной матрицей, присваивания значений элементов одной матрицы элементам другой. Выполнение этих функций обеспечивается соответствующими значениями фактических параметров. Выходным параметром процедуры является массив А. Назначение [c.244]

СПООЗб (КЛ1), К]1), р) — стандартная подпрограмма умножения квадратных матриц порядка р. [c.146]

Итак, вектор 2, у2, 22 получается из х, 21 или применением к нему некоторой операции симметрии, или умножением на матрицу преобразования. Эту матрицу называют представлением операции симметрии в данном базисе, понимая под базисом преобразуемый вектор хи у, 21 . Матрицы-представления квадратны и имеют размерность, равную числу элементов базиса. Из табл. 5.3 преобразования р-функций видно, что [c.171]

Матрица обратная. Обратной матрицей по отношению к данной (Л) называется матрица, которая, будучи умноженной как справа, так и с л е в а на данную матрицу, дает единичную матрицу, т. е. = А А = В. Обратные матрицы существуют только для квадратных матриц, определители которых не равны нулю. Процедура получения обратной матрицы а) вычисляют определитель исходной матрицы с1е1 А, или А б) находят союзную матрицу, если А 0 в) делят элементы союзной матрицы на определитель исходной матрицы. Вычисление обратных матриц — трудоемкая задача, обычно производится на ЭЦВМ. [c.264]

Согласно уравнению (11), умножение вектора а на квадратную матрицу К равноценно вычислению нового вектора, который выражает скорость изменения а во времени. Если элементы К превращаются в безразмерные величины при опускании единиц измерения, сегг матрица К становится оператором, который преобразует вектор а путем вращения и изменения его длины в новый вектор а =с а1сП независимо от размерности) в пространстве составов, как показано на рис. 6. В дальнейшем мы будем часто пользоваться безразмерной матрицей К без специальных разъяснений, поскольку в тех случаях, где это необходимо, физическую размерность К легко ввести. [c.84]

Неприводимое представление — такое представление группы, для которого не существует никакого алгебраического преобразования, способного привести к новым представлениям группы с матрицами, имеющими меньшую размерность (стр. 31, 32). Рперация симметрии — такая операция, кото- рая после ее применения к какому-либо предмету приводит к новой его ориентации в пространстве, неотличимой от исходной и совмещаемой с ней (стр. 6, 7). Представление группы — любое множество квадратных матриц, поставленных в соответствие элементам группы и подчиняющихся таблице умножения группы (стр. 30), Приводимое представление — такое представление группы, из которого можно путем алгебраического преобразования получить новые представления с матрицами цень-шей размерности (стр. 32). [c.121]

Во-вторых, каждой квадратной матрице [а ] можно сопоставить соответствующий определитель ац. Правила умножения определителей совпадают с правилами умножения матриц, поэтому определитель, полученный в результате перемножения двух матриц, равен произведению двух отдельных определителей. Отличие состоит лишь в том (и это необходимо подчеркнуть), что определитель можно умножйть таким образом, что [c.65]

При умножении прямоугольной матрицы А (размера тХп) на квадратную неособенную матрицу В (тхпг) ее ранг не меняется. Так как С = ВА есть прямоугольная матрица размера тХп, то [c.36]

Опер-аторы Н являются квадратными матрицами 4X4. Вид матриц, входящих в (1.2.4), дан в прилоЖ ении 1. Операторы Я( и Я являются операторами умнон ения операторы Н[ и содержат операции д/ду и умножения на определенные величины. [c.13]

Предположим, что измерены / различных экспериментальных параметров, каждый в г экспериментальных условиях. Обозначим через Pj. значение /-го параметра в J-x условиях опыта. Совокупность Pj. можно представить в виде матрицы JP размером / х л Можно далее построить симметричную (г X г) квадратную матрицу Q = РР" умножением матрицы Р на траиспонированиую (Р = Pjj). В матрице Q содержится вся известная нам информация о системе. Можно обычными методами найти собственные числа и собственные векторы матрицы Q. Если Е — единичная матрица, то [c.41]

Отметим, что умножение на транспонированную матрицу в Jyчae, когда система (3) имеет единственное решение, приводит к эквивалентной ей системе (7) с квадратной симметричной матрицей.(Происходит минимизация длины вектора 2 0), [c.128]

Последовательное умножение А слева на матрицы Sij, проводимое так, чтобы каждое новое умножение не портило ранее полученных нулей, позволяет исключать щаг за щагом ненулевые элементы матрицы А. Исключая, например, элементы под главной диагональю, можно привести квадратную неособенную матрицу А к верхней треугольной. Выполняя ту же процедуру с прямоугольной тХп матрицей А (man, д(А)=т), можно свести А к трапециевидной форме [c.104]

Исходя из п.п. 1—4, при исследовании возможных топологических типов систем из 12 солей граф О (12, 18) симплотопа Р(з, 4) представляется как объединение подграфов (6,3) ( = 1,2,..., 18) всех призм Р(2,з), входящих в границу Ро, 4). Соответственно матрица инцидеиций А определяется как сумма (3 X 4)-матриц инциденций Л, подграфов С, (6,3), умноженная на величину, обратную числу повторений диагоналей (эта величина равна /3, так как каждая квадратная грань месте со своей диагональю принадлежит трем призмам Р 2, з)- [c.152]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология