Разложение периодической функции в ряд Фурье

Уравнение (IV. 12), связывающее структурные факторы с функцией электронной плотности р х, у, г), идентично стандартной формуле в теории анализа Фурье, в соответствии с которой проводится разложение периодической функции на ее гармонические компоненты. Функция р х, у, z) — периодическая функция в трехмерном пространстве в силу трансляционной симметрии кристалла, и поэтому ее гармонические компоненты также будут трехмерными. Целые числа h, к ж I будут играть роль частот колебаний в направлении каждой из трех осей решетки. Уравнение (IV.12) показывает, что структурные факторы суть трехмерные гармонические компоненты электронной плотности в кристалле. [c.778]

РАЗЛОЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ В РЯД ФУРЬЕ [c.301]

Формы разложения периодической функции в ряд Фурье [c.305]

Путем использования известного математического приема — разложения периодической функции в тригонометрический ряд (ряд Фурье) — можно эту формулу обернуть , т. е. выразить электронную плотность в функции структурных амплитуд отражений (стр. 99). [c.181]

Во избежание неясностей, которые могут возникнуть у неподготовленного читателя, и для облегчения пользования литературой по рентгеноструктурному анализу в следующем параграфе вопрос о разложении периодических функций в ряды Фурье будет рассмотрен в возможно более простой и общей форме. [c.301]

Определение среднего индикаторного давления двухтактного газового двигателя. В тех случаях, когда индикаторные диаг-граммы сняты при помощи датчиков и осциллографов (развернутая индикаторная диаграмма), графо-аналитическое построение диаграммы по ходу поршня и определение рг планиметрированием сопряжено с больщой затратой времени. С достаточной точностью эта величина может быть получена аналитически путем разложения периодической функции р = [ а) в ряд Фурье, где р — давление в цилиндре, а — угол поворота коленчатого вала, отсчитываемый от верхней мертвой точки. [c.274]

Теорема о разложении периодических функций в ряды Фурье используется в структурном анализе кристаллов для решения двух задач [c.301]

При взаимодействии рентгеновских лучей с кристаллом происходит их рассеяние на электронах атомов, составляющих кристаллы. Кристалл можно рассматривать как непрерывную среду с периодически повторяющимся трехмерным распределением электронной плоскости, к-рая, следовательно, м. б. разложена в ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье функции электронной плотности р в точке элементарной ячейки с координатами (х, у, z) имеет вид (для кристаллов с центром симметрии) [c.330]

Ряд Фурье дает разложение периодической функции по тригонометрическим функциям. Это разложение может быть обобщено и на случай непериодической функции. Нестрогий, но наглядный путь к получению разложения Фурье непериодической функции состоит в применении предельного перехода при Тоо. Действительно, непериодическую функцию можно рассматривать как предельный случай периодической функции при неограниченно возрастающем периоде. Возьмем формулу (2.7) и подставим в нее значение из (2.8) [c.15]

Коэффициенты и определяемые по этим формулам, являются коэффициентами Фурье функции fix), а ряд (1.3) с этими коэффициентами - рядом Фурье fix). Ряд Фурье дает разложение периодической функции по тригонометрическим функциям. [c.11]

Ряд Фурье дает разложение периодической функции по тригонометрическим функциям. Это разложение можно обобщить и для случая непериодической функции, рассматривая ее как предельный случай периодической функции при неограниченно возрастающем значении периода, т.е. когда промежуток (-/, /), в котором изучается ряд Фурье, стремится к (-00, оо) - случай, когда I Рассмотрим формулы для этого случая [40]. [c.13]

Здесь Gf — набор функций ojy - набор целых частот д G (О, 2я). Варьирование параметров с различными частотами приводит к тому, что кривая, параметрически задаваемая уравнением (5.72), проходит как угодно близко к любой наперед заданной точке области il. В этом случае функция tp становится периодической от д на интервале (О, 2гг) и для нее могут быть рассчитаны коэффициенты разложения в ряд Фурье, которые и характеризуют чувствительность к каждому из параметров. [c.159]

Альтернативный метод представления сложной функции состоит в том, чтобы выразить ее через более простые функции, табличные значения которых хорошо известны. Это стандартный математический прием, примером которого служит фурье-разложение сложных, но периодических функций. [c.86]

При периодических смещениях изображения входного растра относительно выходного амплитуда переменной составляющей светового потока Ф ер в первом приближении будет равна половине разности крайних значений, которые принимает световой поток при этих смещениях точное значение амплитуды можно получить разложением в ряд Фурье функции, представляющей зависимость потока Ф от времени. Когда амплитуда смещений входного растра [c.365]

Обе формы записи разложения в ряд Фурье [уравнения (8) и (9) ] полностью определяют периодическую функцию / (т), если заданы все амплитуды Л [53, 63]. [c.16]

Переходим к замечанию, касающемуся диэлектрической постоянной и поляризуемости в общем случае деформированного кристалла. Хотя диэлектрическая постоянная при этом не остается периодической функцией координат, но сохраняется условие (11.2), можно приближенно принимать 8 (г) экспоненциальной функцией в каждой системе т отражающих плоскостей. Для поляризуемости остаются в силе формулы (2.24), (2.34) и (2.35). В разложении Фурье (2.30), в соответствии со сделанным замечанием, учитываем (11.11). Таким образом, мы записываем [c.301]

Остановимся теперь на виде потенциальной функции для поворотов многоатомных групп относительно плоскостей бензольных ядер. Заранее известно только, что она должна быть периодической, поскольку при полном повороте группы (360°) энергия остается неизменной. Кроме того, эта функция четная, ибо повороты в две противоположные стороны энергетически эквивалентны. Разложение четной периодической функции в ряд Фурье дает [c.202]

Разложение в ряд Фурье периодической функции двух и трех переменных [c.308]

В общем случае для молекулы периоды (и частоты) разных движений, указанных выше, не будут совпадать и вектор дипольного момента системы будет являться, кратно-периодической функцией времени. В таком случае проекции вектора дипольного момента [,1х, (Ху, [Xz могут быть разложены в кратно-периодические ряды Фурье. Например, для разложение будет иметь вид [c.288]

Это линейное уравнение, в котором коэффициент А является периодической функцией от I и может быть разложен в ряд Фурье. [c.9]

Остановлюсь на вопросе, имеющем принципиальное значение, хотя практически он может быть обойден. Можно ли для любой непериодической функции найти разложение, аналогичное ряду Фурье для периодической функции (т. е. разложение на синусы и косинусы), представляющее функцию на всем бесконечном интервале [c.202]

Это — обычный ряд Фурье по синусам. Постановка задачи здесь несколько другая, чем при разложении в ряд Фурье периодической функции. [c.394]

Известно, что всякую периодическую функцию можно разложить в ряд Фурье. Здесь же речь идет о разложении функции в интервале от х = 0 до х = 1. Если X будет расти за пределами интервала (О,/), то функция, представляемая рядом Фурье (9), будет повторяться периодически (рис. 157), но здесь это для нас не интересно. [c.394]

Спектральные методы используют разложение по фурье-гармоникам. В этом случае каждая базисная функция описывает, по сути, систему когерентных вихрей, занимающую все пространство. В таком представлении очень просто описать вихрь, занимающий всю область, или периодическую систему вихрей - и в том, и в другом случае достаточно одной базисной функции. Однако, если требуется описать отдельный вихрь, занимающий малую часть рассматриваемой области, то потребуется весь гармонический ряд. [c.72]

Существует ряд приборов, позволяющих осуществить разложение по Фурье. Если начертить периодически повторяющуюся функцию, то определенные приборы — типа планиметра — позволяют последовательно определить ее коэффициенты Фурье. С помощью этих приборов нельзя вычислить бесконечное число членов, но для применений всегда достаточно конечного числа. Есть, например, приборы, вычисляющие 6 коэффициентов. Прибор Майкельсона дает 120 коэффициентов 60 при синусах и 60 при косинусах. Он позволяет проделать и обратную операцию суммировать функцию по заданным коэффициентам разложения Фурье. Прибор Майкельсона дает сумму Фурье 5 бО- Это — приближение, и ему соответствует, конечно, непрерывная кривая. [c.37]

Одной из возможностей увеличения W является переход к сканированию спектра. В этом случае тепловой дрейф менее опасен и допустимо использование узких по сравнению с изображением линий выходных щелей. В. В. Налимов, В. В. Недлер и Н. А. Аракельян 12] дополнили сканирующим устройством фотоэлектрический стилометр ФЭС-1. Они заставили призменный столик стилометра периодически колебаться с частотой 0,13 гц, одновременно в течение длительного времени регистрировали интенсивность излучения падающего на приемник света через выходную щель стилометра, и таким образом получали группу регистрограмм аналитической линии и примыкающего к ней участка фона. Поскольку интенсивность как линии, так и фона непрерывно флуктуирует во времени, регистрограммы можно считать случайными функциями. Естественно, что уже простое наложение отдельных регистрограмм друг на друга способствует повышению чувствительности анализа, так как в этом случае профиль линии и фона обосновывается большим количеством информации. Гораздо выгоднее, однако, предварительно разложить каждую из регистрограмм в ряд Фурье и усреднить соответствующие коэффициенты ряда по всем регистрограммам. Селективное возрастание одного или нескольких коэффициентов — один из наиболее чувствительных индикаторов присутствия в спектре аналитической линии. Разложение в ряде Фурье—весьма трудоемкая операция. Приемлемые затраты времени достигаются только при выполнении всех математических операций на электронно-счетной машине. При использовании далеко несовершенной установки Налимову, Недлеру и Аракельян удалось повысить чувствительность определения марганца в окиси кремния на два порядка. [c.21]

Функции Блоха фк (г) = (г)е " делокализованы п кристаллу, так как они представляют собой модулированную плоскую волну. Соотношения (2.38) можно рассматривать как разложение в ряд Фурье функций ф (г), периодических в к-пространстве коэффициентами этого разложения и являются функции Ванье (2.39). [c.133]

Если структура достаточно сложна, чтобы использовать метод проб и ошибок, то для ее расшифровки применяют гармонический метод. В этом случае представляют электронную плотность в виде периодической функции расстояния от начала координат (разложение в ряд Фурье). На рис. 4.8 показано, как такое суммирование дает картину распределения электронной ллотности для простой липейпой трехатомной молекулы. [c.54]

При анализе отклонений формы и расположения используют разложение в ряд Фурье уравнения, определяющего смещение инструмента, причем члены ряда Фурье характеризуют отклонение размера (К = 0), расположения (X = 1), формы (К = 2, 3,...). Разложение можно выполнить в том случае, если смещение Аг и значения ряда параметров д, изменяются по некоторму произвольному, но периодическому закону, т. е. являются функциями угловой координаты точек профиля поперечного сечения обрабатываемой поверхности. Считаем, что это условие выполняется тогда [c.578]

Чисто линейчатый спектр, соответствующий разложению в ряд Фурье, существует только у строго периодических функций. Во всех других случаях краевьЕс эффекты временных функций приводят к возникновению полосовых спектров. [c.66]

Закон изменения выходной величины у при входном сигнале (6 29) будет периодическим, но не гармоническим, так как уравнение (6.28) является нелинейным. Разложим нелинейную функцию В правой 4SQTH уравкевйя (6, i ) е ряд Фурье и удержим в этом разложении только те члены, которые соотЕетствуют постоянной составляющей выходной величины н составляющей, изменяющейся с частотой ), так называемой первой гармоникой. Тогда с точ- [c.187]

Если же Ау фавнительно велика, как в рассматриваемом здесь случае, то функция r(t) не будет синусоидальной, а поведение материала нельзя описать с помощью линейной теории вязкоупругости. Для решения этой задачи раньше обычно использовали метод разложения отклика, т. е. изменения напряжения во времени, в ряд Фурье [5]. Применение такого подхода удобно для представления экспериментальных данных, но неприемлемо, если ставится задача интерпретации физических изменений, происходящих в материале на протяжении цикла при периодическом деформировании образца. [c.49]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология