Некоторые методы решений уравнений квантовой механики

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [c.128]

Обе книги могут быть полезными для преподавания предметов Математика и Физика , так как выделяют те разделы этих предметов, которые важны для химиков. Так, кроме дифференциального и интегрального исчисления химику, активно использующему физические методы в своей работе, необходимы разделы линейной алгебры, теории групп и интегральных преобразований. Для решения обратных задач методов особое значение имеют вычислительные методы. С точки зрения преподавания физики важно уделить внимание вращательному движению, магнитным явлениям и, конечно, квантовой механике, ее приближенным методам решения уравнения Шредингера, особенно методу теории возмущений. Некоторые задачи физического практикума также могут ориентироваться на дальнейшее использование в практике физических методов исследования в химии. [c.264]

Современная теория строения молекул многим представляется лишь разделом вычислительной математики, задача которого состоит в решении определенных уравнений квантовой механики. Данная книга убедительно показывает, что это представление ошибочно. Разумеется, авторы не пытаются обойтись без квантовой механики, ее понятий и принципов, но они и не требуют, чтобы читатель свободно владел предметом — достаточно иметь о нем некоторое общее представление. На основе нескольких фундаментальных (и имеющих четкий смысл) положений теоретической физики авторы строят систему химических принципов и понятий, объясняющих, как устроены молекулы и от чего зависят их свойства и взаимодействие. При этом оказалось возможным не уклоняться от обсуждения сложных вопросов и компактно излагать основные методы и результаты современных квантовохимических расчетов, хотя сами по себе эти расчеты весьма громоздки и обычно изложение их принцип нов действительно напоминает учебник по программированию, [c.5]

В приведенных выше цитатах вскрыты большие трудности, стоящие перед химией. Химия до сих пор ставит перед нами много нерешенных существенных проблем, которые нелегко разрешить с помощью экспериментальных методов. С другой стороны, в этих цитатах содержится утверждение о существовании теории, способной решить любой химический вопрос. К сожалению, это утверждение делается в принципе , а не в действительности , а это отличие никогда еще не было так существенно. Математические трудности основных уравнений квантовой механики совершенно закрыли путь к полному и точному решению всех химических задач, за исключением самых простейших. В этой главе мы рассмотрим, в чем состоят некоторые из этих трудностей. [c.331]

Хотелось бы думать, и некоторые действительно думают, что волновая механика дает в основном решение всех теоретических проблем химии и физики. Однако в действительности это не так. Независимо от того, как далеко может зайти квантовая механика в этом направлении, всегда возникает практический барьер. Обычно можно написать дифференциальное уравнение для какого-либо частного случая, но результирующее дифференциальное уравнение редко разрешимо без применения приближенных методов. Дело в том, что существует очень мало квантовомеханических задач, которые можно решить без какого-либо приближения, и водородоподобный атом — это одна из них. Сам по себе этот факт подчеркивает важность проблемы атома водорода. К тому же в этой проблеме есть много такого, что будет использовано в дальнейших главах. [c.58]

Природа ковалентной связи значительно сложнее, чем ионной, и объясняется лишь на основе квантовой механики причем строго количественное исследование возможно пока что для простейших молекул (Нг, Н2 и некоторых других). Для сложных соединений решение уравнения Шредингера производится с помощью приближенных методов, дающих чаще всего только качественные результаты. [c.21]

В этой и следующей главах мы рассмотрим некоторые простые системы, для которых можно дать строгое решение уравнения Шредингера, определяющего стационарные состояния. Такие системы являются идеализацией систем, встречающихся в природе. Исследование простых идеализированных систем позволяет более полно понять методы квантовой. механики. Кроме того, полученные результаты имеют и самостоятельный интерес, так как они в некотором приближении отражают свойства соответствующих реальных систем. [c.108]

Точное решение уравнения Шредингера, определяющего энергию стационарных состояний систем, возможно только для некоторых простейших потенциальных полей, соответствующих идеализированным системам (см. гл. IV и VI). При исследовании реальных атомных и ядерных систем приходится прибегать к приближенным методам вычисления собственных значений и собственных функций операторов Гамильтона. В последнее время вследствие появления электронных вычислительных машин большое значение приобретают численные методы решения задач квантовой механики. Такие методы излагаются в специальных руководствах. В этой книге мы рассмотрим только аналитические методы приближенного отыскания собственных значений и собственных функций реальных систем, не очень сильно отличающихся от идеализированных систем, допускающих точное решение. В этом случае приближенные методы решения могут быть сведены к вычислению поправок к точному решению. Общий метод вычисления таких поправок носит название теории возмуи- ений. [c.211]

Из сказанного выше следует, что всегда можно упростить решение уравнений метода МО ЛКАО, выбирая оси декартовой системы координат так, чтобы разные атомные орбитали принадлежали к различным типам симметрии, или образуя простые комбинации атомных орбиталей, которые преобразуются по определенным типам симметрии. Аналогично можно упростить и другие задачи квантовой механики, в которых требуется вычислять гамильтониановские интегралы. Таким образом, учет симметрии полезен при решении квантовомеханических задач, хотя и не заменяет решения уравнений Шрёдингера. Однако игнорирование соображений симметрии при решении уравнения Шрёдингера приводит к неоправданному увеличению объема вычислений. Даже если пренебречь этим обстоятельством, было бы ошибкой не учитывать тех упрощений, которые может дать учет симметрии при анализе задачи. Иллюстрацией этого служит следующий раздел, в котором будут даны применения некоторых перечисленных выше правил. [c.153]

При использовании квантовой механики для решения проблем химической связи приходится поневоле прибегать к приближенным методам из-за чрезвычайной трудности точного решения волнового уравнения. Существуют два различных приближенных подхода. В методе валентных связей сохраняется представление о молекуле как совокупности атомов, соединенных определенными свя зями, и к этим связям в полуколичественной форме при лагаются представления о перекрывании атомных орбит С другой стороны, в методе молекулярных орбит отбрасы вается сама идея о химических связях. Вместо этого мо лекулу рассматривают как расположение атомных ядер создающее потенциальное поле, в котором движутся элек троны. Затем строятся возможные молекулярные орбиты (также на основании полуколичественного рассмотрения), аналогичные атомным орбитам электронов, находящихся в поле одного ядра. Недостатком метода молекулярных орбит является то, что в случае многих молекул сильно переоценивается молекулярный характер орбит. Как уже указывалось, для многих орбит вероятность нахождения электронов в любых областях, кроме участка около некоторого данного атома, в действительности чрезвычайно мала. Вследствие этого было введено представление о локализованных молекулярных орбитах. На чисто качественном уровне проводимого обсуждения это соответствует такому же положению, как идея валентных связей из перекрывающихся атомных орбит. [c.123]

В начале развития квантовой механики компьютеры были недоступны, но основные уравнения, связывающие гамильтонианы и волновые функции, уже были поняты. Было также ясно, что если описывающий молекулу водорода гамильтониан легко написать, то вычислить волновую функцию не так просто. Некоторые исследователи надеялись, что прогресс в компьютерной технике устранит эти затруднения. Другие разыграли иную карту и начали разрабатывать приближенные методы расчета, начиная с метода молекулярных орбиталей Хюккеля (МОХ) через полуэмпири-ческие к более и более сложным методам. Интересно отметить, что в этой истории исследователь, достигший наибольшего успеха, был не тот, кто использовал наибольшее количество машинного времени... В результате при решении некоторых проблем вполне правдоподобные заключения делаются с помощью метода МОХ, для других проблем приходится использовать более сложные расчеты. Читатель поймет, что программа SOS, приспособленная для работы на микрокомпьютере [174], сравнима с методом МОХ. Следует помнить, что программа LHASA, занимающая по своим требованиям к компьютеру промежуточное положение, реализована на компьютере VAX-11/750, цена которого около 95 ООО долларов, в то время как программа SOS работает на Apple II, стоившем примерно в 90 раз меньше. В защиту полу-эмпирических расчетов сошлемся также на мнение Дьюара [346], что метод MNDO дает результаты, за немногими исключениями сравнимые с результатами, полученными наиболее сложными из известных методов, требующих по крайней мере в 1000 раз больше машинного времени. [c.76]

В этой главе мы рассмотрим при помощи методов квантовой механики некоторые простые системы, для которых можно дать строгое решение уравнения Шредингера. Эти системы являются идеализацией систем, фактически встречающихся в природе, но их рассмотрение не лишено значения, так как они позволяют глубже подять методы квантовой механики и дают результаты, полезные при обсуждении многих проблем, интересных с точки зрения физики и химии. [c.94]

Изложенный выше метод применим не всегда. В некоторых случаях полученные таким образом решения не удовлетворяют граничным условиям, поставленным для данной задачи. Часто коэффициенты Р, О, 5, Т или и в уравнении (3-1) содержат переменные в таких комбинациях, что их нельзя отделить одну от другой. Однако иногда возможно преобразовать дифференциальное уравнение, пользуясь новой системой координат и таким образом получить уравнение, которое может быть разделено. К сожалению, как показали Робертсон и Эйзенхарт (см. [5] стр. 171), разделение переменных возможно только лишь для немногих общих типов уравнений, встречающихся в квантовой механике. Почти все из более сложных квантово-механических задач, представляющих интерес для химии, приводят к уравнениям, которые не относятся ни к одному из этих типов, так что метод разделения переменных не применим. Именно это обстоятельство, в большей степени, чем какое-либо другое, преграждает путь прогресса в строгом применении квантовой механики к химии и в точном предвычис-лении свойств химических систем. Тем не менее мы часто будем прибегать к этому методу при рассмотрении более простых задач, как, например, на стр. 45, 55, 65 [c.33]

Для исследования поставленных краевых задач для линеаризированных уравпений Навье — Стокса разработан специальный метод теории возмущений, основанный на разложении решения уравнений Навье — Стокса но собственным функциям непрерывного и дискретного спектров, свойственных конкретной исследуемой задаче. Представлешге искомого возмущения в виде суперпозиции некоторых элементарных возмущений (мод, квазичастиц), естественно, созвучно с общими методами, развиваемыми в современной теоретической физике (квантовой механике, физи1 е твердого тела, физике плазмы и т. п.). [c.255]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология