Координаты точек в элементарной ячейке

Положение точек в решетке может быть описано не только с помощью понятия элементарной ячейки , но также и указанием набора координат каждой точки. На рис. 10.2 точка О выбрана в качестве начала отсчета, а положение точки К определяется в координатных осях а — Ь координатами 1,0. Точки элементарной ячейки J, К, Ь, М имеют координаты 3,0, 4,0, 3,1 и 2,1. (Предполагается, что единицы измерения длины вдоль каждой из осей аи Ь совпадают с соответствующими размерами элементарной ячейки.) [c.170]

При взаимодействии рентгеновских лучей с кристаллом происходит их рассеяние на электронах атомов, составляющих кристаллы. Кристалл можно рассматривать как непрерывную среду с периодически повторяющимся трехмерным распределением электронной плоскости, к-рая, следовательно, м. б. разложена в ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье функции электронной плотности р в точке элементарной ячейки с координатами (х, у, z) имеет вид (для кристаллов с центром симметрии) [c.330]

На всех диаграммах отсчет ведется относительно начала координат, находящегося в верхнем левом углу. Точка, к которой смещается ось от начала координат, находится на грани элементарной ячейки, перпендикулярной проходящей через нее оси. [c.363]

Собственная ось второго порядка. Рис. 17.3,Л демонстрирует собственную ось второго порядка, параллельную Ь при л =1/4 и 2 = 0, месторасположение которой обычно обозначают символом (1/4, О, 0). В случае решеток все операции симметрии описываются произведением операций точечной группы по отношению к осям элементарной ячейки а, Ь, с и операции трансляции. Например, операция симметрии второго порядка над точкой 5 (рис. 17.3,Л) описывается символом 2 [1/2, О, 0], где 2 подразумевает операцию вращения второго порядка вокруг оси Ь, а квадратные скобки обозначают трансляцию в направлениях а, Ь и с соответственно. Операторы второго порядка, если поворот осуществляется вокруг осей, параллельных а и с, будут обозначаться символами 2а и 2с. Дробные обозначения координат даны в круглых скобках. [c.363]

В результате расчета, который очень трудоемок, так как число значений может достигать нескольких тысяч, можно получить значение электронной плотности р хуг) в любой точке-элементарной ячейки. Координаты максимумов электронной плотности являются координатами атомов. [c.73]

Для описания положения любой точки внутри элементарной ячейки, т. е. базиса, пригодно то же уравнение, однако значения т, та р в этом случае будут дробными числами, характеризующими значения координат точек по отношению к нулевой точке в долях от величины описывающих данную ячейку векторов а, Ь, с (ее осей). Координаты точек элементарных ячеек прежде проставлялись в двойных квадратных скобках [[ ]], однако в современной литературе, как правило, пользуются круглыми. [c.74]

Координаты этих точек получаются путем подстановки у = 1/4 в общие уравнения, приведенные выше.) Эти точки носят название особых при симметрии т. Они могут существовать (см. разд. 17.7в), если только молекулярная точечная группа включает в качестве элемента симметрии зеркальную плоскость и если последняя совпадает с такой же плоскостью элементарной ячейки. [c.372]

Рис. 82. Различные способы выбора нулевой точки элементарной ячейки и направления осей координат.

Расчет разности фаз для любого отражения hkl между началом координат и некоторой точкой (х, у, z) в ячейке прост. (Здесь х, у и z выражаются в относительных координатах, т. е. А/а, А/Ь, А/с.) Отражение hkl обусловлено набором плоскостей, расположенных таким образом, что разность фаз между любой парой соседних плоскостей составляет 2я рад. Это означает, что для отражения hkl ребра элементарной ячейки характеризуются разностью фаз 2пк, 2пк и 2п1 рад, причем каждое ребро делится плоскостями отражения на к, к п I частей. Тогда разность фаз между точками (х, у, z) и (О, О, 0) для отражения kkl представляет собой сумму координатных фаз, т.е. [c.392]

Мы рассмотрели понижение симметрии, вызванное локальным полем в определенном месте. Теперь надо учесть тот факт, что может иметь место взаимодействие между различными молекулами элементарной ячейки, т. е. мы должны перейти к фактор-групповому анализу [108]. Он включает в основном рассмотрение координат симметрии элементарной ячейки [уравнение (7)]. Построение этих координат симметрии полностью аналогично построению координат симметрии молекулы из ее внутренних координат. В рассматриваемом примере внутренними координатами являются нормальные координаты молекул в четырех местах ячейки. Симметрией, которую нужно использовать, является, конечно, симметрия фактор-группы. Таблица корреляций дает следующий результат каждому колебанию типа Аи молекулы, находящейся в выбранном месте, будут соответствовать четыре колебания элементарной ячейки, по одному каждого из типов Аш, Вы, Вги. и 5за. Таким же образом каждое колебание типа Ag дает четыре колебания элементарной ячейки симметрии Aig, Big, Bzg и Bag. Из этих колебаний элементарной ячейки те колебания, которые входят в класс Biu с дипольным моментом перехода, параллельным оси с, будут активны в инфракрасном спектре и так далее. Если продолжить рассмотрение в качестве примера колебания Vjg ( lu), которое неактивно в спектре газовой фазы, но активно в спектре кристалла, то оно расщепляется на четыре колебания элементарной ячейки типов Ац, В , Вчи. и В ,, из которых три последних будут активны в инфракрасном спектре. Хотя всего насчитывается Nt колебаний кристалла, возникающих из колебания 12, однако активны в спектре только эти три колебания. Колебание еы), активное и вырожденное в спектре газа, активное и дающее дублет в приближении локальной симметрии, расщепляется далее на четыре колебания в каждом компоненте дублета, или всего на восемь колебаний. Из этих восьми колебаний шесть (2Вы, 2В211, 2Взи) активны в инфракрасном спектре. Вновь следует подчеркнуть, что величины расщеплений не могут быть предсказаны из рассмотрения симметрии. При этом может наблюдаться случайное вырождение, если ширина щели прибора или естественная ширина линий превышают расстояние между линиями. [c.586]

Рассмотрим плоскость, где у = 1/4 (а х и г имеют произвольные значения). Видно, что для восьми операций Рпта в этой плоскости находятся только четыре связанные по симметрии точки. Если бы существовали лишь четыре молекулы в каждой элементарной ячейке симметрии Рпта, то они могли бы иметь следующие координаты [c.372]

Распространяя это обсуждение на случай трех измерений, можно сказать, что любая точка обратной решетки, лежащая на сфере отражения (определяемой длиной волны, направлением падающего пучка и началом координат элементарной ячейки), в принципе приводит к дифрагированному пучку, выходящему из кристалла в направлении, определяемом центром сферы и точкой пересечения о. р. со сферой. Отсюда немедленно следует, что по мере уменьшения Х (т.е. по мере увеличения энергии рентгеновских лучей) размер сферы растет и при пересечении сферы обратной решеткой наблюдается больше отражений. Отметим, что о. р. вращается вместе с кристаллом вокруг начала координат, которое находится на поверхности сферы отражения, а не в центре ее. Таким образом, для данной кристаллической системы можно получить больше информации. В действительности оказывается, что число возможных отражений N выражается как [c.381]

Так, символ Р 6//77/7 С указывает, что ячейка гексагональная примитивная, перпендикулярно оси 6 и ребру ячейки проходят плоскости зеркального отражения щ, а перпендикулярно большой диагонали - плоскость скользящего отражения с (отражение-(-смещение на 1/2 трансляции вдоль оси I ). Координаты точек в элементарной ячейке взаимосвязаны. Точки, получающиеся одна из другой действием элементов [c.60]

Координаты точек в кристаллическом пространстве даются в долях параметров ячейки, координатные оси направлены вдоль ребер ячейки. При преобразовании и выборе ячейки, не удовлетворяющей условиям, указанным для решеток Браве, изменяется как символ пространственной группы, так и координаты атомов в ячейке, хотя пространственное расположение атомов и набор элементов симметрии при этом не меняются. В ряде случаев изменение порядка, в котором выбраны оси решетки, приводит к изменению символа пространственной группы. Это имеет место в группах ромбической и моноклинной сингонии. Б ромбической сингонии обозначение трех векторов элементарной ячейки через а, Ь, с является произвольным и обозначения их могут быть выбраны в любом порядке Ьас, ab, сЬа и т.д. Поэтому иногда в оригинальных работах приводится символ пространственной группы, отличающийся от табличного, хотя пространственная группа одна и та же. [c.61]

Преобразование координат точек при переходе к новой элементарной ячейке [c.188]

Аналогичным образом вектор, проведенный из начала координат элементарной ячейки в любую ее точку, можно представить как [c.8]

Принадлежность кристалла к той или иной пространственной группе устанавливается исследованием его структуры методами рентгено-структурного, электронографического и нейтронографического анализов [8, 9]. После того как рентгенограмма (или элек-тронограмма) получена и проиндицирована, можно установить, от каких плоскостей кристалла рефлексы отсутствуют. Знание закономерностей погасаний позволяет определить так называемую рентгеновскую группу, включающую одну или несколько федоровских групп. Полное определение атомной структуры кристалла возможно только после определения интенсивности рефлексов, так как значения координат частиц в элементарной ячейке влияют на величину структурной амплитуды, определяющей интенсивность рассеяния. [c.21]

Рассмотрим элементарную ячейку простого куба и определим ее основные характеристики (рис. 59, а). Важнейшей характеристикой куба является величина его ребра а. Однако не всегда расстояние между его плоскостями d, заполненными материальными частицами и вызывающими дифракцию и интерференцию рентгеновских лучей [уравнение (4.1)], равно величине ребра d а. В кубе можно провести несколько плоскостей (рис. 59, б и в). Их индикация определяется числом пересечений с осями координат это плоскости 100, ПО и 111. Если рентгеновские лучи падают перпендикулярно плоскости 100 (рис. 60, а), то они встретят 2 плоскости и расстояние между плоскостями будет равно юо если перпендику- [c.100]

Рассчитаем величину нелинейного расширения, отнесенную к каждой элементарной ячейке Ь, расположенной в точке с координатой г. Из выражения (137) получим [c.96]

В кристаллах приходится иметь дело с трехмерными решетками и элементарными ячейками. В большинстве кристаллов три оси а, Ь и с, используемые для описания кристаллической решетки и элементарной ячейки, могут быть совмещены с осями X, у и 2 декартовой системы координат. На рис. 10.3 изображено простейшее пространственное расположение точек, находящихся на одинаковом расстоянии друг от друга. В данном случае элементарная ячейка описывается восемью точками О, Я, Б, Т, II, V, Q. Точка 5 имеет координаты 1,0,1, а точка Ь— координаты 2,1,1. Углы между осями рассматриваемой решетки составляют 90° в таком случае указывается, что ос = 3 = У = 90 , а если а = Ъ = с, то расположение точек представляет собой простую кубическую систему. [c.170]

Принято изображать элементарную ячейку кристалла в декартовой системе координат, начало которой располагается в точке 0,0,0, находящейся в левом нижнем углу передней грани ячейки. Изобразите элементарную ячейку алмазоподобной структуры (кубическая система), в которой атомы занимают положения 1,0,0 0,1,0 0,0,1 1,1,1 и —, [c.184]

На рис. 1 показана элементарная ячейка кристалла, в которой узлы решетки А, В, С, В, Е, Р и С находятся в углах куба. Из плоскостей представляют интерес для дальнейшего изложения только те, на которых лежат узлы решетки их можно разделить на группы в соответствии с пересечениями плоскостей с прямоугольными осями X, У и 2. Различные плоскости. обозначаются индексами, представляющими обратные величины длин отрезков, отсекаемых плоскостями на осях координат Ох, Оу и Oz, причем за единицу измерения принимают длину ребра ячейки. Таким образом, плоскость, на которой лежат точки А,Е,СиЕ, пересекает ось Ох в точке А, а другие оси — в бесконечности поэтому она называется плоскостью (100). Точки Е, С, В ш Р лежат на одной из плоскостей (011), а точки Л, [c.473]

Всякую структуру кристалла удобно описывать математически, если принять за направление координатных осей системы X, У и Z ребра элементарной ячейки. Тогда положение каждого атома в пространстве можно описать координатами xyz, атом принимается за математическую to i-ку, и расстояние между атомами является иа самом деле расстоянием между их центрами тяжести или между точками федоровских правильных систем. [c.131]

Положение атома в элементарной ячейке задается его координатами х, у и 2 вдоль ребер элементарной ячейки а, Ь я с (следует отметить, что здесь X, у п 2 яе являются декартовыми координатами, а измеряются в направлениях ребер элементарной ячейки). Атом в вершине угла элементарной ячейки имеет координаты О, О, О и объемноцентрирован-ное положение 72, 7а, 72- Если атом находится в точке х, у и г, то он должен также находиться в каждой другой точке, эквивалентной первой при операциях пространственно-групповой симметрии. Например, если в объемноцентрированной решетке атом находится в точке х, у, г, имеется эквивалентный атом в точке Х+У2, У+Чи, 2+72- В кристалле узел решетки необязательно занят атомом или молекулой, но он представляет повторяюшуюся единицу. [c.570]

Взаимосвязь между начальными фазами. Фазовые инварианты. Вполне понятно, что начальные фазы отражений зависят от выбора начала координат. Если начало сместить на вектор Го = л оа+уоЬ+2 оС, то радиус-векторы всех атомов элементарной ячейки измеиятся на ту же величину и вместо Г/ = л /а+У/Ь+2/С будут иметь значения Г/ = Г/—Го. Начальная фаза луча, рассеянного в направлении НЫ любым /-М атомом, равная, согласно (26), [c.121]

Верхняя часть рисунка (/) дает ряд элементарных кубических ячеек, в которых черные и белые кружки отвечают ионам противоположного знака. Структура ячейки s l была рассмотрена выше (рис. Х]]-3). Складыванием ряда таких ячеек друг с другом (по плоскостям куба) может быть построен весь кристалл s l. Если ограничиться в нем объемом только самой элементарной ячейки, то последняя заполнится ионами так, как это показано в нижней части (//) (рис. ХП-4). Подобные заполненные ячейки наряду с их характеристиками (углами, длинами ребер и координатами структурных элементов) и приводятся в литературе. [c.379]

На рис. 1 показана элементарная ячейка кристалла, в которой узлы решетки А, В, С, D, Е, F и G находятся в углах куба. Из плоскостей представляют интерес для дальнейшего изложения только те, на которых лежат узлы решеткп их моншо разделить на группы в соответствии с пересечениями плоскостей с прямоугольными осями X, Y п Z. Различные плоскости. обозначаются индексами, представляющими обратные величины длин отрезков, отсекаемых плоскостями на осях координат Ох, Оу и Oz, причем за единицу измерения принимают длину ребра ячейки. Таким образом, плоскость, на которой лежат точки А, F, G и Е, пересекает ось Ох в точке А, а другие оси — в бесконечности поэтому она называется плоскостью (100). Точки Е, С, В ш F лежат на одной из плоскостей (011), а точки А, и С — на плоскости (111). Ясио, что расстояние между соседними плоскостями (100) равно ребру ячейки I и что расстояния между двумя соседними плоскостями других классов находятся в следующих соотношениях [c.471]

Координаты атомов в кристалле могут быть выражены через соответствующие параметры кристаллической решетки. Обычно считают, что атомы, находящиеся внутри некоторой данной элементарной ячейки, имеют атомн1.1е коордниаты от О до 0,999. Если координаты какою-либо атома отрицательные или >1. то такой атом принадлежит соседней элементарной ячейке. Рассмотрим рис. Л4.1, где изображены четыре элементарные ячейки. Например, выделим правую верхнюю элементарную ячейку начало ко- [c.291]

Рассмотрим рис. А7.2. Пусть одна и та же точка X будет центром решетки как в реальном, так и обратном пространстве. Пусть также ось х кристаллической решетки вертикальна, Никаки г предположений относительно величины параметра а элементарной ячейки делать нет необходимости. Показаны таюке две плоскости (/ и 2) одного семейства плоскостей hkl. Плоскость / про.ходит через начало координат. Плоскость 2 пересскает ось л- в точке 5. По определению индексов Миллера имеем [c.297]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология