Решение уравнений с постоянными коэффициентами общим методом

В уравнениях (5.11)-(5.13) искомая функция - это нестационарное концентрационное поле целевого компонента в движущейся среде-носителе С(т х, у, г Z) w , w , wj, определяемое значениями независимых переменных % , х, у, г я параметров процесса D Wy, IV,. Значения параметров процесса массопереноса -коэффициента диффузии и проекции скорости потока на декартовы оси координат - должны быть известными. Если компоненты скорости неизвестны, то уравнение (5.12) следует рассматривать совместно с дифференциальным уравнением движения (1.29) вязкой жидкости, при этом уравнение (5.12) невозможно решить в общем виде аналитическими методами. Впрочем, даже при известных и постоянных величинах компонент скорости w , Wy и W, получить аналитические решения дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно четырех независимых переменных в общем случае также невозможно. [c.350]

РАБОТА 5. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ОБЩИМ МЕТОДОМ [c.78]

Динамические свойства линейной математической модели следящего привода можно в полной мере выяснить решением (интегрированием) общего дифференциального уравнения операционным методом с использованием передаточной функции [4, 17]. Решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами содержит элементарные функции, которые полностью отражают характер движения выходного звена следящего привода. Вид указанных элементарных функций существенно зависит от корней характеристического уравнения. На этом основан корневой метод анализа следящих приводов. Такой метод наиболее эффективно применять, когда порядок дифференциального уравнения и соответственно степень характеристического уравнения не выше четвертой. Формальный метод получения характеристического уравнения по передаточной функции состоит в приравнивании нулю полинома по степеням 5 в знаменателе. При этом, чтобы выделить процедуру определения корней, нередко переменную 5 заменяют на величину г, обозначающую корни уравнения. [c.215]

Рассмотрим вычислительный аспект алгебраического метода решения. Выше было показано, что для одномерного уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами граничные обратные задачи имеют общее интегральное представление (ЗЛ). Заменим уравнение (ЗЛ) приближенным дискретным аналогом. Для этого разделим полный временной отрезок на конечное число интервалов с переменными шага- [c.67]

Для вывода уравнений кривых титрования используют общие принципы. Во-первых, составляют уравнения, число которых равно числу неизвестных величин (не считая коэффициентов активности ионов), таких, как электронейтральность раствора, произведения активностей ионов воды и осадков, константы диссоциации слабых электролитов (кислот, оснований, комплексов), уравнения материального баланса взятых и полученных веществ. Затем проводят математические преобразования с целью получения одного линейного уравнения той или иной степени, содержащего, не считая коэффициентов активности ионов, одну неизвестную величину — концентрацию одного из ионов. В некоторых случаях не удается получить линейное уравнение, тогда приходят к системам уравнений, доступных для программирования на ЭВМ. Уравнения решают методом последовательных приближений. Сначала проводят вычисления при /= 1. После решения основного уравнения находят концентрации всех других ионов при помощи уравнений, которые положены в основу расчетов. Затем находят ионную силу раствора и вычисляют средний коэффициент активности ионов. После этого повторяют вычисление с учетом коэффициентов активности ионов. После двух-трех приближений значения коэффициентов активностей и равновесных концентраций ионов становятся практически постоянными. [c.40]

Для интегрирования системы уравнений (11,49) и (11,50) можно использовать общие методы решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами [9]. В результате получают следующие выражения, определяющие значения выходных температур теплоносителя и хладоаген-та [c.69]

До сих пор мы считали частоты элементарных процессов У постоянными, вследствие чего математическая задача кинетики сводилась к решению системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такое упрощение задачи возможно, пока мы ограничиваем рассмотрение реакции начальной ее стадией, когда концентрации исходных веществ еще не претерпели сколько-нибудь существенного изменения. При значительной глубине реакции, очевидно, необходимо учитывать изменение концентраций всех присутствующих в зоне реакции веществ вследствие этого возникает задача решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, которая в общем виде аналитически неразрешима. Однако, пользуясь методом квазистациоиарных концентраций, часто удается свести задачу к решению системы двух уравнений, которая в отдельных простейших случаях может быть решена аналитически. В результате этого [ ёшения получаются определенные соотношения между концентрациями активных центров и исходных веществ, позволяющие выразить скорость реакции через коицсптраппю исходного вещества. Это отвечает макрокинетпческо.му. юкону реакции. [c.431]

Метод Гауса — Жордана является общим методо.м обращения квадратных матриц или решения систем линейных уравнений. Поскольку во многих областях вычислительной химии мы находим подобные случаи (см. далее раздел по мультилинейной регрессии), то представляет интерес описание метода, очень легко программируемого. Вначале необходимо проверить равенство нулю коэффициентов каждого уравнения. Примем, что -е уравнение в данный момент проверено. Умножим его члены на константу и полученное эквивалентное уравнение прибавим к оставшимся п—1 уравнениям. Константа подбирается таким образом, чтобы во всех этих п— уравнениях г-й член сократился. Таким образом получим новую эквивалентную систему уравнений, в каждом из которых имеются лишь одно неизвестное и постоянный член. [c.155]

Точное решение этой задачи, приведенное Карслоу и Егером [1], идентично соотношению (35), за исключением того, что вместо коэффициента /3/8=0,602 в решении стоит множитель)/1/я = 0,564. Этому соответствует ошибка около 7%. Для решения подобной задачи Рейнольдс и Долтон [16] также использовали интегральный метод, но их результат отличается от приведенного за счет различия в условиях, налагаемых на кубический профиль температур. Вместо использования производного условия плавности (18) авторы, дифференцируя соотношение (32) и подставляя результат в уравнение (1), вывели другое граничное условие. В результате решения получено выражение для теплового потока на поверхности д = О, совпадающее по форме с уравнением (35). Численный коэффициент решения оказался равным )/9/32=0,530, т. е. ошибка в этом случае составила около 6%. Такое различие в методике решения наглядно показывает общее свойство интегрального метода, суть которого состоит в том, что в этом методе выбор температурного профиля не однозначен и до некоторой степени произволен, а ошибка получаемого решения в значительной мере определяется разумным выбором профиля. Таким образом, имеется некоторая неопределенность, присущая самому методу, и эта неопределенность может быть разрешена только при строгом математическом исследовании. Схема итераций Шамбре в применении к исследованным задачам обладает необходимой строгостью, так как благодаря наличию доказанной сходимости имеется гарантия того, что, независимо от первоначально выбранного профиля, окончательное решение может быть получено с любой желаемой точностью. Можно считать, что в рассмотренном нами частном случае итерация сходится на протяжении одного шага, ибо, подставляя выражение (35), которое имеет ту же форму, что и точное решение, в уравнение (31), мы видим, что температура поверхности действительно постоянная величина, но только значение этой величины взято нами неправильно. Исправив данное значение, мы тем самым завершим процесс итерации. [c.48]

Уравнение (1.19) дает среднюю скорость ползучести в рассматриваемой точке первичной кривой ползучести в функции от значений ст, Т, ео, Sn, определяемых по результатам испытаний образцов при постоянных температуре и нагрузке (напряжении) с измерением деформации на всех этапах процесса до момента разрущения. В уравнении (1.19) при использовании его в общем виде без всяких ограничений, как и в уравнении (1.14), также возникает проблема устойчивости решения в определении численных значений коэффициентов А, р, т, п, Qo, g, г, так как используется пять источников инфор-Шции - экспериментальные значения Т, ст, ео, s. Эта задача может быть решена так же, как и в случае с уравнением (1.14), т.е. с использованием шагового метода при задании значений и т. [c.33]