Динамическое программирование оптимизация

Применение метода динамического программирования для оптимизации процессов с распределенными параметрами или в задачах динамической оптимизации приводит к решению диф([)еренциальных уравнений в частных производных. Вместо решения таких уравнений зачастую значительно проще представить непрерывный процесс как дискретный с достаточно большим числом стадий. Подобный прием оправдан особенно в тех случаях, когда имеются ограничения на переменные задачи и прямое решение дифференциальных уравнений осложняется необходимостью учета указанных ограничений. [c.32]

Более сложная задача возникает при использовании метода динамического программирования для оптимизации процессов с байпасными потоками. Поскольку направление расчета противоположно направлению такого потока, при выборе оптимального управления на стадии, к которой он подводится, состояние этого потока, так же как и состояние выхода предшествующей стадии, необходимо исследовать во всем возможном диапазоне изменения его параметров. Другими словами, размерность задачи выбора оптимального управления изданной стадии увеличивается на размерность состояния байпасного потока. [c.297]

Вьиие уже была рассмотрена вычислительная процедура метода динамического программирования при оптимизации процесса, в котором размерность векторов состояния п управления < > на каждой стадии равна 1. Очевидно, что решение задачи может усложниться, если размерность вектора состояния гп или векторов управления г [c.259]

При оптимизации многостадийных процессов с рециркулируемыми потоками методом динамического программирования решение задачи облегчается тем, что направление вычислительной процедуры данного метода совпадает с направлением движения указанных потоков. Именно это обстоятельство и требует лишь незначительного усложнения общей расчетной процедуры оптимизации при наличии рециклов в процессе без изменения размерности решаемой задачи. [c.297]

Наконец, несколько работ было посвящено применению методов динамического программирования оптимизации сложных схем [c.11]

Важной характеристикой любой оптимальной задачи является ее размерность п, равная числу переменных, задание значений которых необходимо для однозначного определения состояния оптимизируемого объекта. Как правило, решение задач высокой размерности связано с необходимостью выполнения большого объема вычислений. Ряд методов (например, динамическое программирование и дискретный принцип максимума) специально предназначен для решения задач оптимизации процессов высокой размерности, которые могут быть представлены как многостадийные процессы с относительно невысокой размерностью каждой стадии. [c.34]

От недостатков общей схемы метода динамического программирования можно, однако, в значительной мере избавиться, используя аналитический метод поиска оптимума на каждой стадии. Именно этот способ будет применен к решению задач оптимизации цепочек реакторов, рассматриваемых ниже. Отметим, что основные расчетные формулы, которые получим, могут быть выведены не только с помощью метода динамического программирования, но и на основе дискретного варианта принципа максимума Понтрягина [18] или классических вариационных методов. [c.384]

Следует также отметить, что множители Лагранжа часто применяют и в других методах оптимизации в качестве вспомогательного средства, позволяющего упростить решение более сложных задач (подробно см. главы, посвященные изложению вариационного исчисления и динамического программирования). [c.139]

Решение задач оптимизации методом динамического программирования обычно проводится на цифровых вычислительных машинах и результаты всех промежуточных вычислений для первого этапа решения задачи обычно хранятся в памяти машины в форме таблиц, соответствующих соотиошениям [c.261]

Для оптимизации процессов с распределенными параметрами предпочтительнее все же оказывается принцип максимума, которому посвящена следующая глава. Однако всегда нужно учитывать воз-мо кность аппроксимации непрерывного процесса дискретным многостадийным процессом и пользоваться указанной возмо кностью для решения оптимальных задач невысокой размерности. Это обусловлено 1см, что метод динамического программирования представляет в распоряжение исследователя весьма удобную процедуру оптимизации многостадийных процессов, которая сравнительно легко программируется на вычислительных ма1[шнах. [c.319]

Пап этом величины ( > (>ч. А,.,), < + 1) ( A,. ) и и( + (X,, к..) определяются в результате однократного использования метода динамического программирования для оптимизации многостадийного процесса при заданных постоянных значениях и X.,. [c.303]

Основное преимущество рассмотренного метода по сравнению с методом динамического программирования состоит в том, что при вычислительном процессе не требуется запоминания в ЦВМ про- межуточных результатов счета на каждом шаге итерационного процесса. Однако динамическое программирование неизбежно обеспечивает онределение глобального экстремума, в то время как описанный метод позволяет находить лишь стационарное значение функции цели. Еслп же эта функция имеет не один экстремум, решение с помощью данного метода значительно усложняется, поскольку приходится исследовать всю область, где определен критерий оптимизации, для нахождения глобального экстремального значения. К тому же вид уравнений (VI,32) определяет безусловный экстремум функции цели, что не характерно для реальных ХТС, в которых всегда существуют ограничения технологического характера. [c.311]

Достоинства метода динамического программирования при решении оптимальных задач для процессов невысокой размерности неоспоримы, поскольку он принадлежит к числу немногих методов оптимизации, при применении которых полученное решение соответствует глобальному оптимуму. [c.319]

Приводимые ниже примеры иллюстрируют применение рассмотренных в этом разделе методов- Они будут полезны при оценке эффективности выбранного метода оптимизации. Вместе с тем иллюстрация применения некоторых методов, например, динамического программирования, дана при описании методов- [c.217]

Единый подход к решению широкого класса задач па разыскание экстремума функции большого конечного числа переменных дает теория динамического программирования Веллмана [7]. Сущность этой теории покажем на примере типичной задачи оптимизации, возникающей в химической технологии. Требуется найти оптимальный режим для последовательности N реакторов (или Л -стадийного аппарата), причем на каждой стадии варьируется М независимых переменных. Пронумеруем реакторы в обратном порядке, так что первый номер присваивается последнему, а N-й — первому по ходу потока реактору. Состояние потока на выходе п-го реактора обозначим индексом 71 в соответствии с этим исходное состояние потока обозначается индексом -/V 1 (рис. 1Х.З). Состояние реагирующего потока в общем случае описывается некоторым вектором X. Вектор X часто совпадает с вектором состава С в более сложных случаях, однако, компонентами вектора X могут быть, помимо концентраций ключевых веществ, также и температура потока, давление и пр. [c.381]

Рис. 15-21. Динамическре программирование а — оптимизация предпоследней ступени на основе обобщенной целевой функции б — оптимизация предпоследней ступени на основе локальной целевой функции этой ступени в — оптимизация ряда элементов процесса на основе локальных целевых функций отдельны ступеней г — общая схема динамического программирования.

Наряду с многоуровневыми методами для решения задачи оптимизации сложных ХТС можно также использовать методы дискретного динамического программирования и дискретного принципа максимума с применением двух рассмотренных алгоритмов координации, [c.235]

Метод последовательного конструирования, анализа и отбора вариантов, так же как и метод динамического программирования, рассмотренный ранее, основан на построении доминирующих последовательностей векторов поэлементного резерва ХТС [237]. По сравнению с методом полного перебора при использовании метода последовательного конструирования, анализа и отбора вариантов сокращается число просматриваемых векторов резерва. Однако для задач большой размерности данный метод также характеризуется значительными вычислительными трудностями. Поэтому для решения задач оптимизации надежности ХТС большой размерности рекомендуют использовать метод ветвей и границ, основанный на построении усеченного дерева вариантов решений [51, 157, 158, 242]. [c.207]

После того как подобным образом проанализированы все возможные переходы из рассматриваемой вершины, в соответствии с принципом динамического программирования из этих переходов выбирается переход с минимальной суммарной величиной критерия оптимизации, а в матрицах 8Н и ЕМ освобождаются дополнительно элементы, соответствующие расчету этой вершины. В тех случаях, когда оптимальный переход будет итеративным, переменные, по которым будут проводиться итерации, заносятся в список итерируемых переменных. Аналогичный анализ проводится для всех вершин этого этапа, после чего имеется для каждой вершины однозначный переход, на вершину последующего этапа. Затем. аналогично анализируются вершины — 2)-то этапа и т д. до первого этапа включительно. [c.601]

Когда технологическая топология ХТС характеризуется совокупностью последовательных, параллельных или обводных технологических связей, эффективными методами второго пути оптимизации являются динамическое программирование, принцип максимума Понтрягина и принцип декомпозиции Данцига — Вольфа. [c.295]

При рассмотрении задачи последовательной оптимизации метод динамического программирования позволяет разбить ее на несколько отдельных задач с меньшим числом переменных, что весьма облегчает вычисления в процессе решения. В частности, если ХТС имеет только последовательные технологические связи, задача совместной максимизации параметров может быть сведена к максимизации [c.309]

При решении задачи распределения с учетом быстрого изменения активности катализатора необходимо иметь в виду зависимость константы скорости реакции от времени. Это приводит к изменению задачи оптимизации, которая может быть сформулирована либо как задача вариационного исчисления, либо как задача, решаемая методом динамического программирования. При этом задача оптимизации решается для случая, когда [c.121]

Вернемся к рассматриваемой задаче. Поскольку на выбор управляющих воздействий наложено ограничение (4.63), то для решения задачи оптимизации методом динамического программирования введем неопределенный множитель X. Используя X, запишем выражения для оценок оптимальности каждого реактора каскада [c.344]

НОГО регулирования, сводящаяся к отысканию минимального значения интеграла (3,202), может быть решена вариационным методом, а в случае дискретного изменения потоков в зависимости от N — методами динамического программирования. Оптимизация потребления электроэнергии дает возможность сузить межступенные потоки в прямоугольном каскаде [3.209], чтобы приблизить пх к экономически оптимальному распределению Ь М). Поэтому она позволяет увеличивать КПД прямоугольно-ступенчатого завода. Хигаши [3.256] показал, что при сужении потока через каждые 50 ступеней КПД (3.204) завода, состоящего из трех прямоугольных участков, увеличивается от 0,937 до 0,97 (рис. 3.32) при сужении потока с шагом на уровне технологического блока (8—20 ступеней) КПД завода возрастает до 0,98—0,99. Сужение потока будет выравнивать значения Се для ступеней одного прямоугольного участка. Но вблизи головной и хвостовой части каскада потери работы разделения неизбежны. [c.149]

Динамическое программирование идеально приспособлено для решения задач оптимизации многостадийных процессов, особенно задач, в которых на каждой стадии имеется небольшое число пере-мепньгх. Однако при наличии значительного числа этих переменных, т. е. при высокой размерности каждой стадии, применение метода динамического программирования затруднительно вследствие ограниченных быстродействия и объема памяти вычислительных машин. [c.29]

Динамическое программирование (см. главу VI) служит эффективным методол решения задач оптимизации дискретных многостадийных процессов, для которых общий критерий оптимальности 01И1сьшается аддитивной функцией критериев оптимальности отдельных стадии. Без особых затруднений указанный метод можно распространить на многостадийные процессы с байпасными и рецир- [c.31]

Названием методы нелинейного программирования объединяется большая группа численных методов, многие из которых приспособлены для репгения оптимальных задач соответствующего класса. Выбор того или иного метода обусловлен сложностью вычисления критерия оптимальности и сложностью ограничивающих условий, необходимой точностью решения, мощностью имеющейся машины и т. д. Ряд методов нелинейного программирования практически постоянно используется в сочетании с другими методами оптимизации, как, например, метод сканирования (см. главу IX, стр. 551) в динамическом программировании. Кроме того, эти методы служат основой построения систем автоматической оптими- [c.33]

Ряд методов оптимизации, как, например, динамическое программирование, дает достаточную информацию о чувствительности оптимума уже в процессе их использования для решения оптимальных задач. Другие методы менее приспособлены к анализу чувствител ,-ностн оптимума. Лишь для задач линейного программирования имеется до некоторой степени разработанный математический аппарат (параметрическое линейное программирование), позволяюи1Ий изучать поведение оптимального решения при измеиенпи коэффициентов математического описания . [c.39]

Кроме того, на примере оптимизации реактора изложен подход к решению реальной вариационной задачи с ограничениями типа неравенств. Решение этих задач представляет собой, вообще говоря, весьма сложную проблему. Однако задачу оптимизации реактора идеального вытеснения все же можно решить, если принять во внимание некоторые свойства оптимизируемого процесса. К сожалению, и общем случае не представляется возможным указать достаточно удобные методы решения вариационных задач с ограничениями тйпа неравенств. Поэтому для каждого конкретного процесса приходится искать са.мый удобный прием или же решать задачу с помощью других методов, например динамического программирования или принципа максимума, более приспособленных для решения таких адач. [c.222]

Именно для решения задач оптимизации многостадийных процессов, а также процессов, которые могут быть математически описаны как многостадийные, создан и в настоящее время уснеишо применяется метод динамического программирования. [c.244]

Динамическое программирование, как и все методы, рассмотренные в предыдущих главах, применяется для оптимизации математически описанных процессов. Поэтому в дальнейшем для многостадийного процесса (рис, VI- ) предполагается изгзестиым математическое описание его каждо стадии, которое представляется в об1цем виде системой уравнений [c.246]

Рассмотрим теперь, каким образом можно решить сформулиро-вапную вьипе комбинаторную задачу, используя метод динамического программирования. Как отмечалось выше, процедура решении задачи оптимизации при помощи принципа оптимальности начинается с оптимизации последней стадии процесса, результатом чего является иабор оптимальных ре1иений (управлений) па ней для любых в(имож-пых состояний входа этой стадии. [c.250]

Общая процедура решения задачи методом динамического программирования. Проиллюстрируем процедуру решения задачи оптимизации многостадийного процесса на примере процесса, в котором размергюсть векторов состояния и управления на каждой стадии равна единице. Это позволяет повысить наглядность проводимых рассуждений при помощи графическ[1Х построений. [c.255]

Проблема размерности. Таким образом, метод динамического программирования дает возможность при оптимизации многостадийных процессов расчленить задачу врлбора оптимальных управлений (t 1,. . ., N) па N задач, в каждой из которых выбирается только одно управление и< >. [c.259]

После того как оптимальное значение у > определено выражением ( 1,160), оптимизация следующих (предыдущих) стадин проводится обычным порядком для завершения первого этапа решеиия оптимальной задачи методом динамического программирования, в результате чего находится стратегия оптимального управления для всех стадий процесса. [c.296]

В предыдущих разделах настоящей главы рассматривались вопросы применения метода динамического программирования для оптимизации д и с к р е т н ы х многостадийных процессов. Именно при анализе таких процессов, которые допускают четкое разбиение на стадии, наиболее наглядно проявляются основные достоинства эгого метода как способа решения оптимальных задач для процессов с произвольным числом управляемых стадий. Однако метод дииами ческого программирования можно использовать также и для оптимизации ироцессов с распределенными параметрами и нестационарных процессов с сосредоточенными параметрами, которые изменяются непрерывно. При этом закон их изменения описывается системами дифференциальных уравнений [c.307]

Рассмотренные в настоящей главе примеры использования метода динамического программирования для решения оптимальных задач затрагивают лишь относительно небольп1ую область возможного применения этого метода. Более полные сведения об его использовании для решения задач оптимизации могут быть найдены в литера-туре . [c.319]

Прп оптимизации дискретных многостадийных процессов использование математического аппарата принципа максимума зачастую оказывается более эффективным, чем нримепенне метода динамического программирования. В особенности это относится к ранению оптимальных задач, где размерность отдельных стадий затрудняет использование вычислительной процедуры метода динамического программирования [c.393]

Вместе с тем, владение методами нелинейного программировании нужно не только как самоцель, но также и в связи с использованием таких методов оптимизации, как динамическое программирование или принцип максимума, в которых на различных этапах приходится решать задачи нелинейного программирован1 я. [c.481]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология